книги / Неупругое поведение оболочек

с этим решение задач о предельном равновесии ока­ зывается возможным лишь с применением численных методов, исключая, быть может, некоторые частные случаи.

По этой причине привлекли внимание условие те­ кучести Кулона — Треска и ассоциированный закон течения, распространенный' на кусочно-линейные по­ тенциалы. Впервые поверхности текучести для кусоч­ но-линейных условий текучести рассмотрены в работе Друккера [6.11], которая стимулировала развитие тео­ рии предельного равновесия оболочек1).

Условие текучести Кулона — Треска для плоского напряженного состояния, выраженное через главные напряжения, записывается в виде

Таким образом, можно ожидать, что в определен­ ных случаях поверхность текучести в пространстве результирующих напряжений будет также линейна. Из ассоциированного закона течения и соотношения (2.42) следует, что распределение скоростей дефор­ маций по толщине оболочки определяется выраже­

В общем случае, когда оболочка деформируется в двух главных направлениях так, что

*) Впервые задачи о предельном равновесии оболочек реша­ лись с помощью условий текучести как Кулоиа — Море, так и Губера — Миэеса в докторской диссертации С. М. Фейиберга «Принцип предельной напряженности», выполненной в 1946 г. Извлечения из этой диссертации публиковались позднее в жур­ нале «Прикладная математика и механика» (см. ПММ, 12, № 1 (1948); ПММ, 21, № 4 (1957)). — Прим. ред.

необходимо совместное выполнение двух соотношений текучести (6.9) (углы шестиугольника текучести в пространстве напряжений). Пусть, например, внутри определенной области по толщине оболочки имеем ё( > О и ё2> 0 . Из (6.10) и (6.11) видно, что это воз­ можно только при одновременном выполнении усло­ вий текучести для фх и ^2- Отсюда заключаем, что 02= 0о, если О-^ёз/ё, <оо. Подобные же рассужде­ ния можно провести и для других значений скоростей деформаций. В результате получаем следующие соот­ ношения:

Остаются еще две системы условий, соответствующие паре условий текучести {ф$—фц) и (^>6—Ф\)- Отсюда можно заключить, что для кусочно-линейного крите­ рия текучести распределение скоростей деформаций однозначно определяется распределением напряжений по толщине оболочки. Это дает возможность опреде­ лить результирующие напряжений (2.40) и, следова­ тельно, найти поверхность текучести для оболочек в параметрической форме. Параметрами могут быть, например, отношения удлинений и кривизн срединной поверхности оболочки. Такой.метод построения по­ верхности текучести для осесимметричных оболочек описан впервые в работах Оната и Прагера [6.103] и Оната [6.98]. Так как для осесимметричных оболо­ чек напряженное состояние однозначно определяется двумя мембранными усилиями и двумя изгибающими моментами, геометрическое место точек текучести об­ разует гиперповерхность в четырехмерном простран­ стве напряжений. Легко проверить, что для произ­ вольного линейного распределения скоростей дефор­ маций любому поперечному сечению оболочки можно сопоставить самое большее четыре режима напряже­ ний. Таким образом, три параметра однозначно

жащей нормальной проекции (см. [6.136]). Другой подход к построению поверхности текучести для ци­ линдрических оболочек принадлежит Ходжу [6.38].

Вид поверхности текучести зависит от свойств сте­ нок оболочки. Следовательно, для трехслойных обо­ лочек геометрию поверхности текучести следует изу-

Ри с . 6.1. Поверхность текучести для цилиндрических оболочек постоянного поперечного сечения; условие текучести Треска.

чить особо. Действительно, для трехслойных оболо­ чек, состоящих из двух слоев (толщиной t), воспри­ нимающих мембранные напряжения, и центральной прослойки толщиной 2Я для передачи поперечных сил, преобразование (2.40) из пространства напряжений в пространство результирующих напряжений весьма просто:

пересечение двух гиперповерхностей, каждая из ко­ торых описывает текучесть одного слоя.

Для условия текучести Кулона — Треска (6.9) ана­ логичный результат получается в виде пересечения двух гиперпризм (кусочно-линейные поверхности те­ кучести), характеризующих состояния текучести на­ ружного и внутреннего слоев соответственно (см. [6.136]). Соответствующие уравнения для условия Тре­ ска приведены в табл. 6.2. В общем случае имеются два условия для трехслойных оболочек, поскольку, как показано Ходжем [6.43, 6.44], непрерывный про­ цесс деформирования требует перехода обоих слоев в пластическое состояние.

Линейность уравнений текучести в табл. 6.2 по­ зволяет решить задачу о предельном равновесии. Од­ нако на практике любое решение может относиться к нескольким различным режимам текучести; тогда анализ становится чрезвычайно утомительным, по­ скольку для различных областей изменения незави­ симых переменных применяются различные уравне­ ния текучести.

В замкнутой форме решения получены только для круговых цилиндрических оболочек; конкретные ре­ шения для них рассмотрены ниже.

Трехслойное приближение гиперповерхностей те­ кучести для однородных оболочек (по существу в

чения, то в качестве поверхности текучести можно принять сечение действительной гиперповерхности текучести гиперплоскостью, представляющей собой от­ брасываемую результирующую напряжений. Такой подход применяли Друккер и Шилд [6.17, 6.140] к ис­ следованию тороидальной оболочки. Эти авторы пре­ небрегали влиянием окружных моментов на текучесть

Р и с . 6.2. Поверхность текучести для цилиндрических оболочек трехслойного типа; условие текучести Треска.

сечения оболочки. Соответствующая поверхность те­ кучести получается из уравнений табл. 6.2, если по­ ложить равной нулю надлежащую результирующую напряжений (скажем, т2). Условие т2 = 0, введенное в табл. 6.1, упрощает поверхность текучести однород­ ной оболочки.

Другой метод аппроксимации состоит в отделении мембранного эффекта от эффекта изгиба оболочки, при этом предполагается, что между ними отсутст­ вует взаимодействие, когда речь идет о поверхности

текучести. В этом случае действительная гиперповерх­ ность текучести F(Na$t Ма$) — const заменяется дву­ мя гиперповерхностями, каждая из которых зависит либо от моментов, либо от мембранных усилий соот­ ветственно; таким образом,

Если CN и См считаются независимыми и равны модулям текучести при мембранном состоянии и чи­ стом изгибе соответственно, то соотношения (6.23) приводят к аппроксимации Ходжа двухмоментного ограниченного взаимодействия [6.42, 6.44]. Однако если предположить, что

где .функции fi и /2удовлетворяют условию текучести в виде, полученном путем интегрирования по тол­ щине пластинки, а не по каждому слою, то в резуль­ тате приходим к приближению В. И. Розенблюма [6.118, 6.119]. В работе [6.118] соотношение (6.24) ис­ пользуется в форме

(см. также Г. С. Шапиро [6.137], который обобщил этот подход на случай, когда-.пренебречь влиянием перерезывающих сил на критерий текучести нельзя).

В работе [6.44], в которой Ходж предлагает по­ верхность двухмоментного ограниченного взаимодей­ ствия, дается соответствующая форма условия теку­ чести Кулона — Треска. Для осесимметричных оболо­ чек это условие выражается через главные значения результирующих напряжений следующим образом:

Очевидно, что такая гиперповерхность является опи­ санной по отношению к действительным поверхностям текучести, определяемым согласно табл. 6.1 и 6.2,

6. Теория предельного равновесия

Для некоторых конструкций оболочек предполо­ жение об отсутствии взаимодействия между окруж­ ными и меридиональными напряжениями оболочки может быть оправдано. При этом получается другой тип поверхности текучести ограниченного взаимодей­ ствия. В этом случае поверхность текучести обра­ зуется пересечением двух гиперповерхностей вида

f ! {Nit Mi) = const и /2(Л^2, М2) = const (6.27)

(без боковой поверхности пересечения). Такое при­ ближение применял Мруз [6.84] к железобетонным оболочкам. Савчук и Ольшак [6.135] установили, что это предположение эквивалентно условию разруше­ ния от максимального нормального напряжения и со­ ответствующему закону течения. Построение поверх­ ности текучести для железобетона (с разными свой­ ствами текучести в случае растяжения Rt > 0 и сжа­ тия Rc< 0, |Дс| Ф |Я ,|) ПРИ условиях

Фа~ Ga~ Rb Оа>0,

(6.28)

можно найти в работах [6.84, 6.134, 6.135]. Результи­ рующая поверхность текучести состоит из двух пере­ секающихся параболических цилиндров.

Для аналогичного материала с различными преде­ лами текучести при растяжении и сжатии, который, однако, взамен условий (6.28) удовлетворяет условию текучести для максимального касательного напряже­ ния, соответствующая поверхность текучести для неармированных трехслойных оболочек построена Пра­ гером [6.116]. В более общем случае хрупко-пласти­ ческого материала (чувствительного к гидростатиче­ скому давлению) соответствующие уравнения гиперпо­ верхности текучести даны Санкаранараянаном [6.126], Санкаранараянаном и Ольшаком [6.127], Д. Д. Ивле­ вым [6.62] и Ю. П. Листровой [6.72]. Для оболочек, усиленных ребрами, поверхности текучести изучались Ю. В. Немировским и Ю. Н. Работновым [6.90, 6.91].

Проблема «поверхностей текучести» для хрупко­ пластических материалов обсуждалась Жичковским