книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление

Алгебраическое произведение

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1 · R2 и определяется выражением

R1 R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y).

Алгебраическая сумма

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1 + R2 с выражением

R1 R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y).

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1 R2 и определяется выражением

R1 R2 (R1 R2 ) (R1 R2 ).

Дополнение

Дополнение отношения R обозначается R и определяется ФП

R (x, y) 1 R (x, y).

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ).

Рассмотрим возможные варианты комбинаций.

52

1.Пересечение и объединение нечетких отношений:

R1 R2 (x, z) min( R1 (x, y), R2 (y, z)),

R1 R2 (x, z) max( R1 (x, y), R2 ( y, z)).

2.Произведение нечетких отношений рассмотрим на примере

1.14.

Пример 1.14. Пусть заданы отношения

причем

Х = {x1, x2}; Y = {y1, y2}; Z z1, z2 , z3 .

Решение:

где

q11 = max[min (0,2;0,3), min (0,5;0,7)] = 0,5, q12 = max[min (0,2;0,6), min (0,5;0,9)] = 0,5, q13 = max[min (0,2;0,8), min (0,5;0,4)] = 0,4, q21 = max[min (0,6;0,3), min (1;0,7)] = 0,7, q22 = max[min (0,6;0,6), min (1;0,9)] = 0,9, q23 = max[min (0,6;0,8), min (1;0,4)] = 0,6.

53

1.7. Нечеткая импликация. Варианты реализации

Нечеткая импликация есть логическая операция отношения двух высказываний А и В в новое высказывание «Если А, то В» и обозначается RA B . В более общем смысле нечеткую импликацию

можно представить в виде нечетких множеств с ФП, заданной выражением [15, с. 6]:

Правило четкой импликации

Бинарное правило Клинс (1938) (четкая импликация S-типа)

R A B (x, y) 1 A (x) B ( y) max 1 A (x), B (y) .

Правила нечеткой импликации

Правило типа «логическое произведение» (1965) (импликация Т-типа по Заде) (правило Заде)

max min A (x), B ( y) , A (x) .

Алгоритм Мамдани (1974) (импликация Т-типа по Мамдани) (правило Мамдани)

RA B (x, y) A (x) B ( y)

min A (x), B ( y) .

Правило Лукашевича (1976)

54

RA B (x, y) 1 A (x) B ( y)

min A (x) B ( y) .

Правило типа «алгебраическое произведение» (Ларсен), (1980) (правило Ларсена)

RA B (x, y) A (x) B ( y).

Правило Гогуэна (нечеткая импликация типа)

Вероятностное правило (Рейшенбах). Импликация QL-типа.

RA B (x, y) 1 1 A (x) A (x) B ( y)

min 1,1 A (x) A (x) B ( y) .

Операцию нечеткой импликации в теории нечетких множеств можно реализовать по-разному (при этом будет отличаться и полученной результат): по Заде, Мамдани, Ларсену и т.д.

1.8. Нечеткая композиция. Аналитический способ свертки

Нечеткая композиция есть свертка логической информации после нечеткой импликации [6,15,16].

55

Существует два способа композиции (свертки): аналитический и графический.

Аналитический способ композиции. Пусть R1: (X×Y) → [0,1]; R2: (Y×Z) → [0,1]

х2 = y1 = z3 – одни и те же числа. Доказательство:

= 0,1 0,3 0,1 = 0,3;

µ R1 R2 (x1, z2) = [µR1 (x1, y1) µR2 (y1, z2)] [µR1 (x1, y2) µR2 (y2, z2)][µR1 (x1, y3) µR2 (y3, z2)] =

56

57

Графический способ нечеткой композиции – поточечное сум-

мирование ординат функций принадлежности после нечеткой импликации.

Свойства max-min нечеткой композиции: операция max-min композиции – ассоциативна:

R3 (R2 R1 ) (R3 R2 ) R1,

дистрибутивна относительно объединения:

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

дистрибутивна относительно пересечения:

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ).

Кроме того, для max-min композиции выполняется следующее важное свойство (включение): если R1 R2 , то R3 R1 R3 R2 .

1.9. Модуль нечеткого логического вывода

Для многих приложений, связанных с управлением технологическими процессами, необходимо построение модели рассматриваемого процесса. Знание модели позволяет подобрать соответствующий регулятор. Применение теории нечетких множеств для управления технологическими процессами не предполагает знание моделей этих процессов. Следует только сформулировать правила поведения в форме нечетких условных суждений типа.

Рассмотрим структуру модуля «нечеткий регулятор», состоящего из фаззификатора, нечеткого логического вывода и дефаззификатора (рис. 1.27).

Рис. 1.27. Структурная схема модуля «нечеткий регулятор»

58

Система нечеткого логического вывода объединяет операции нечеткой импликации и нечеткой композиции.

Дефаззификатор преобразует нечеткую логическую информацию в четкую логическую информацию.

1.10. Анализ работы систем управления с регуляторами нечеткого управления

Для исследования систем автоматического регулирования с нечетким управлением принята САР (рис. 1.28).

Рис. 1.28. Структурная схема системы с регулятором нечёткой логики

Для исследования динамики разработана программа Fuzzy Models (рис. 1.29). Идентификация регулируемого объекта проводилась методом «белого шума» (Прил. Б).

Программа имеет возможность моделировать работу систем не только при включении регулятора в прямую цепь, но и при его включении в обратную связь. В данном исследовании применяется только метод включения регулятора в прямую цепь, то есть регулятор включается перед объектом.

В качестве входных сигналов в регулятор рассматриваются два сигнала: отклонение напряжения от задания и его производная. Данные сигналы обрабатываются регулятором нечёткой логики, вследствие чего он уже принимает решение о выработке управляющего воздействия, которое поступает на объект.

Исследование рассматриваемых систем производилось следующим образом: каждая система моделировалась с различными настройками регуляторов, при этом определялись показатели качества для каждого случая. Всё это производилось с целью выявить наиболее оптимальные варианты выбора терм-множества фаззифи-

59

катора и их настройки. Предварительно для каждого из вариантов определялись оптимальные значения диапазонов входных сигналов.

Рис. 1.29. Интерфейс программы Fuzzy Models

Для удобства оперирования вариантами терм-множеств задан набор терм-множеств:

– стандартное терм-множество является стандартным для про-

граммы Fuzzy Models (рис. 1.30);

Рис. 1.30. Стандартная комбинация терм-множеств входов

– первая комбинация терм-множеств получена из стандартной путём максимального растяжения терм сигнала отклонения напряжения (рис. 1.31);

60