книги / Неупругое поведение оболочек
..pdf\й 2. Общие положений.
малых напряжений вызовет необратимые, зависящие от времени деформации «вязкого» типа.
Идеально-упруго-пластическое поведение будет иным, несмотря на то что при этом математическая форма зависимости напряжений от деформаций сходна (формально) с зависимостью для вязко-упругого тела. Пластически изотропные материалы могут выдержи вать напряжения определенной величины, не обнару живая какой-либо необратимой деформации, до до стижения условия текучести, определяемого функцией текучести, она представляет собой скалярную одно родную функцию компонент напряжений
ф(оц) = kn= const, |
(2.2) |
где k — соответствующий предел текучести материала; п — порядок однородной функции. Для идеально-пла стических тел функция текучести не изменяется в
процессе деформирования, т. е. =0, тогда как для
упрочняющихся материалов Ф > 0. Поскольку для упруго-пластического тела, кроме зависимости напря жений от деформаций (2.1), должно выполняться усло вие текучести (2.2), соответствующие коэффициенты при компонентах динамического и кинематического тензоров в равенстве (2.1) уже не будут константами материала. Это обстоятельство усложняет задачу ана лиза поведения конструкций и требует математиче ского исследования, отличного от того, которое при меняется для вязких материалов.
Для тел с комбинированным (вязко-упругим, упру го-пластическим, вязко-упруго-пластическим и т. д.) поведением предполагается, что тензор (малых) де формаций вц, который представляет собой симмет
рическую часть |
градиента |
перемещений, т. е. |
вц = |
|
— |
+ |
где щ — вектор перемещения, |
мо |
|
жно разложить на соответствующие упругую |
е^., |
|||
вязкую |
BJJ и пластическую |
компоненты: |
|
|
|
|
• « - « Ь + •?!+»!!• |
(2'3) |
|
Кроме того, так как при неупругих деформациях ма териал предполагается несжимаемым,
e?, = ev = 0, |
(2.4) |
2.1. Определяющие уравнения |
13 |
изменения объема приписываются чисто упругим де формациям е^.. Основываясь на этом допущении, до
статочно исследовать девиаторную часть неупругой зависимости напряжений от деформаций.
В теории вязко-упругости различают физически ли нейные и нелинейные теории в зависимости от того, входят ли компоненты тензоров в уравнение (2.1) со ответственно в линейной или нелинейной форме.
Общую зависимость напряжений от деформаций (2.1) для линейных вязко-упругих тел без вязкого из менения объема принято записывать в виде [2.7, 2.25]
Pa„ = 2GQei( + |-(3/C P-2G Q )e4A ,-3 a/< P r6 ,/ (2.5)
или (через девиаторы напряжений и деформаций) в виде
Psli = 2GQeii, |
(2.6) |
где Р и Q — линейные дифференциальные операторы:
Р = а0+ а{ д + ... 4-ат дт »
д дп (2.7) Q = 60+6|.-gj-+ ... +Ьп~Щ
и аи bj (i = 0, 1, ..., m; / = 0, 1, ..., п) — скалярные величины. Эти коэффициенты являются комбинациями действительных модулей материала. Входящие в (2.5) величины G и К — модули сдвига и объемной дефор мации соответственно; Т — температура; a — коэф фициент теплового расширения;
su = <*ц —у |
огддб;/; |
ец = е/у — eAft Ьц. |
Из (2.6) видно, |
что в |
линейной вязко-упругости |
в процессе деформирования главные направления рас сматриваемых тензоров совпадают. Таким образом, данная форма определяющего уравнения сильно огра ничивает возможные перераспределения напряжений в процессах деформирования, зависящих от времени; с другой стороны, она позволяет получить общие ме тоды решения граничных задач.
14 |
2. Общие положения |
Рассматривая частные формы операторов (2.7), можно получить различные идеализированные моде ли. Поведение простейших вязко-упругих моделей оп ределяется тензорами напряжений и деформаций и их первыми производными по времени.
Полагая
Р = 1. 0 = 1 + £ | - , |
(2.8) |
где г\ — коэффициент вязкости при сдвиге, мы при ходим к простейшей среде, обнаруживающей запазды вание упругости (тело Кельвина). Аналогично про стейшая среда, обнаруживающая ползучесть с по стоянной скоростью (тело Максвелла), описывается операторами
Если G/r\ —*0, т. е. если коэффициент вязкости при сдвиге т]—*>оо, то уравнение (2.9) определяет линей ное упругое тело, тогда как при тех же условиях урав нение (2.8) соответствует абсолютно твердому телу. Отношение r\/G называется временем релаксации. Ли нейная комбинация операторов (2.8) и (2.9) дает простейшее линейное вязко-упругое тело, обладаю щее ползучестью и запаздыванием упругости (стан дартное тело).
С точки зрения приложений теории вязко-упруго- сти к статическим задачам для оболочек модель, опи сывающая ползучесть, имеет весьма ограниченный ин терес, так как она приводит к деформациям, неогра ниченно растущим во времени. В качестве примера рассмотрим несжимаемое тело Максвелла под дей ствием постоянной нагрузки. Зависимость напряже ний от деформаций (2.6) принимает форму
2г)ёц = 8ц. |
(2.10) |
Отсюда видно, что при постоянном напряжении все компоненты девиатора деформаций линейно возра стают со временем, причем главные направления тен зоров сохраняются неизменными. Такой механизм пол-
2.1. Определяющие уравнения |
15 |
зучести не находит экспериментального подтвержде ния; поэтому вводятся более сложные модели.
Если разыскивать в рамках теории линейной вяз- ко-упругости закон деформирования, который дает более адекватное описание процессов ползучести и релаксации, то можно воспользоваться принципом су перпозиции (принципом Больцмана). Этот подход учитывает историю процесса нагружения. Деформи рованное состояние в момент t вызывается эффек тами, возникшими в моменты т, и дается выражением
2Getj(t)= Jt Я (t — x) ои (т) dx +
• t
+ 6,1 j Но(t —т) <г„(т) dx, (2.11)
где Я и Но — функции памяти (функции наследствен ности). Для изотропных материалов могут существо вать только две такие функции. Были предложены различные упрощенные «наследственные» теории ли нейной ползучести и релаксации, использующие спе циальные формы ядер Я и Но [2.2, 2.9, 2.10].
Путем соответствующего обобщения зависимости напряжений от деформаций в форме (2.11) можно описывать процессы, не инвариантные относительно начала отсчета времени, т. е. учитывать эффект из менения констант материала во времени. В таких теориях [2.2] используются соотношения вида
еЧ = 2G(t) Gil ~~ 6V Е (0 akk ~~ t
[К, ( * . 0 + Ко(х, 01 dx + |
6„ J o |
r dx,* , |
'• |
U |
(2. 12) |
к л и т) = т | т г +ч>^ ' т); |
(2.13) |
|
16 |
2. Общие положения |
Здесь vi (0 и V2 |
т) — коэффициенты Пуассона для |
упругих деформаций и деформаций ползучести соот ветственно; G{t) и £ ( 0 — зависящие от времени мо дули упругости. Функция наследственности ф, кото рая определяет деформацию ползучести во времени t, называется мерой ползучести. Эта теория, разра ботанная Г. Н. Масловым и Н. X. Арутюняном, ши роко использовалась при изучении железобетонных
конструкций |
[2.2, 2.9, |
2.46], причем |
функции |
E{t), |
|
vi (t), |
V2(t, т) |
и ф(*, T) |
определялись |
из эксперимента. |
|
Как |
правило, предполагается, что |
vi (0 = |
т) = |
||
= const, так что изменение объема считается инва риантным по отношению к моменту нагружения. При этих предположениях имеем
* 2- v /t,(f, т). |
(2.14) |
Поведение материала описывается одной функцией наследственности К\\ следовательно, линейная ползу честь «наследственного» типа полностью определяется посредством равенства (2.13) мерой ползучести ф.
Для бетонных и железобетонных конструкций вы
ражения вида |
|
Ф= (Со + 4 ) Г* — |
Е = £„(1-ре-«‘), (2.15) |
где С0, Е0, А, а, р и у — константы материала, приво дят к хорошему соответствию с экспериментальными данными.
Решение граничных задач линейной вязко-упруго- сти значительно облегчается возможностью примене ния преобразования Лапласа. Применимость этого преобразования следует из соотношений (2.6). Таким путем в зависимости напряжений от деформаций ис ключается время, и решения получаются с помощью соответствующей упругой задачи [2.1, 2.3, 2.21]. Если при таком подходе пространственные и временные переменные разделяются (как это обычно имеет ме сто в строительной механике), то пространственные распределения полей напряжений и деформаций по лучаются из соответствующих упругих решений для аналогичных граничных задач. Вязко-упругая анало-
2.1. Определяющие уравнения |
17 |
гия приводит к выводу, что вязко-упругие напряже ния будут равны нулю всякий раз, когда равны нулю соответствующие упругие напряжения. Такой же ре зультат справедлив и для поля перемещений. Это означает, что в линейно-вязко-упругих конструкциях из вязкого несжимаемого материала, подверженных неизменным нагрузкам; не происходит перераспреде ления напряжений во времени.
Для «наследственных» теорий неупругого поведе ния решения граничных задач зависят от ядер инте гральных уравнений (2.11) и, следовательно, от функ ций наследственности (2.13). Если, в частности, мера ползучести имеет вид (2.15), то система интегральных уравнений приводится к системе линейных дифферен циальных уравнений с переменными коэффициентами. Это обстоятельство лежит в основе методов практиче ских решений в случаях, когда мера ползучести имеет форму (2.15) [2.2].'
Так как многие материалы не подчиняются закону линейной вязко-упругости, возникает необходимость развивать теорию нелинейной вязко-упругости. Про-, стейшая из них, описывающая нелинейную ползу честь и приводящая к квазивязкому течению, сохра няет в уравнении (2.1) только напряжения и скоро сти изменения напряжений и деформаций.
Соотношения между кинематическими и динамиче скими величинами в теориях нелинейной ползучести записываются либо в форме уравнений течения
= + f (а ц ) = ®?/+ f (а ы) a tr 1
либо, как в теориях, учитывающих старение мате
риала [2.35, 2.36, 2.38, 2.40], явно |
содержат |
время t, |
c(/= e « + f ( <Tw- Q |
v |
(2Л7) |
В большинстве задач о поведении конструкций при ползучести можно пренебречь упругими деформа циями по сравнению с деформациями ползучести. В зависимости от характера изменения во времени
18 |
2. Общие положения |
результирующей деформации ползучести еУ, |еУ7 =
= <р (<г,у, f)] различают три стадии ползучести
^ ® 0 , ^ = 0- |
(2-18) |
Это начальная (неустановившаяся), вторичная (уста новившаяся) и третичная (ускоряющаяся) ползучесть. В первой фазе скорость ползучести убывает до тех пор, пока не достигнет постоянной величины, когда возникает состояние установившегося течения, опре деляемое соотношением (2.16).Через конечный проме жуток времени наступает третья фаза, которая в ко нечном счете приводит к разрушению при ползучести
(при развитых деформациях).
Большинство аналитических исследований отно сится к установившейся ползучести и основано на тео риях ползучести типа течения, так как они содержат явно только скорости изменения компонент деформа ции и собственно напряжения. Учитывая вязкую не сжимаемость и пренебрегая вкладом упругой дефор мации в общую деформацию, можно записать зави симость напряжений от скоростей деформаций для установившейся ползучести в следующем виде:
(2.19)
где !(оц) — скалярная функция инвариантов тензора напряжений. Это уравнение является тензорно ли нейным, но соотношения между отдельными компо нентами могут быть нелинейными. В соответствии с (2.18) главные направления тензоров напряжений и скоростей деформаций совпадают и деформации пол зучести эквиволюмиальны. Существуют также теории, учитывающие зависимость от времени в форме f(ou, t) [2.19, 2.26].
Большинство практических решений задач ползу чести основывается на различных обобщениях степен ной зависимости для одноосного напряженного со стояния ё = kon (закон Нортона), где k и п — кон станты материала. Существуют два пути обобщения этой зависимости на неодномерные напряженные со
2.1. Определяющие уравнения |
19 |
стояния. Согласно первому, предполагается, что пове дение материала зависит от вторых инвариантов тен зоров, входящих в уравнение (2.19); поэтому обоб щенная форма закона Нортона записывается через инварианты тензора следующим образом:
(ьцьц)1г — В ($ijsu)nl21 Ьц—
где В и п — константы материала, причем п — поло жительное целое число, а В может зависеть явно от времени. Используя соотношение (2.19), можно запи сать зависимость между вторым инвариантом девиа-
тора напряжений |
/ 2 = |
и скоростями деформаций |
|
8// = в |
(srss„),'‘- ,),2si; - в ■/?*„. |
(2.20) |
|
Задачи нелинейной ползучести, определяемые равен- ., ством (2.20), в случае когда девиаторные части тен зоров скоростей деформаций и напряжений пропор циональны, а функция пропорциональности зависит от инвариантов напряжений, можно изучать с исполь зованием аналогии между ползучестью и нелинейной упругостью [2.15, 2.36]. Эта аналогия следует из того
факта, что |
равенство |
(2.20) сходно |
с законом |
e,j = |
= f((iij)Sij |
физически |
нелинейной |
упругости, |
когда |
f(Oij) представляет собой соответствующую функцию инвариантов тензора напряжений.
Указанная аналогия очень важна, так как с ее по мощью можно получить решение любой задачи пол зучести, для которой известно соответствующее упру гое решение. Более того, с помощью вариационных методов могут быть найдены приближенные решения, поскольку отмеченная аналогия позволяет использо вать вариационные методы нелинейной упругости. Это обстоятельство имеет практическое значение, так как ввиду нелинейности уравнения (2.20) решения в замк нутой форме получаются редко.
Чтобы частично преодолеть трудности, вызванные нелинейностью уравнений (2.20), которые в комбина ции с уравнениями равновесия приводят в рассмат риваемых задачах к системе нелинейных дифферен циальных уравнений, был предложен альтернативный метод [2.37, 2.47], связывающий максимальные каса
2*
20 |
2. Общие положения |
тельные напряжения тШх со скоростями деформаций сдвига. Такой подход представляет собой второй путь обобщения одноосной зависимости напряжений от ско ростей деформаций, который в определенных случаях может привести к линейным дифференциальным урав нениям. Соответствующая форма соотношения (2.18) такова:
е* - в/ = f (тшх) (ог/ - а,) (/, / = 1 , 2 , 3). |
(2.21) |
Обобщения такого типа приводят к кусочно-линейной теории пластического течения, и, следовательно, при анализе задач ползучести можно использовать ме тоды кусочно-линейной пластичности.
Явление неустойчивости при ползучести относится к нелинейной вязко-упругости. Даже для линейных соотношений между деформациями и перемещениями может оказаться, что за конечный промежуток вре мени при продолжающемся нагружении процесс де формирования станет неустойчивым. Одна из компо нент перемещения, допустим до, будет увеличиваться неограниченно, и, таким образом, до -*• оо. Это явле ние вызвано нелинейностью определяющего уравне ния (2.20) и может произойти как при растяжении, так и при сжатии. В случае осевой сжимающей на грузки неустойчивость при ползучести «физического» типа называется выпучиванием при ползучести [2.16].
Такая неустойчивость существенно отличается от упругого выпучивания, так как она может произойти при нагрузке любой интенсивности по истечении кри тического времени.
Внелинейных теориях вязко-упругости, в которых
вкачестве определяющего уравнения непосредствен но используется соотношение (2.17) между напряже нием, деформацией и временем, обычно предпола гается, что
*1Г*Ъ + Р Щ *1?цТ' m > L |
<2-22) |
Такие теории относятся к начальной ползучести. Серь езным теоретическим недостатком этих теорий упроч нения во времени') является явная зависимость от
*) В подлиннике lime hardening. — Прим. ред.
2.1. Определяющие уравнения |
21 |
времени. Деформация в какой-либо момент времени определяется мгновенным напряженным состоянием в данный момент. При таком подходе эффект упроч нения не зависит от деформации, и время входит в уравнения в качестве независимой переменной [2.2, 2.35, 2.38],
Более логичную формулировку зависимости меж ду напряжениями и деформациями для начальной ползучести дает теория упрочнения. В ней исполь зуются зависимости типа e = f(e)om (более подроб ное обсуждение см. в работах [2.5, 2.26, 2.30]).
В нелинейных теориях наследственности приме няются уравнения, подобные уравнениям (2.11), (2.12). Соответствующие определяющие уравнения содержат нелинейные ядра наследственности. В настоящее вре мя известно лишь ограниченное число таких реше ний [2.2].
Среди теорий, описывающих пластическое пове дение твердых тел, можно выделить Две основные группы. К ним относятся, во-первых, деформационные соотношения, записанные в виде зависимостей напря жений от деформаций, и, во-вторых, определяющие уравнения, выраженные в виде соотношений между напряжениями и скоростями деформаций. Эти две теории обычно называются соответственно теорией малых упруго-пластических деформаций («деформа ционная» или «конечная» теория) и теорией течения («инкрементальная» теория). Очевидно, в обоих слу чаях всякий раз, когда возникают необратимые де формации пластического типа, должно выполняться соотношение (2.2) [2.12, 2.17, 2.18, 2.34, 2.44].
Определяющие уравнения деформационной теории пластичности связывают непосредственно девиаторы напряжений и деформаций; изменение объема пред полагается чисто упругим. Следовательно, для про извольного процесса нагружения имеем
s„ = 20 (1 - ■£) е„ * * ,/, ои = 3Кеп. (2.23)
Разгрузка происходит упруго, т. е. Sij = 2Geijt если только d(SijSij) < 0 . Здесь ф обозначает скалярную