книги / Неупругое поведение оболочек

32 3. Линейная вязко-упругость

модели материала. Например, для тела Максвелла [3.20] указанные модули равны

где s — параметр преобразования Лапласа; т — время релаксации; Е и v — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона в упругой области.

При использовании соотношений (3.10) и (3.11) остальные уравнения, т. е. уравнения равновесия и совместности деформаций и граничные условия, вся­ кий раз также должны быть преобразованы в соот­ ветствии с (3.9). При таком подходе статические за­ дачи (и задачи пропорционального нагружения) вязкоупругих оболочек можно свести к задачам линейной теории упругости. Таким образом, из найденного упругого решения граничной задачи обратным пре­ образованием определяются величины для соответ­ ствующей задачи вязко-упругости; как правило, это сделать не просто. В некоторых задачах теории обо­ лочек с учетом сил инерции используются методы, основанные на преобразовании Лапласа и преобра­ зованиях Фурье или Ганкеля [3.20, 3.21, 3.24].

Для частных видов оболочек с простой геометрией

и для упрощенных моделей вязко-упругого поведения

суспехом можно использовать прямые методы [3.11, 3.25]. При этом величины, характеризующие искомое

поле, представляются двойными степенными рядами с коэффициентами, зависящими от времени.

Общие соотношения для вязко-упругих оболочек изучались И. И. Гольденблатом и Н. А. Николаенко [3.11], которые получили совокупность фундаменталь­ ных соотношений (3.7) и (3.8) с операторами Р и Q различного порядка.

3.2. Примеры решений

Существующие решения технических задач полу­ чены для вязко-упругих оболочек с простейшей гео­ метрией. Нахди и Ортвейн [3.20] исследовали поло­

гий сферический колпачок под действием осесиммет­ ричной нагрузки, произвольно зависящей от времени. Рассмотрим эту задачу с целью иллюстрации прило­ жения метода интегральных преобразований.

Для неограниченной сферической оболочки, у ко­ торой

пряжений Зри для мембранных усилий; р — плотность материала; Н, D, R и Е — обычные обозначения для толщины, жесткости, радиуса и модуля Юнга мате­ риала оболочки.

Решение (3.15) и (3.16) содержит функцию Томп­ сона. Так как в этом случае обратное преобразование невозможно, было применено преобразование Ган-

приводящее к алгебраическим соотношениям для пре­

Так как соотношение (3.19) содержит только по­ линомы от s, то можно найти его обратное преобра­ зование Лапласа и соответственно обратное преобра­ зование Ганкеля. Этот метод использован в работе [3.20] с целью получения решений для оболочек, под­ верженных внезапно приложенным и снятым нагруз­ кам; оболочки были изготовлены как из упруго-за- паздывающего, так и из релаксирующего материалов. Аналогичный подход применим в анизотропной вязко­ упругости.

Преобразование Лапласа и комплексное преобра­ зование Фурье использовал Пистер [3.24] при анализе квазистатического движения ортотропной оболочки, изготовленной из специального вида термореологиче­ ски простейшего материала, а именно из материала со специфической эквивалентностью времени и темпе­ ратуры [3.30]. На рис. 3.1 приведена зависимость мак­ симального прогиба и максимального изгибающего момента от времени для неограниченной цилиндриче­ ской оболочки, нагруженной распределенными по ок­ ружности усилиями; графики построены для различ­ ных отношений коэффициентов ортотропии

где яц и а\2 — времена релаксации; £ц и Е\2 — при­ веденные модули Юнга (3.12) для ортотропного тела Максвелла. Кривые нанесены в зависимости от при­

веденного времени

t

I (*) = J Ф [Т (т)] ch,

о

где функция ф(т) определяет воздействие темпера­ туры на механическое поведение материала оболочки. Из рис. 3.1 видно, что в ортотропных оболочках в за­ висимости от отношения времен релаксации изгибаю­ щий момент может увеличиваться, уменьшаться или оставаться постоянным. (Расчет анизотропных обо­ лочек перекрытий.см. в работе [3.5].)

п -10, т * 10

1,5

1.0

0.5

О

а

I*

6

Р и с . 3.1. Зависимость от времени осевых моментов н ради­ альных перемещений для ортотронной вязко-упругой оболочки [3.24].

а. По оси Абсцисс: приведенное иремп; по осп орлиипт: безразмерное пере* мещение.

б. По осп абсцисс: приведенное время; по оси ординат: безразмерный про» дольный момент.

3. Линейная вяжо-упругость

Из анализа простейших моделей можно сделать определенные выводы для инженерной практики от­ носительно вязко-упругого поведения конструкций. В качестве примера рассмотрим материал с упругим запаздыванием при длительном нагружении. Так как для тела Кельвина операторы Р и Q имеют форму (2.8), соотношения между деформацией сдвига и на­ пряжением записываются в виде

и чисто упруго, т. е. е« = Оц/ЗК. Интегрирование со­ отношений (3.20) при нулевых начальных условиях для девиаторной части деформации дает

Отсюда путем интегрирования по толщине оболочки 2Я и использования определений (2.40) и (2.42) на­ ходим соотношение между напряжениями и получен­ ными деформациями в виде

2 # А-ар = 2G (I ~ е ^t,G) (^ 0 0 “ з" Nyybap'j + -щ - Я ?у6ар

(3.23)

ианалогичное соотношение между тензорами кривизн

иизгибающих моментов. За исключением мгновенной упругой деформации объема, все компоненты дефор­

мации стремятся, очевидно, к соответствующим зна­ чениям для упругих оболочек. Для несжимаемых ма­ териалов с упруго-запаздывающим сдвигом компо­ ненты перемещений имеют вид

(3.24)

где w — перемещение по нормали к срединной поверх­

Аналогично для несжимаемого линейно релаксирующего при постоянном напряжении материала пу­ тем интегрирования (2.6) окончательно получаем

U 4 : U i+ f *)■ <з-25>

Соотношение (3.23) обнаруживает весьма харак­ терное свойство вязко-упругих конструкций. Для

Р и с. 3.2. Моменты „прощелкнвания" для линейно релакснрующей оболочки [3.32].

упруго сжимаемой среды напряжения в начальном состоянии и при очень больших значениях времени соответствуют упругим решениям с различными ко­ эффициентами Пуассона.

Различие между упругим и вязко-упругим поведе­ нием более велико для нелинейных соотношений меж­ ду деформациями и перемещениями. Для этого

3. Линейная вязко-упругость

случая Тангл [3.32] исследовал деформирование, поло­ гих цилиндрических оболочек в случае стандартного линейного тела с помощью преобразования Лапласа и метода Ритца — Галеркина.

Анализ оболочек с геометрической нелинейностью обнаруживает явление «прощелкивания», т. е. потери устойчивости начальной формы оболочки. Для ли­ нейно вязко-упругих тел этоявление зависит от вяз­ ких свойств. На рис. 3.2 приведена зависимость ме­ жду величиной равномерного давления р и безраз­ мерным временем та = ^ari/G Для оболочек из линейно релаксирующего материала при разных значениях геометрическогопараметра а. Видно, что давление «прощелкивания» зависит от времени. Иначе говоря, если принимать во внимание геометрическую не­ линейность, то для заданного давления существует момент «прощелкивания» (см. также Г. С. Григорян [3.13]).

3.3. Приложение теории наследственности

Среди теорий, основанных на зависимости между напряжениями и деформациями (2.11), наиболее раз­ работана для практических приложений теория Ару­ тюняна [3.2]. В ней используется функция наследст­ венности (2.12), т. е. предполагается, что в процессе ползучести существует пропорциональность между продольными и поперечными деформациями.

Используя уравнения (2.12) и (2.14), компоненты деформации для плоского напряженного состояния можно записать в виде

Путем интегрирования (3.26) по толщине оболоч­ ки можно получить соотношения между результирую­ щими усилиями и соответствующими деформациями

3.3. Приложение теории наследственности

срединной поверхности оболочки. Результирующие уравнения имеют вид

(3.27)

ивключают аналогичное уравнение связи между Яар

иЛ'аР.

При длительной нагрузке и в предположении, что v = const, Е = const, результирующее поле перемеще­ ний записывается в простой форме

(3.28)

где ф(/, т ) — соответствующая функция наследствен­ ности, например, принятая Н. X. Арутюняном в виде (2.15).

Если взамен упрощенной зависимости (3.26), в ко­ торой предполагается К2 — vKi, принять общую фор­ му (2.11) уравнения ползучести, то аналогия (3.28) с упругими перемещениями не имеет места. В этом случае граничные задачи для оболочек описываются системой интегро-диффереициальных уравнений [3.4, 3.11], причем можно использовать теории наследствен­ ности [3.2 или 3.26]. С инженерной точки зрения соот­ ношения (3.28) дают некоторые сведения для оценки деформаций линейной ползучести всякий раз, когда известна функция наследственности для неодноосного напряженного состояния и существует упругое реше­ ние. Некоторые результаты, относящиеся к замкну­ тым цилиндрическим оболочкам, можно найти в ра­ ботах [3.6, 3.11, 3.17, 3.4].

Поведение пологих сферических оболочек исследо­ вал М. Р. Фельдман [3.8]. Случай, когда принимается

Г. С. Григорян [3.12] анализировал ползучесть желе­ зобетонных оболочек с целью получить выражения для распределения напряжений между стальной ар­ матурой и бетоном.

4.Установившаяся ползучесть

4.1.Определяющие уравнения для оболочек

До настоящего времени, по-видимому, не полу­ чено решений задач теории оболочек на основе нели­ нейных теорий неупругого поведения с неустановившейся ползучестью. Внимание концентрировалось на задачах об установившейся ползучести, которые по­ зволяют исследовать две важные особенности неуп­ ругого поведения; перераспределение напряжений по отношению к упругому состоянию и выпучивание при ползучести. Огромное разнообразие предложенных зависимостей напряжений от скоростей деформаций вынуждает остановиться на общих особенностях ана­ лиза оболочек при наличии ползучести. Монографии [4.26, 4.31] облегчают задачу изучения особенностей теорий ползучести. Задачи, имеющие отношение к оболочкам, исследовал Ю. Н. Работнов [4.35]; Хофф опубликовал обзор по выпучиванию при ползучести [4.21].

Рассмотрим сначала соотношение между внутрен­ ними силами и деформациями в произвольной точке срединной поверхности оболочки. В условиях пло­ ского напряженного состояния простейший степенной закон ползучести К{е)оп для одноосного растя­ жения, обобщенный в форме (2.17), можно записать в виде

Выразив компоненты напряжений с учетом усло­ вия (2.20), получим соотношения между напряже­ ниями и скоростями деформаций