книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление

вать по-разному (при этом будет отличаться и полученной результат): по Заде, Мамдани, Ларсену и т.д.

1.11.2. Графические варианты реализации нечеткого вывода

Рассмотрим наиболее важные варианты модификации нечеткого вывода, где алгоритмы нечеткого вывода различаются в основном видом используемого правила нечеткой импликации и терммножеством функций принадлежности лингвистической переменной выхода нечеткого вывода.

Нечеткий вывод по Заде

Модификации нечеткого вывода, где нечеткая импликация реализуется операцией взятия минимума и терм-множество управления задано синглетонами [8, 14].

Пусть продуктивные правила П1, П2 представленыв следующей форме:

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2,то z есть C2 ,

где х, у, z – имена переменных входа и выхода соответственно, а A1, B1, A2, B2, C1, C2 – упрощенная запись заданных непрерывных функций принадлежности, при этом четкое значение z0 необходимо определить при входных переменных x0 и y0.

1.Введение нечеткости: находятся текущие степени принадлежности для предпосылок правил(П1, П2): A1(x0), A2(x0), В1(x0), В2(x0).

2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

A B (x, y) A (x) B ( y)

min A (x), B ( y)

или

71

1 min A1 (x0 ), B1 ( y0 ) A1 (x0 ) B1 ( y0 ),

2 min A2 (x0 ), B2 ( y0 ) A2 (x0 ) B2 ( y0 ).

3.Находим степень принадлежности одноименных ФП после операции минимум, используя операцию максимум.

4.Определяем выход после нечеткой композиции:

n

iCi , i 1

где ФП терм-множества лингвистической переменной выхода (синглетоны) C1, C2 задаются.

5. Методомцентроидаприводим к четкостипеременную выхода

i 1

Графическая интерпретация нечеткого вывода показана на рис. 1.39.

Рис. 1.39. Графическая интерпретация нечеткого вывода по Заде

72

Нечеткий вывод по Мамдани

В этом варианте нечеткого вывода используют фаззификацию на несинглетонной базе и операцию взятия минимума в качестве нечеткой импликации (рис. 1.40 [14]).

Рис. 1.40. Иллюстрация нечеткого вывода по Мамдани, где фаззификация выполнена на несинглетонной базе

Пусть продуктивные правила П1, П2 записаны в следующей форме:

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2, то z есть C2 ,

где х, у, z – имена переменных входа и выхода соответственно, а A1, B1, A2, B2, C1, C2 – упрощенная запись заданных непрерывных ФП, при этом четкое значение z0 необходимо определить при текущих переменных х0 и y0.

1. Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил (П1 и П2): A1(x0), A2(x0), В1(x0), В2(x0).

73

2. Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

A B (x, y) A (x) B ( y)

min A (x), B ( y)

C1* (z), C2* (z) для предпосылок каждого правила при нечеткой композиции:

C1* 1 C1 ,

C2* 2 C2 .

4. Нечеткую композицию (свертку) производим объединением найденных усеченных функций C1 , C2 с помощью поточечного суммирования:

С* С1* С2*.

5. Приведениекчеткостимодифицированнымметодомцентроида.

Пример 1.17. Рассмотрим нечеткий вывод по Мамдани. Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя пра-

вилами нечеткого управления, где фаззификация выполнена на синглетонной базе:

74

Предположим, что в момент времени t1 были считаны значения датчиков x0(t1) = 3 и y0(t1) = 2. Определяем срезы для обоих правил на основе заданных функций и с учетом x0(t1) = 3 и y0(t1) = 2.

A1 (x0 3) 0,5, B1 ( y0 2) 0,7,

A2 (x0 3) 0,6, B2 ( y0 2) 0,3.

Затем в соответствии с правилом вывода Мамдани определяем уровни среза, показанные на рис. 1.41.

Рис. 1.41. Иллюстрация нечеткого вывода по Мамдани

1 min( A1 (x0 ), B1 ( y0 ) ) min(0,5 0,7) 0,5,2 min( A2 (x0 ), B2 ( y0 ) ) min(0,6 0,3) 0,3.

Окончательно, поточечно суммируя функции принадлежности выхода C1 и C2 и используя формулу метода центроида, получим

76

zцт 1 0,5 2 0,5 3 0,5 4 0,5 5 0,3 6 0,3 7 0,3 8 0 4,98. 0,5 4 0,3 3

Нечеткий вывод по Ларсену

Пример 1.18. Рассмотрим нечеткий вывод по Ларсену [14]. Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя пра-

вилами нечеткого управления:

Rule1: IF x это A1 AND y это B1 THEN z это C1,

Rule2 : IF x это A2 AND y это B2 THEN z это C2 .

Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков,

являются четкими входными величинами для лингвистических переменных x и y. При этом заданы термы для нечетких подмножеств

A1, B1, A2, B2, C1, C2 этих переменных.

Предположим, что в момент времени t1 были считаны значения датчиков x0(t1) = 3 и y0(t1) = 2. Определяем срезы для обоих правил на основе заданных функций и с учетом x0(t1) = 3 и y0(t1) = 2.

A1 (x0 3) 0,5, B1 ( y0 2) 0,7,

A2 (x0 3) 0,6, B2 ( y0 2) 0,3.

Затем в соответствии с правилом вывода алгоритма Мамдани определяем уровни среза (нечеткая импликация):

1 min( A1 (x0 ), B1 ( y0 ) ) min(0,5 0,7) 0,5,2 min( A2 (x0 ), B2 ( y0 ) ) min(0,6 0,3) 0,3.

Находим усеченные ФП C1* (z), C2* (z) для предпосылок каждого

правила при нечеткой композиции. В данном алгоритме нечеткая импликация моделируется с использованием оператора умножения:

77

На рис. 1.42 приведена графическая интерпретация нечеткого вывода по Ларсену.

Нечеткий вывод по Цукамото

В данном варианте нечеткого вывода используется тот же алгоритм, что и при выводе по Мамдани, но требуется, чтобы ФП выхода были монотонны [8,14].

Пусть продуктивные правила П1 …П 4 записаны в следующей форме:

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2, то z есть C2 ,

где х, у, z – имена переменных входа и выхода соответственно, а

A1, B1, A2, B2, A3, B3, A4, B4, C1, C2 – упрощенная запись заданных непрерывных ФП, при этом четкое значение z0 необходимо опреде-

лить при текущих переменных x0 и y0.

1. Введение нечеткости: находятся текущие степени принадлежности для предпосылок правил: (П1…П4): A1(x0), A2(x0), B1(y0),

B2(y0).

2. Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

A B (x, y) A (x) B ( y) min A (x), B ( y)

или

1 min A1 (x0 ), B1 ( y0 ) A1 (x0 ) B1 ( y0 ),

2 min A2 (x0 ), B2 (y0 ) A2 (x0 ) B2 ( y0 ).

3.Определяем

79

4. Четкое значение выходной переменной определяется сразу как взвешенная комбинация

z0 1z1 2 z2 .

1 2

Пример 1.19. Рассмотрим нечеткий вывод по Цукамото. Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя пра-

вилами нечеткого управления:

Rule1: IF x is A1 AND y is B1 THEN z is C1,

Rule2 : IF x is A2 AND y is B2 THEN z is C2 .

Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков,

являются четкими входными величинами для лингвистических переменных x и y.

При этом заданы следующие термы для нечетких подмножеств A1, A2, B1, B2, C1, C2 этих переменных:

80