книги / Неупругое поведение оболочек
..pdf102 6. Теория предельного равновесия
обозначает отношение предела текучести материала при растяжении Rt к пределу текучести при сжатии Rc, N0 —усилие текучести при чистом сжатии, кото рое может быть воспринято единицей площади попе речного сечения; Т0— усилие текучести при чистом сдвиге. Выражение (6.70) минимизируется по неза висимым параметрам механизма разрушения. Резуль тирующая разрушающая нагрузка приведена на рис. 6.9 в зависимости от отношения размеров обо
лочки.
Опыты с цилиндрическими оболочками описаны Аугусти и Д’Агостино [6.2], а также Демиром и Друккером [6.8].
6.4.Другие задачи
Врамках теории идеально-пластических тел раз вилось отдельное направление по проектированию конструкций минимального веса. Ставится задача — спроектировать конструкции, выдерживающие задан ные нагрузки и требующие минимума материала (для данного критерия текучести). Общую теорию опти
мального пластического проектирования развивали Друккер и Шилд [6.15, 6.16], Шилд [6.138, 6.139] и Мруз [6.85]. Согласно этой теории, критерием мини мума объема материала является следующее требо вание, налагаемое на диссипативную функцию:
D(eu) = const |
(6.71) |
на поверхности конструкции минимального веса. Приложение этой теории к проектированию ци
линдрических оболочек минимального веса дано Шилдом [6.138]. Ранее Онат и Прагер [6.104] и Фрейбергер [6.29, 6.30] исследовали задачу об оптимальном проектировании, предполагая, что минимальный рас ход материала связан с бесконечным множеством ли нейно независимых форм разрушения (см. также Ф. Г. Шамиев [6.128] и Мруз [6.87]). Аналогичное рассмотрение для анизотропных оболочек провел
М.Ш. Микеладзе [6.79, 6.80, 6.83]. Статьи Ольшака
иСавчука [6.94], Циглера [6.143] и Исслера [6.60,
6.4. Другие задачи
6.61] также относятся к задаче об оптимальном про ектировании. В работе [6.94] обсуждается задача про ектирования и деформирования неоднородных мем бранных оболочек, где неоднородность налагает опреде ленные ограничения на отношение мембранных усилий. Соответствующие функции неоднородности найдены для сферической крышки под действием равномерно распределенного давления и собственного веса.
Циглер [6.143] рассматривал подобные задачи с целью определения изменений толщины оболочки (частный случай «неоднородности») для материала Кулона — Треска. Исслер [6.60, 6.61] исследовал ту же задачу при условии текучести Губера —Мизеса.
Много статей посвящено оболочкам, изготовлен ным из жесткого упрочняющегося материала с раз личными моделями упрочнения. В этих случаях изу чалось поведение «после превышения предельной на грузки». Для кусочно-линейной поверхности текуче сти и линейного упрочнения цилиндрические оболоч ки изучали Ходж [6.40], Ходж и Нардо [6.53], Ходж и Романо [6.55), Перроне и Ходж [6.110, 6.111], Пер роне [6.109], Ли и Торн [6.68]. Онат [6.99] проанализи ровал осесимметричные оболочки, которые подчи няются закону кинематического упрочнения (см. ра боты Прагера [6.114] и А. Ю. Ишлинского [6.59] об этом законе упрочнения). В работе [6.56] исследована упрочняющаяся сфера при наличии температурного поля.
Пауль и Ходж [6.108] и Пауль [6.107] исследовали поведение упругих оболочек при сжимающих осевых усилиях (эффект колонны). В этих работах учитыва лись лишь упругие деформации. Краткое описание этого подхода можно найти в книге Ходжа [6.43]. Де формации оболочек и изменения геометрии изучали Ходж [6.39] и Душек [6.18]. А. С. Григорьев [6.34, 6.35] широко исследовал большие пластические деформа ции мембранных оболочек, применяя конечные соот ношения между напряжениями и деформациями.
Теория анизотропных пластических оболочек раз вивалась М. Ш. Микеладзе [6.75 — 6.78, 6.81, 6.82] и Савчуком [6.129, 6.131, 6.132]. М. Ш. Микеладзе
104 |
6. Теория предельного равновесия |
изучал трехслойные оболочки, изготовленные из обоб щенного материала Мизеса. Савчук сформулировал кусочно-линейное условие текучести для ортотропиых тел и получил соответствующую поверхность текуче сти для осесим-метричных анизотропных оболочек. Из анализа частного случая цилиндрических оболо чек следует, что несущая способность оболочки за висит от ориентации осей ортотропии по отношению к направлениям главных кривизн оболочки. Общая теория анизотропных оболочек для нелинейного кри терия текучести
Ф = Allkp tIokt = const, |
(6.72) |
|
где Aijhl — тензор |
анизотропности (см. Ольшак |
и Ур- |
бановский [6.97]), |
излагается в работе [6.131]. |
|
Другой тип ортотропиых оболочек (подкреплен ных ребрами) изучали Ю. В. Немировский и Ю. Н. Работнов [6.90, 6.91] для случая нерастяжимых ребер. Решения, относящиеся к ортотропным оболочкам, можно найти в статьях Нипостина [6.92] и Венкатрамана и Санкаранараянана [6.142] (см. также работу [6.96]). Обсуждение некоторых аспектов неоднородно сти применительно к оболочкам можно найти в ра боте [6.93].
В последнее время были начаты попытки учесть термические эффекты при определении несущей спо собности и разрушении оболочек. В. С. Чериина [6.6] анализировала краевой эффект в цилиндрической обо лочке, состоящей из двух частей, изготовленных из разных материалов с различными модулями текуче сти и коэффициентами теплового расширения. Онат и Ямантурк [6.105] изучали разрушение цилиндриче ской оболочки при наличии градиента температуры. В настоящее время анализ тепловых эффектов про водится при упрощающих ограничениях. Предпола гается, например, что свойства текучести не зависят от температуры.
7, Несущая способность железобетонных
оболочек
7.1. Полные решения
Соотношения общей теории предельного равнове сия служат надежной основой для оценки разру шающих нагрузок железобетонных оболочек. При этом наблюдаются две тенденции. Одна из них со стоит в получении полных решений с использованием
поверхности текучести, соответствующей сечению же лезобетонной оболочки [7.38, 7.39], другаяоснована на кинематическом анализе разрушения оболочки и развивается из ранних концепций Йохансена [7.18] и Казинчи [7.22].
Размеры поверхности текучести железобетонной оболочки зависят от сжимающего усилия в бетоне, предела текучести арматуры и доли армирования. Форма поверхности текучести зависит от условия раз рушения бетона при сложном напряженном состоя нии. Предполагая, что условие разрушения бетона при плоском напряженном состоянии имеет вид
-И 1< О ц< И „ о. Р -1 . 2 (7.1)
(его можно считать приемлемым описанием действи тельного поведения бетона), где Rc и_/?* —сжимаю щие и растягивающие усилия соответственно, Савчук и Ольшак [7.39] определили поверхность текучести для цилиндрических железобетонных оболочек (см. также Савчук и Кёниг [7.38]). Соответствующие урав нения поверхности текучести записываются следую щим образом:
ш х {\ + cs)+ 2/iJ. + 2rcJC(2pp.Jt+ a - |
1) + |
- 4 0 ^ - |
2a = О, |
- m x {1 + a) + 2п~х + |
2n x (a — 1) — 2a = |
0, |
|
/гф- а - Р р ф= 0,
- я, - 1 = 0,
106 7. Несущая способность железобетонных оболочек
где m = MfMoi п = N/N0\ М0 = ЯСЯЯ2; Я0 = 2RCBH-
а = RtIRc, Р = OolRc, Их = /У2ЯЯ; F — площадь сече ния арматуры; 2Я —толщина оболочки; В — ширина элемента оболочки. Если гиперповерхность (7.2) пред ставляет собой потенциальную поверхность соответ ствующих скоростей деформации, то можно получить
Р и с . 7Л. Поверхность текучести для железобетонных цилин дрических оболочек [7.38].
1- прямоугольник взаимодействия для цилиндрических оболочек без кон цевых нагрузок.
полное решение задачи предельного равновесия. На рис. 7.1 в пространстве безразмерных результирую щих напряжений (для а = 0, р = 0,15 и р, = 0) при ведена типичная поверхность текучести для цилиндри ческих оболочек. Кривая взаимодействия окружного усилия и осевого момента является прямоугольником, как показано на рис. 7.1.
Использование ассоциированного закона текуче сти для этой поверхности текучести приводит к за ключению, что цилиндрическая оболочка при осесим метричном нагружении деформируется в последова тельность усеченных конусов
ш = А х + В . |
(7.3) |
7.1. Полные решения |
107 |
В зависимости от изменения нагрузки вдоль образую щих возникает либо полное, либо частичное разру шение оболочки. Следует отметить, что, как правило, разрывные поля напряжений сопровождают разруше ние оболочки.
Ри с . 7.2. Механизмы разрушения и разрушающее давление для неравномерно нагруженных цилиндрических оболочек [7.38].
а- короткая оболочка; б—форма разрушения со сжатым кольцом; в - ча стичное разрушениедлинных оболочек;---- линии раздела форм разрушения.
Применение уравнений поверхности текучести (7.2) и ассоциированного закона текучести позволило по лучить [7.38] полные решения задач о предельном равновесии для цилиндрических оболочек, подвер женных давлению среды с плотностью у» коэффици ентом р трения о стенки и коэффициентом k внут реннего трения. Результирующие кривые разрушаю щей нагрузки в зависимости от геометрических параметров оболочки показаны на рис. 7.2. Одна из причин, по которой этот рисунок здесь воспроизведен, состоит в том, чтобы привлечь внимание читателя к
108 7. Несущая способность железобетонных оболочек
возможным видам форм разрушения. Линейность форм разрушения в координатной системе, совпадаю щей с системой координат главных направлений, на водит на мысль, что при более сложной геометрии они будут также линейны. При правильном выборе формы линейного разрушения кинематическое реше ние для предельной нагрузки (верхняя граница) мо жет быть точным или близким к действительной ве личине интенсивности разрушающей нагрузки. Раз рушающие нагрузки для цилиндрических резервуаров определены в работе [7.39].
Общие статические соотношения для осесиммет ричных оболочек, поверхность текучести которых подобна поверхности текучести железобетонных обо лочек, даны Мрузом [7.25] с целью изучения опти мального проектирования железобетонных конструк ций. Оптимальное проектирование железобетонных оболочек изучали Кализский [7.21] и Нильсен [7.26], который нашел поверхность текучести для чисто мем бранного поведения железобетонной оболочки с уче том сопротивления сдвигу подкрепляющих дисков. Обзор практических аспектов теории предельного равновесия железобетонных оболочек дан в работе [7.19].
7.2. Приближенные решения
Другой подход к анализу разрушения железобе тонных оболочек сводится к некоторым кинематиче ским рассуждениям, которые позволяют оценить верх ние границы для разрушающих нагрузок. Этот под ход основан на принципе виртуальных скоростей. Ки нематическая оценка верхней границы для цилинд рического резервуара при полном разрушении дана Меньяром [7.23]. При оценке верхних границ легко учесть анизотропность конструкций. Соответствующие результаты для ортотропных цилиндров получены Нипостином [7.27].
Для железобетонных оболочек с более сложной геометрией приближенные решения. можно получить
7.2. Приближенные решения |
109 |
путем введения дополнительных предположений о поле напряжений, делающих возможным интегриро вание уравнений текучести и равновесия, или путем применения принципа виртуальных скоростей к упро щенным полям напряжений. Решения, полученные таким способом, имеют особенности, общие как для
Р и с . 7.3. Форма разрушения усеченного конуса [7.20].
I —жесткая крышка; 2- сечение; 3—вид сбоку.
статического, так и для кинематического методов оценки разрушающих нагрузок.
Кализский [7.20] изучал разрушение усеченного конуса, подобного применяемым для фундаментов вы соких башен. Его анализ базируется на предположе нии, что окружной изгибающий момент не вносит вклада в диссипацию внутренней энергии (таким об разом, т фйф = 0) и что форма разрушения — кони
ческая, как показано на рис. 7.3. Получающийся ме ханизм разрушения зависит от одного параметра RQ.
110 7. Несущая способность железобетонных оболочек
Согласно работе [7.20], найденное давление разру шения равно
3 |
N0R COS о (1 — г0)а + 2M0r0 sin2 а |
(7.4) |
|
Я2 |
го“ Зг0+ 2 |
||
|
где г0 = RofRrПоложение шарнирной окружности ра диусом R0 определяется из условия минимума интен сивности нагрузки для рассматриваемой формы раз-
Р и с . 7.4. Положение шарнирной окружности в конической оболочке [7.20].
рушения, т. е. из условия dpfdR0 = 0. Изменения по ложений шарнирной окружности для заданного ме ридионального момента текучести М0 и окружного усилия текучести N0 приведены на рис. 7.4.
Кинематический метод, подобный методу, изве стному как теория линий текучести для пластин, был предложен А. М. Овечкиным [7.28, 7.29]. В работе [7.29], в частности, описано большое число экспери ментов на сферических куполах и приведены экспери ментально наблюдаемые картины линий текучести. Однако теоретический анализ, содержащийся в этой работе, недостаточно точен.
Основная тенденция развития исследований на правлена, по существу, к вычислению разрушающих нагрузок путем комбинирования экспериментальной
7.2. Приближенные решения |
111 |
и аналитической методик. Форма разрушения нахо дится экспериментально, после чего определяется раз рушающая нагрузка без составления уравнений по верхности текучести, но при заданных значениях внутренних сил текучести вдоль соответствующих ли ний текучести (линии сосредоточенных пластических деформаций). Такой подход эквивалентен допуще нию, что поверхность текучести является поверхностью «без взаимодействия между результирующими на пряжений». Это означает, что в качестве поверхности текучести принимается кусочно-линейная гиперпризма в пространстве результирующих напряжений. (Об щие соотношения этой теории можно найти в работе [7.37].)
Такой подход возникает из упрощенного кинема тического метода предельного анализа, развитого А. Р. Ржаницыным [7.32, 7.36]. В качестве простей шего примера рассмотрим оболочку на плоском осно вании в виде многоугольника. Пусть оболочка нагру жена одной сосредоточенной силой (рис. 7.5, а). Если края оболочки удерживаются от скольжения, но мо гут вращаться, то возможная форма разрушения бу дет такой, как показано на рис. 7.5, б. Линии ОА, ОВ и т. д. являются линиями разрыва деформаций (ли ниями «сосредоточенных деформаций» по терминоло гии работ [7.32 — 7.36]). Если механизм разрушения связан с движением жестких элементов, вращающихся вокруг соответствующих осей, то вдоль линий пере сечения этих элементов возникают разрывы как в
наклоне, так и в осевом окружном удлинении сре
динной поверхности оболочки. Угол 0оа разрыва на клона по направлению нормали к линии ОА так же, как в теории линий текучести пластин, равен
0<м = |
(ctg а 4- ctg р). |
(7.5) |
|
ЮА |
|
А. Р. Ржаницын предположил, что вдоль линий раз рыва нейтральная поверхность, определяемая зависи мостью
Я /0 = - Z, |
(7.6) |