книги / Неупругое поведение оболочек

62 5. Теория упруго-пластических деформаций

вить в (2.40) выражения (5.13), то после интегри­ рования получаются следующие равенства:

между результирующими силами и перемещениями, вызванная, согласно (5.14), нелинейностью. Эту по­ правку легко выразить через w, так как 1\ и /3, со­ гласно (5.6), можно найти путем интегрирования. На­ пример, для чисто пластического состояния имеем

где г() = 3w2J4(w")2R2H2. Идея разделения соотноше­ ний (5.4) и (5.5) на две части, как это видно из (5.14), предложена А. А. Ильюшиным [5.11] в связи с приложением метода упругих решений. Зная Я ф и

Мх, выраженные через радиальные перемещения, можно записать уравнение равновесия (4.17) «в пе« ремещениях»:

страняются ли пластические зоны по всему попереч­ ному сечению оболочек или только в области |Я |

стической области, полученной из условия со = 0 (та­ ким образом, еце(! = ky2G). С помощью несколько

утомительного численного решения было установлено, что пластические зоны распространяются по толщине оболочки.

В случае поисковой нагрузки, приложенной к бес­ конечной оболочке из неупрочняющегося материала, подстановка (5.17) и (5.18) в соответствующие со­ отношения (5.4) и (5.5) приводит к следующим вы­ ражениям результирующих сил через перемещения:

Подставив эти формулы в уравнения равновесия, мы можем определить поле напряжений в пластической зоне в параметрической форме (см. [5.12] [5.14]) и в конечном счете вычислить разрушающую нагрузку.

Метод упругих решений применялся в серии ра­ бот И. С. Цуркова [5.24—5.28]. В работе [5.24] даны явные выражения и 6/Уфдля цилиндрической обо­

лочки и решен частный пример. Задачи о пологих оболочках изучались в работе [5.26] с использованием двойных рядов Фурье для функции перемещений сфе­ рической оболочки, квадратной в плане. Полученные графики зависимости нагрузок от перемещений для центра стальной оболочки показаны на рис. 5.1. Эти графики иллюстрируют пример сходимости метода упругих решений для соотношения между нагрузками и перемещениями. На основе проведенных численных расчетов И. С. Цурков предлагает рекуррентное со­ отношение для перемещений произвольного 6-го при­ ближения в виде

Взаимодействие между длинной цилиндрической оболочкой (под внутренним давлением) и упругим

кольцом изучалось в работе [5.27]. Поведение защем­ ленной оболочки под равномерным давлением анали­ зировалось в работе [5.28] также методом упругих ре­ шений. На рис. 5.2 приведена результирующая зави­ симость между давлением и изгибающим моментом' для нулевого, первого и еще одного приближения.

При pRI2o0H <4/(7 У з”) поведение является чисто упругим; пластические деформации возникают на внешних волокнах, а момент в заделке стремится к предельной величине.

Напряженное состояние у линий резкого измене­ ния кривизн оболочки изучал А. А. Ильюшин [5.11, 5.14]. Р. А. Межлумян применил метод упругих решений для записанных в перемещениях уравнений изгиба и кручения оболочек (тонкостенных стержней) открытого профиля [5.18—5.21]. В работе [5.21] по­ добная задача анализировалась путем применения ва­ риационного метода; однако частных решений не было получено. И. С. Герасимов [5.4] использовал вариа­ ционный метод для изучения взаимодействия упруго­ пластической пластинки с упругой цилиндрической оболочкой в сосудах давления.

Теория упруго-пластических деформаций применя­ лась также Е. Б. Горбачевым [5.5] при анализе взаи­ модействия цилиндра с конусом. В. В. Васильев [5.29, 5.30] и И. Ю. Хома [5.9, 5.10] изучили общие за­ висимости типа (5.4) и (5.5) для оболочек с геомет­ рией частного вида, выражая удлинения и кривизны через перемещения. Клемент [5.16] исследовал упруго­ пластические деформации цилиндрической оболочки, нагруженной по кольцу, определяя численно распро­ странение пластических зон по толщине и вдоль обо­

лочки.

Дальнейшая литература по применению теории упруго-пластических деформаций к исследованию обо­ лочек, включая исследование устойчивости, дана в обзорной статье Ю. Р. Лепика [5.17].

Ясно, что методы теории малых упруго-пластиче­ ских деформаций имеют особое значение при иссле­ довании начала процесса пластической деформации.

В частности, они могут дать технически интересные 5 Зок. 81

66 5. Теория упруго-пластических деформаций

результаты при оценке перемещений на ранней ста­ дии неупругого поведения. С другой стороны, если исследуется задача об определении коэффициента за­ паса конструкций в связи с их возможным разруше­ нием, то метод упругих решений мало полезен, так как он требует проведения большого количества вы­ числений; кроме того, он приводит только к прибли­ женным оценкам разрушающей нагрузки для упруго- идеально-пластических оболочек. В этом состоит одна из причин того, что теория упруго-пластических де­ формаций в известном смысле достигла состояния застоя, тогда как для определения несущей способ­ ности методы теории пластического течения оказались по форме более удобными и технически более эффек­ тивными. Теория упруго-пластических деформаций (см. уравнение (2.23)) использовалась также при изу­ чении больших деформаций оболочек. Соответствую­ щее обсуждение дается в разделе о теории конечных деформаций, где используется понятие логарифмиче­ ской деформации.

6.Теория предельного равновесия

6.1.Поверхности текучести для оболочек

Вповедении упруго-идеально-пластических (неупрочняющихся) конструкций при заданном однопа­ раметрическом нагружении можно различить две ста­ дии, а именно: а) рабочее состояние, б) состояние разрушения.

Впервой стадии существует однозначное соответ­ ствие между напряжениями и деформациями в любой момент программы нагружения, тогда как во второй деформации неограниченно возрастают при постоян­ ной величине интенсивности нагрузки. Соответствую­ щая величина нагрузки определяется как разрушаю­ щая нагрузка. Это отражает тот факт, что исследуе­

рении этих областей.

Величину разрушающей нагрузки можно опреде­ лить либо путем исследования полного процесса упру­ го-пластического деформирования вплоть до разру­ шения, либр с помощью применения таких методов, которые относятся исключительно к состоянию разру­ шения. В последнем случае отправной точкой ана­ лиза служит жестко-идеально-пластическая модель деформирования. Тогда разрушающая нагрузка свя­ зывается с началом пластического движения [6.12, 6.36, 6.37, 6.43, 6.113], которое впоследствии продол­ жается при постоянной нагрузке; в теории предель­ ного равновесия предполагается, что изменениями геометрии конструкций, вызванными пластическими

б*

деформациями, можно пренебречь, так что все соот­ ношения можно отнести к недеформированному со­ стоянию.

В теории состояния разрушения (теории предель­ ного равновесия) требуется прежде всего установить критерий текучести. При исследовании оболочек усло­ вие текучести (2.2) следует видоизменить путем пре­ образования пространства напряжений сгг;- в прост­ ранство результирующих напряжений iVap и момен­

тов напряжений Мар согласно (2.45). В пространстве

результирующих напряжений условие текучести об­ разует замкнутую гиперповерхность, содержащую на­ чало декартовой системы координат. Эту гиперпо­ верхность обычно называют поверхностью текучести. В теории тонких оболочек, как правило, пренебрегают влиянием поперечных сил на условие текучести. Зна­ ния поверхности текучести, однако, недостаточно для описания пластического движения. Для полного опре­ деления состояния разрушения требуются еще соот­ ношения, описывающие движение механизма текуче­ сти, т. е. система соотношений (2.44). Такие соотно­ шения в пластичности доставляются теорией течения. Поверхность текучести и закон движения механизма текучести составляют основу для теории предельного равновесия.

Следуя постулатам Друккера, обычно предполага­ ют, что геометрическое место точек текучести (2.45) определяет также потенциал для соответствующих скоростей деформаций. Таким образом, закон течения пластического потенциала принимается в форме

Он описывает мгновенное состояние движения в точ­ ках оболочки, в которых F(Mau, Na$) = 0 . Этот за­ кон называется ассоциированным законом течения.

Доказано, что в случаях выполнения закона течения пластического потенциала (2.37) он справедлив так­ же и в пространстве результирующих напряжений [6.136, 6.125]. Соответствующие результирующие на­ пряжений и скорости деформаций взаимосвязаны вы­

6.1. Поверхности текучести для оболочек

ражением для скорости диссипации внутренней энергии, отнесенной к единице площади срединной поверх­ ности оболочки,

Втакой формулировке результирующие напряжений

имоменты /Уцр, МП|з называются обобщенными на-

пряжениямщ а скорости деформаций Л р и скорости кривизн *ар срединной поверхности оболочки — обоб­

щенными скоростями деформаций (см. Прагер [6.113—6.115]) . Обобщенные напряжения можно опре­ делить различными способами, а не только посред­ ством соотношения (2.40); однако обобщенные ско­ рости деформаций должны быть выбраны таким об­ разом, чтобы были удовлетворены требования для функции диссипации (6.2) (см. [6.122]). Если принят ассоциированный закон течения, то основной задачей теории предельного равновесия остается определение поверхности текучести. Решение граничных задач для идеально-пластических конструкций дает интенсив­ ность разрушающей нагрузки, поле результирующих напряжений, соответствующее разрушающей нагруз­ ке, и адекватное описание пластического движения, т. е. форму разрушения. Все эти ингредиенты полного решения задачи о предельном равновесии зависят от поверхности текучести. Прежде чем перейти к рас­ смотрению частных задач, необходимо, следовательно, изучить вопросы построения поверхностей текучести и их геометрии, так как последняя определяет формы разрушения.

Для формулировки соотношений текучести в про­ странстве результирующих напряжений существуют два подхода. В первом условие текучести, выраоюенное в компонентах напряжений, в соответствии с (2.40) преобразуется в пространстве результирующих напряжений, в другом условие текучести непосред­ ственно формулируется в результирующих напря­ жений.

Преобразование условия текучести (2.2) в прост­ ранстве результирующих напряжений составляет одну

70 6. Теория предельного равновесия

из важнейших задач теории предельного равновесия. В этом состоит ее главное отличие от других задач о неупругих оболочках.

Рассмотрим сначала поверхность текучести обо­ лочек из материала Губера — Мизеса, для которого имеем

Соответствующий закон течения тогда определяется соотношениями (2.26) и (2.27). При плоском напря­ женном состоянии условие текучести Губера — Ми­ зеса имеет форму (5.2). Для несжимаемого материа­ ла справедливо равенство

(6.3)

Используя закон течения пластического потенциала (2.37) и условие (5.2), находим

(6.4)

Неизвестный параметр течения v, определяющий ве­ личину вектора скорости деформации, можно найти из критерия текучести (5.2) следующим образом:

Таким образом, при критерии текучести Губера — Мизеса и ассоциированном законе течения вектор скорости деформации единственным образом опреде­ ляет напряженное состояние. Посредством интегриро­ вания (6.4) по толщине оболочки находим следующие выражения для результирующих напряжений и мо­ ментов:

где

н

(6.8) •

Интегралы (6.8) можно легко вычислить, так как величина v является полиномом второй степени от скоростей деформаций. Таким образом получается параметрическое уравнение поверхности текучести для идеально-пластических оболочек. Вследствие сим­

нечном счете уравнение F(Nafi, МаР) = О представ­ ляет собой гиперповерхность в шестимерном про­ странстве результирующих напряжений. Параметри­ ческое уравнение этой поверхности дают равенства (6.6)—(6.8), в которые входят пять независимых па­ раметров. Уравнения поверхности текучести в анало­ гичном виде были даны А. А. Ильюшиным [6.57, 6.58] и вновь получены с введением несколько иных пара­ метров Ходжем [6.46] (см. также В. В. Рождествен­ ский [6.120], Савчук и Рыхлевский [6.136], Г. С. Ша­ пиро [6.137] (с учетом эффектов сдвига), М. И. Ерхов [6.21], Пиан [6.112] и другие [6.5, 6.23, 6.47]). При рас­ смотрении частных случаев нагружения, геометрии оболочек, а также силовых и кинематических гранич­ ных условий можно пользоваться некоторыми упро­ щенными формами уравнений текучести.

Так как процесс необратимого’ деформирования характеризуется соответствующей скоростью диссипа­ ции энергии (6.2), то рассматриваемые поверхности текучести можно привести к формам, содержащим только те результирующие напряжений, которые дают вклад в диссипацию энергии. Результирующие напря­ жений не дают вклада в диссипацию энергии, если они сами или соответствующие им скорости деформа­ ций обращаются в нуль. Савчук и Рыхлевский [6.136] установили, что все частные виды поверхностей теку­ чести для осесимметричных, цилиндрических и других оболочек могут быть получены из общей поверхности текучести либо путем сечения, либо с помощью орто­ гональной проекции этой поверхности на соответст­ вующее подпространство, при которой исключаются не относящиеся к делу результирующие напряжений.

Замкнутые выражения для поверхности текучести Губера — Мизеса имеют нелинейную форму. В связи