книги / Неупругое поведение оболочек

82 6. Теория предельного равновесия

струкций этого типа, подверженных осесимметричным нагрузкам, получается класс задач, в котором урав­ нения для напряжений и перемещений разделяются и между ними остается связь лишь посредством за­ кона течения. Таким образом, задача оказывается «статически определимой» относительно разрушаю­ щей нагрузки и поля напряжений. Когда .напряже­ ния известны, можно записать систему соотношений для определения скоростей.

Если длинная цилиндрическая труба подвергается действию только боковой осесимметричной нагрузки, то уравнение равновесия (4.17) содержит лишь вели­ чины Мх и N (р (где Х\ = х — осевая координата, а

х2= ф и х3= /* — остальные цилиндрические коорди­ наты). Кинематическое ограничение для тонких обо­

исключить из уравнения поверхности текучести по­ средством ортогональной проекции на подпростран­ ство (Л4Х, Ny). Чтобы получить поверхность текучести

F(NV Мх) = const, в общие соотношения (6.6)— (6.8) следует подставить условия

Получающиеся данные о поверхностях текучести для цилиндрических оболочек приведены в табл. 6.3. Эти данные выражены через безразмерные резуль­ тирующие

при чистом растяжении и чистом изгибе соответст­ венно.

Уравнения текучести, приведенные в нижней графе1табл. 6.3, представляют собой приближенные условия, полученные в предположении, что в усло­ виях текучести отсутствует связь между изгибными и мембранными напряжениями; таким образом, усло­ вие (6.23) используется при CN = N0 и См = N10. Гра-

6.2. Полные решения

фическое представление этих поверхностей текучести приведено на рис. 6.3.

действие

Чтобы проиллюстрировать процедуру получения полных решении и показать различие решений в за­ висимости от используемых поверхностей текучести, рассмотрим бесконечно длинную оболочку радиусом R, нагруженную по кольцу усилиями интенсивности 2Q. Введем для удобства в добавление к (6.31) безраз­ мерные величины

Тогда уравнения равновесия, запишутся следующим образом:

а соответствующие скорости деформаций (5.10) при­ мут вид

6*

6.2. Полные решения

Поле скоростей имеет вид

при условии, что удовлетворено уравнение текучести. Если q(p) известно, то второе уравнение (6.33) мо­ жно проинтегрировать по £ и тем самым найти рас­ пространение пластической зоны. В общем случае,

Р и с . 6.4. Распределение осевых моментов и окружных усилий в круговой цилиндрической оболочке при различных критериях

текучести [6.133].

п —окружное усилие; m-осеоой момент; а-упругий; б-ABFKL; e-BFK\ г-DFJ.

однако, интегрирование приходится производить чис­ ленно.

Для бесконечно длинной оболочки общее решение в форме (6.37) и (6.38) получено Ходжем и Савчу­ ком [6.133]. Для различных конкретных критериев те­ кучести задачу исследовали теоретически Друккер [6.11], Исон [6.19], А. А. Ильюшин [6.58], Коэн и Шилд [6.7] и экспериментально —Демир и Друккер [6.8]. По­ лученные напряжения сравниваются на рис, 6.4 для

6. Теория предельного равновесия

кривых текучести из табл. 6.3. На рис. 6.4 для срав­ нения приведено также упругое решение,, определяю­ щее максимальную упругую нагрузку. Оно качествен­ но отличается от пластических решений. Это различие указывает на значительное перераспределение напря­ жений в течение стадии пластического деформировав ния. Из рис. 6.4 видно также, что распределение из­ гибающих моментов мало меняется при различных условиях текучести. Однако в окружных напряже­ ниях наблюдается значительное различие; в самом деле, в нагружаемом сечении для критерия текучести Губера — Мизеса окружное усилие обращается в нуль. Соответствующие поля скоростей перемещений также количественно различаются (подробности см. в ра­ боте [6.133]). Чтобы завершить сравнение, в табл. 6.4 приведены величины разрушающих нагрузок и про­ тяженности пластических зон.

Таблица 6.4

Разрушающие нагрузки и протяженность пластических зон при различных условиях текучести для цилиндрических оболочек

Результаты табл. 6.4 можно использовать в каче­ стве иллюстрации неравенств (6.29), относящихся к разрушающей нагрузке для вписанной и описанной поверхностей текучести. Сравнивая данные на рис. 6.4

и в табл. 6.4, читатель без труда сделает необходи­ мые выводы.

Несущую способность коротких цилиндрических оболочек под действием кольцевых усилий и кольце­ вых давлений исследовали Исон и Шилд [6.20] (для ограниченно взаимодействующих кривых текучести), А. Р. Ржаницын [6.123] изучал деформированную фор­ му трехслойной оболочки при условии Губера — Мизеса.

Краевые эффекты (напряжения и граничные усло­ вия) в полубесконечных цилиндрических оболочках исследовали А. А. Илыошин [6.58], А. Н. Ананьина [6.1] и М. И. Ерхов [6.3.I, 6.22], который также полу­ чил некоторые результаты, относящиеся к разрушаю­ щей нагрузке (при условии Треска) для трехслойных оболочек. Упруго-пластический анализ круговой полубесконечион оболочки под действием боковой крае­ вой нагрузки проведен А. А. Ильюшиным [6.58]. При­ меняя численные методы, Клемент [6.66] исследовал ту же задачу в предположении, что пластическая зона охватывает всю толщину стенки оболочки (см. также Кёниг [6.67]). • Чтобы получить представление о порядке величины полных деформаций при разру­ шающей нагрузке по отношению к прогибам в мо­ мент начала пластического поведения, на рис. 6.5 при­ ведена зависимость нагрузки от прогиба (материал оболочки предполагается несжимаемым и в упругой области). Рис. 6.5 иллюстрирует тот факт, что раз­ рушающая нагрузка практически достигается при де­ формациях, которые приблизительно в 4 раза превы­ шают чисто упругие в начале пластического течения. Это показывает, что предпосылки жестко-пластиче­ ского анализа оправдываются, по крайней мере, при оценке разрушающей нагрузки, когда вопрос об ус­ тойчивости не представляет интереса. Однако недав­ ние исследования влияния геометрических эффектов для цилиндрических оболочек показали, что большие прогибы могут вызывать значительные изменения раз­ рушающей нагрузки для деформированных конструк­ ций (Душек [6.18]).

6. Теория предельного равновесия

Круговые цилиндрические оболочки под действием осевых и боковых нагрузок при условии текучести Кулона — Треска с применением данных поверхно­ стей текучести исследовали Онат и Прагер [6.103], Ходж [6.38, 6.43], Ходж и Панарелли [6.54], Болл и

Р и с . 6.5. Зависимость между нагрузками и прогибами для упруго-пластической оболочки [6.66].

По оси абсцисс: отношение w0(общнЛ)/ю« (упруги»}; по оси ординат: на­ грузка; -------- разрушающая нагрузка.

Ли [6.3] и М. И. Ерхов [6.23]. Сравнение условий те­ кучести для цилиндрических оболочек выполнили Ольшак и Савчук [6.94].

Чтобы показать некоторые особенности жестко­ пластических решений, рассмотрим замкнутую ци­ линдрическую оболочку радиусом R , подверженную внутреннему давлению р\ трехслойная оболочка изго­ товлена из материала Треска. При внутреннем давле­ нии р уравнение равновесия для Nx, т. е. dNJdx = 0, дает

6.2.Полные решения

Вочень коротких оболочках разрушение вызынается по существу чистым осевым растяжением, так что Nx = N0 и /; = 2N0/R. В длинных оболочках раз­

рушение определяется окружными напряжениями и поэтому р = N0/R. В работе [6.39] показано, что для грехслойной оболочки соответствующей частью поверхности текучести является линия EFK (рис. 6.3).

Р и с . 6.6. Влияние граничных условий на несущую способность оболочек [6.38].

С целью демонстрации влияния граничных условий на разрушающую нагрузку для цилиндрических обо­ лочек на рис. 6.6 сравнивается поведение подвержен­ ных внутреннему давлению открытой и замкнутой оболочек. Числовые примеры, относящиеся к такого типа конструкциям, приведены в работе [6.49] (см. также работу Н. А. Фореман [6.28], где рассматри­ вается взаимодействие плоской крышки и цилиндри­ ческой оболочки).

Панарелли и Ходж изучали взаимосвязь давления и кручения цилиндрических оболочек [6.106].

Анализ полей напряжений должен сопровождать' ся (или следовать за) анализом возможных механиз­ мов разрушения. Для кусочно-линейной поверхности

текучести ассоциированный закон течения (6.1) по­ зволяет оценить поле скоростей. Если уравнение теку­ чести в результирующих напряжениях линейно

F = aNx + bN(t + сМх + <ШФ- 1 = 0, (6.40)

где а, 6, с и d — константы, то соотношения между деформациями и перемещениями вместе с ассоцииро­ ванным законом течения (6.1) для цилиндрической оболочки дают систему уравнений

и w и параметра течения v. Поскольку окружная кри­ визна Vq, = w/R2 имеет более высокий порядок мало­

сти, то ею можно пренебречь. Тогда полученных урав­ нений будет достаточно для определения всех неиз­ вестных скоростей. Соответствующие перемещения выражаются при этом через тригонометрические или гиперболические функции [6.43]. При обращении в нуль некоторых постоянных а, b, с или d можно обна­ ружить, что оболочка (с результирующими усилиями, удовлетворяющими уравнению соответствующей ги­ перплоскости) может перемещаться как твердое тело. Например, если а = b = 0 и сф 0, то непосредствен­ но получаем, что w/R = 0. Комбинируя выражения w/R -> 0 и w" = vc, находим

w"/w -^oo. (6.42)

Если соотношение (6.42) применимо внутри бес­ конечно короткой области, то тогда развивается шарнирная окружность. Анализ деформаций при раз­ личных кусочно-линейных условиях текучести для осе­ симметричных оболочек проведен Ходжем [6.43]. Сле­ дует заметить, что для нелинейных поверхностей те­ кучести поля напряжений и деформаций не разде­ ляются даже в «статически определимых» задачах.

Число полных решений задач о предельном рав­ новесии для осесимметричных оболочек общего вида невелико. Все они получены либо для условия Куло­

на —Треска, либо для еще более простых поверхно­ стей текучести. Первое решение, относящееся к поло­ гим сферическим оболочкам, дано С. М. Фейнбергом [6.25]. Для сферической крышки, свободно опертой по окружности радиусом R, разрушающая нагрузка оп­ ределяется выражением

(6.43)

где 2// — толщина оболочки; / — стрела подъема в вершине. При некоторых типах граничных условий

вработе [6.86] были получены решения для оболочек

сконечной величиной стрелы подъема.

Несущую способность круговых конических оболо­ чек с различными приближениями для поверхности текучести Кулона— Треска исследовали В. И. Розенблюм [6.118], Онат [6.100], Ланс и Онат [6.102], Ходж [6.45]. В работе [6.100] используется точная поверх­

ность текучести Кулона—Треска для оболочки (рис. 6.1), тогда как Ходж [6.45] решал ту же задачу

угол наклона образующей конуса и оболочка нагру­ жена сосредоточенной силой Q в вершине, то разру­ шающая нагрузка равна

независимо от условий опирания и формы поверхно­ сти текучести [6.45]. Решения (6.43) и (6.44) стре­ мятся к решениям для пластин при /-*0 или а - > 0.

Ходж [6.41] изучал сферические крышки, подвер­ женные равномерному давлению р, без каких-либо ограничений для стрелы подъема оболочки и для по­ верхностей текучести, образующихся путем пересече­ ния двух гиперпризм- (см. также Ходж и Лакшмикаитам [6.52]). Поскольку поверхность текучести (6.23) является описанной относительно точной гиперповерх­ ности текучести, полные-, решения, полученные таким путем, дают верхнюю границу решений для точного условия текучести. Было найдено, что при больших