книги / Неупругое поведение оболочек

где с — исходная толщина. Толщину можно опреде­ лить из (4.25), так как при мембранном состоянии значения Nap определяются только из уравнений рав­ новесия.

4.3. Выпучивание при ползучести

Одно из наиболее замечательных явлений нели­ нейного вязко-упругого поведения встречается в за­ даче об осевом нагружении с постоянной интенсив­ ностью нагрузки. Было обнаружено, что по проше­ ствии достаточно большого периода времени скорость прогиба безгранично возрастает и, как следствие, про­ цесс деформирования становится неустойчивым. Если конструкция, подвергнутая сжатию, имеет начальные отклонения от недеформированной формы, то суще­ ствует критическое время tcn при котором скорость деформации становится бесконечно большой [4.21]. Для нелинейного соотношения между напряжениями и скоростями деформаций типа (2.19) это время tcr имеет конечную величину, и потеря устойчивости мо­ жет произойти при любой величине сжимающей на­ грузки.

Задача о потере устойчивости при ползучести ис­ черпывающим образом освещена в ряде превосход­ ных обзоров (см. Хофф [4.21, 4.22], 10. Н. Работнов и С. А. Шестериков [4.36] и работу [4.48]), в которых исследуется поведение колонн при ползучести. Од­ нако неустойчивости оболочек посвящено мало иссле­ дований. Хофф, Джесман и Нахбар [4.23] анализиро­ вали трехслойную цилиндрическую оболочку со сла­ бым начальным отклонением от круговой формы, подверженную равномерному поперечному давлению. Задавая деформации в виде

R { ф, 0 = ^ + a(*)cos2<p,

где R — средний радиус оболочки, а а — амплитуда, можно получить критическое время для закона тече­ ния (4.1), записанного в виде

где k и Я— постоянные. В частном случае п = 3 по­ лучается следующее выражение для соотношения между временем и деформациями:

(4.26)

где х = аД/р — отношение амплитуды радиального перемещения к радиусу инерции р поперечного сече­ ния единичной площади; т — постоянная времени, за­ висящая от свойств материала и площади попереч­ ного сечения оболочки; Хо— значение х в момент t = 0. Типичная зависимость деформаций от времени

Этот график показывает, что х/хо и, следовательно, а безгранично возрастают за конечный промежуток времени. Полагая в (4.26) х0/х-*0, получаем для критического времени явное выражение

(4.27)

Формула (4.27) аналогична соответствующему со­ отношению для идеализированной двутавровой ко­ лонны. В работе [4.23] была исследована зависимость критического времени от показателя формы ао; ока­ залось, что с увеличением ао критическое время уменьшается. Выпучивание при ползучести оболочек, подверженных осевым и боковым нагрузкам, пред­ варительно анализировалось Сундстремом [4.44]. А. П. Кузнецов и Л. М. Куршин [4.28] изучали выпу­ чивание оболочек, применяя критерий устойчивости Ю. Н. Работнова и С. А. Шестерикова [4.36], который

связывает устойчивость с бесконечно малыми возму­ щениями (см. также работы [4.35, 4.41]). Вопросы устойчивости материалов оболочек, обладающих пол­ зучестью, изучали также Джерард [4.17], Джерард и

Р и с . 4.2. Критическое время потери устойчивости при ползу­ чести для цилиндрической оболочки [4.23].

По оси абсцисс: безразмерное время. По оси ординат: безразмерное несо­ вершенство.

/-равномерное давление; 2 —несовершенство; 3- критическое время.

Гильберт [4.18] и Кордина [4.27]; в работе [4.27] при­ ведены экспериментальные данные для цилиндриче­ ских покрытий. Быхавский изучал деформации (вы­ пучивание) цилиндрических панелей в случае устано­ вившейся ползучести при наличии геометрически не­ линейных соотношений между деформациями и пере­ мещениями [4.4, 4.5].

4.4. Приложение теорий упрочнения и других законов ползучести .

Нелинейная теория наследственности, для которой [2.18] коэффициенты тензора напряжений зависят не только от времени, но и от напряжений, применялась Н. X. Арутюняном и М. Н. Манукяном [4.1] к анализу явления ползучести в замкнутой сфере. В. И. Розенблюм [4.38] анализировал ползучесть мембранных

оболочек, используя линеаризованные уравнения тео­ рии течения. Эффекты влияния температуры на устой­ чивость и разрушение оболочек при ползучести были исследованы в работе [4.45], где были получены так­ же некоторые экспериментальные данные. М. И. Ро­ зовский [4.40] применил теорию нелинейной ползуче­ сти для получения оценок времени разрушения сферы при больших деформациях. Поведение оболочек, из­ готовленных из материала с комбинированными вязко-пластическими свойствами (см. Прагер [4.34]), остается пока неизученным.

5 . Теория упруго-пластических деформаций

5.1.Определяющие уравнения для оболочек

Всоответствии с фундаментальным предположе­ нием «деформационной теории» пластичности компо­ ненты девиатора напряжений stJпропорциональны компонентам девиатора полных деформаций ец (см. (2.23)). В частном случае плоского напряженного со­ стояния соответствующие соотношения между напря­ жениями и деформациями приобретают вид

посредственно из возведения в квадрат (2.23).

При рассмотрении упруго-пластических материа­ лов к соотношениям (5.1) следует добавить надлежа­ щее условие текучести. Предположим, что условие те­ кучести (5.2) определяется регулярной и непрерыв­ ной функцией инвариантов напряжений. Простейшая форма такой функции дается критерием текучести Губера—Мизеса, согласно которому плотность рас­ сеиваемой энергии должна достигать определенной критической величины, или, другими словами, функ­ ция текучести линейно зависит от второго инварианта девиатора напряжений (см. соотношения (5.7), (5.14)). Таким образом, Ф = SijSij = 2k2 = 2аЦЪ.

При плоском напряженном состоянии это условие

где ао— предел текучести при простом растяжении. Если Ф = 0, то Ф постоянно во времени и материал является идеально-пластическим. Для упрочняюще­

гося материала значение Ф < 0 соответствует раз­ грузке.

Соотношения между напряжениями и деформа­ циями (5.1) при условии текучести (5.2) приобре­ тают простую форму:

Здесь напряжения выражаются через деформации и постоянную текучести 0о. Если правая часть (5.2) за­ висит от деформации, то эта теория применима к ма­ териалам с деформационным упрочнением.

На основе соотношений (2.40) и (2.42) получаются следующие зависимости между результирующими си­ лами и деформациями срединной поверхности обо* лочки:

Для материалов, обладающих упрочнением, вели­ чина Оо попадает под знак интеграла. Разгрузка про­ исходит по упругому закону.

Выражения (5.4) — (5.6) совместно с уравнениями равновесия и соотношениями между Лар„ хар и век­

тором перемещений м* (* = 1,2,3) образуют систему уравнений теории упруго-пластических оболочек, ко­ торую следует решать с учетом заданных граничных условий.

Следует заметить, что соотношения (5.4) и (5.5) представляют собой в параметрической форме поверх­ ность текучести для оболочек, если из этих уравне­ ний и условия текучести исключить кинематические величины. Для цилиндрических оболочек и условия текучести Губера—Мизеса такая поверхность взаи­ модействия впервые получена А. А. Ильюшиным [5.13] в рамках теории упруго-пластических деформа­ ций. Уравнения поверхности текучести для осе­ симметричных оболочек были независимо найдены

58 5. Теория упруго-пластических деформаций

на основании иных соображений Ходжем [5.8]. Взаи­ модействие результирующих сил для пластического состояния поперечного сечения оболочки на основе подхода, развитого в работе [5.13], изучали М. И. Ерхов [5.2], X. О. Ершов [5.3] и И. Д. Керимбаев [5.15]. Другие работы, посвященные поверхностям текучести, обсуждаются. в следующем разделе, так как эта за­ дача в большей мере относится к теории предельного равновесия (если иметь в виду только взаимодействие сил, а не соотношения между результирующими на­ пряжениями и перемещениями, которые рассматри­ ваются в данном разделе (см. также [5.6])).

Из выражений (5.4) — (5.6) видно, что изгибаю­ щие и мембранные воздействия не разделяются, как это имеет место в случаях линейно упругой или ли­ нейно вязко-упругой оболочек. Это вызывает значи­ тельное усложнение методов решения. В общем слу­ чае оказывается невозможным разделить уравнения для оболочек на две группы, одна из которых содер­ жала бы мембранные усилия, другая — изгибающие моменты. Только при /2 = 0, когда выражение ецвц (см. равенство (5.6)) симметрично относительно сре­ динной поверхности оболочки во всех точках, так что

ец{х3)е^(х3) = ец (—х3)е{^ —х3), изгиб и растяжение не оказывают взаимного влияния в соотношениях между напряжениями и деформациями (5.4) и (5.5). В этом случае мембранные усилия вызывают только удлинения, а моменты вызывают исключительно ис­ кривление срединной поверхности.

5.2.Методы решения

Вобщем случае уравнения упруго-пластической теории оболочек не могут быть проинтегрированы непосредственно, поэтому приходится использовать

приближенные методы. Подобно случаю теории уп­ руго-пластической сплошной среды, можно выделить два общих метода, а именно метод упругих решений

ивариационные методы (см. А. А. Ильюшин [5.14]).

Вметоде <гупругих решений» применяется метод последовательных приближений для решения полной

ниями между деформациями и перемещениями и оп­ ределяющими уравнениями (5.4) — (5.6). Поле ли­ нейно упругих перемещений используется в качестве нулевого приближения, из которого легко вычис­ ляются соотношения между деформациями и переме­ щениями и находятся соответствующие компоненты девиатора деформаций ец с использованием предпо­ ложений (2.42). Так как выражение ецвц известно, то можно определить интегралы (5.6), а из (5.4) и (5.5) выразить результирующие силы через переме­ щения. Подстановка полученных выражений в урав­ нения равновесия приводит к дифференциальным уравнениям для перемещений. В силу нелинейности зависимости напряжений от деформаций (5.4) и (5.5) полученные уравнения содержат дополнительные чле­ ны, кроме определенных согласно теории упругости. Эти члены можно интепретировать как соответствую­ щее изменение внешней нагрузки (т. е. как поле фик­ тивных массовых сил). Уравнения в перемещениях теперь нужно решать с «модифицированными» на­ грузками при тех же граничных условиях. Это дает новое поле перемещений. Такую процедуру следует повторять до тех пор, пока разность между двумя соседними шагами не станет достаточно малой (см. [5.14]). Очевидно, такой процесс является несколь­ ко громоздким, и в этом состоит одна из главных при­ чин, по которой анализ упруго-пластического поведе­ ния рболочек вытеснен анализом предельного равно­

В.М. Панферов [5.22], доказательство сходимости которого не может быть признано достаточным (см.

В.М. Бабич [5.1]).

Вариационные методы основаны на предположе­

нии, что вариация плотности полной внутренней энер­ гии W равна работе L внешних сил Ти совершенной на вариации перемещений н,-. Плотность полной внут­ ренней энергии для зависимости между напряжениями

где Ах связано с А соответствующим алгебраическим соотношением, вытекающим из равенств (2.40). Под­ ставив в (5.9) принятые значения щ и найдя вели­ чины кар и Яар из соответствующих зависимостей

деформаций от перемещений, можно найти Мар и Nafi из (5.4) и (5.5). Далее следует поступать так же,

как в методе Ритца линейной упругости. В рамках вариационного метода, развитого А. А. Ильюшиным [5.12, 5.14], В. М. Панферов [5.23] изучил наиболее удобные функции перемещений.

При использовании теории малых упруго-пласти­ ческих деформаций должно выполняться основное ус­ ловие, чтобы в процессе деформирования главныерси девиатора оставались фиксированными (пропорцио­ нальное нагружение, требуемое определяющим урав­ нением (2.23)),

5.3. Примеры решений

Первые исследования упруго-пластического из­ гиба оболочек выполнил А. А. Ильюшин [5.11, 5.12]. Он рассматривал цилиндрические оболочки, подвер­ женные осесимметричному давлению. Для иллюстра­ ции его метода решения задачи упруго-пластического деформирования оболочек рассмотрим полубесконечную цилиндрическую оболочку радиусом R с толщи­ ной стенки 2Я, нагруженную только осесимметричным внешним давлением р. В цилиндрической системе ко­ ординат (/', ф, х) соотношения между деформациями и перемещениями имеют следующий вид:

правлении, внешнем по отношению к оболочке. По­

имеет место упругая и пластическая несжимаемость,

С другой стороны, соотношения между напряже­

где со = ф/2(3 (см. уравнение (2.23)) представляет со­ бой отклонение зависимости между напряжениями и деформациями от линейной. Для идеально-пластиче­ ских материалов, подчиняющихся условию текучести