книги / Неупругое поведение оболочек

<р > 0 при нагружении и <р = 0 при разгрузке. Ее вид зависит от принятого условия текучести (2.2). Если, например, ф (оц) = — 2k2 = 0, где k — предел те­ кучести при чистом сдвиге, то, возведя в квадрат (2.23), получаем

Отсюда видно, что история процесса деформирования входит в определяющие уравнения в виде инварианта ецеij. Подстановка (2.24) в (2.23) позволяет обнару­ жить, что при пластическом деформировании значе­ ние времени несущественно, так как в правой части получаем однородную функцию нулевого порядка от­ носительно времени. Так как ф — скалярная функция, тензорное уравнение (2.23) определяет соосность тен­ зоров напряжений и деформаций в течение процесса деформирования. Соотношения (2.23), называемые со­ отношениями Генки — Ильюшина, могут привести к корректным решениям граничных задач, если в про­ цессе нагружения главные направления тензоров на­ пряжений и деформаций остаются неизменными. Это условие очень редко выполняется для оболочек, по­ скольку при наличии пластических деформаций допу­ стимы только такие перераспределения напряжений, которые не изменяют главных направлений. В дей­ ствительности при нагружении соотношения «конеч­ ной» теории пластичности аналогичны соотношениям теории физически нелинейной упругости при заданной диаграмме «напряжения — деформации».

Уравнения теории течения упруго-пластических твердых тел связывают явно компоненты напряжений и скоростей пластических деформаций

где X— неотрицательная скалярная функция, опреде­ ляемая, если необходимо, из условия текучести (2.2). В случае жестко-идеально-пластического материала

при ги = = 0 соответствующий закон течения имеет вид

Зависимости (2.26) известны как соотношения Леви — Мизеса. По виду они аналогичны уравнениям течения теории ползучести (2.20), но в действительности опре­ деляют другое явление. Поскольку для пластических тел, кроме соотношений (2.26), должно удовлетво­ ряться условие пластичности, то можно найти соот­ ветствующую величину Я. Пусть, например, условие текучести зависит от второго инварианта девиаторной части тензора напряжений самым простым способом, а именно

4>*=sl l S t i - 2 k2 = 0 .

Возведя в квадрат (2.26), получаем

Сравнивая соотношения (2.20), (2.26) и (2.27), легко усмотреть независимость (2.26) и (2.27) от времени. Отсюда обнаруживаются также различия и аналогии, которые существуют между установившейся ползу­ честью и пластическим течением. Следует отметить, что в отличие от теории малых упруго-пластических деформаций теория течения пригодна для нахожде­ ния перераспределения напряжений в областях, на­ груженных за пределом текучести, поскольку в ней не требуется пропорциональности между тензорами напряжений и деформаций. Здесь должны быть со­ осны тензоры напряжений и скоростей деформаций,

ане тензоры напряжений и деформаций. Соотношения теории идеально-пластических тел

образуют основу для определения несущей способно­ сти конструкций (теория предельного равновесия) и

гое, вязкое и пластическое поведение, могут быть получены с помощью надлежащей модификации

рассмотренных основных определяющих уравнений для неупругих материалов. Однако в этом направле­ нии сделано еще немного, по крайней мере в отноше­ нии приложений к задачам для оболочек [2.27, 2.28].

Если не делать предположения о малости дефор­ маций, то определяющие уравнения следует видоиз­ менить так, чтобы были учтены большие деформации и, следовательно, изменения геометрии деформируе­ мого тела [2.33].

2.2. Диссипативные потенциалы

Реакция материала на внешние воздействия, уста­ навливаемая определяющим уравнением, зависит от состояния в рассматриваемой точке, а не от пути, которым это состояние достигнуто. Отсюда следует, что определяющие уравнения можно связать с соот­ ветствующими потенциалами, т. е. можно выразить через скалярные функции, содержащие кинематиче­ ские и динамические величины. По аналогии с упру­ гим потенциалом (плотность потенциальной энергии), который определяет процесс полностью обратимой де­ формации в термически изолированной среде, в ме­ ханике неупругого поведения вводится понятие о дис­ сипативных потенциалах [2.8, 2.7]. Применение этого понятия тесно связано с приложением вариационных теорем для сплошной среды и, следовательно, с ис­ пользованием приближенных методов решения не­ упругих задач в строительной механике.

Если определяющее уравнение (2.1) содержит на­ пряжения, деформации и скорости их изменения, то, кроме того, имеем плотность упругой энергии V, опре­ деляемую как 2V = oifefr и следующие скаляры:

которые представляют собой мощность и дополни­ тельную мощность деформации на единицу объема. Упругие части (2.28) сохраняются, тогда как вязкая часть DM и пластическая часть DP

(2.29)

диссипируются. Выражения (2.29) представляют со­ бой диссипативные функции.

Хотя эти функции однородны относительно компо­ нент напряжений и скоростей деформаций, они сами по себе не являются потенциалами. Однако с помо­ щью этих функций можно построить потенциалы для напряжений и скоростей деформаций. Соответствую­ щие диссипативные потенциалы для вязкого и пла­ стического тел имеют вид

оо

Для указанных функций имеют место соотношения

Таким образом, выражения (2.30) эквивалентны со­ ответственно плотности энергии деформации и плот­ ности дополнительной энергии. Если при неупругих деформациях материал считается несжимаемым, то изменения объема происходят без диссипации энер­ гии и, следовательно, U = оцВц = вцёц. Математиче­ ская форма диссипативных функций (2.29) зависит от материала рассматриваемого тела. Для линейного вязкого несжимаемого течения уравнение (2.1) имеет вид

»</=2п*5- 2 чtfr

Следовательно, чтобы были удовлетворены соотноше­ ния (2.29), вязкий потенциал должен иметь форму

а общий дополнительный потенциал — в виде

Вариационные принципы для этого потенциала утверждают:

I. Среди всех полей скоростей, удовлетворяющих требуемым кинематическим условиям и условиям сплошности, действительное поле минимизирует по­ тенциал (2.38).

II. Среди всех напряженных состояний, удовле­ творяющих уравнениям равновесия и граничным усло­ виям, действительное состояние минимизирует потен­ циал (2.39).

Эти утверждения используются для получения приближенных решений граничных задач в теории оболочек.

2.3. Допущения теории тонких оболочек

Кинематические и динамические уравнения теории тонких оболочек записываются посредством результи­ рующих сил, результирующих моментов и деформа­ ций срединной поверхности оболочки. Напомним эти основные понятия теории, так как они потребуются в дальнейшем [2.6, 2.10, 2.23, 2.24, 2.45].

Пусть начало декартовой системы координат х* (/ = 1, 2, 3) помещено в какой-либо точке срединной поверхности оболочки, а ось х$ направлена па внеш­ ней нормали к этой поверхности. В теории тонких оболочек предполагается, что Оэз=0 и, таким обра­ зом, напряженное состояние полностью описывается остальными пятью компонентами напряжений <т р, сгаз

(а, р = 1, 2).

Кроме того, толщина 2Н оболочки предполагается малой по сравнению с радиусами главных кривизн ра (т. е. 2Я/ра < 1). При этих предположениях резуль­ тирующие усилия и результирующие моменты, приво­ дящие напряженное состояние оболочки к состоянию

Отсюда видно, что при допущениях, принятых в теории оболочек, не все результирующие входят в функцию диссипации. Так как любой процесс неупру­ гого деформирования сопровождается диссипацией, результирующие силы и моменты, входящие в (2.43), представляют специальный интерес. Они определяют обобщенные напряжения, а соответствующие дефор­ мации называются обобщенными деформациями^.,33]. Результирующие, которые не входят в функцию дис­ сипации, являются силами реакции для рассматри­ ваемого процесса [2.39, 2.43].

Используя соотношения (2.40) и (2.42), можно за­ писать определяющие уравнения для оболочек через величины yVap, Map, иар, Яар.и их производные по вре­ мени. При этом уравнение (2.1) после преобразова­ ния переменных принимает вид

Для пластических оболочек необходимо записать до-' полнительное соотношение, представляющее условие текучести в результирующих силах и моментах, т. е.

Сравнение соотношений (2.3) и (2.45) приводит к за­ ключению, что переход от условия текучести в напря­ жениях к форме, содержащей результирующие силы и моменты, требует соответствующего интегрального преобразования [2.13, 2.17, 2.32, 2.39, 2.43].

Частный вид гиперповерхности текучести (2.45) за­ висит от выбранного условия текучести (2.3).

3.Линейная вязко-упругость

3.1.Уравнения теории оболочек для простейших моделей

Считая напряженное состояние плоским и прене­ брегая тепловым расширением, определяющее урав­ нение (2.5) с невязкими изменениями объема можно привести к виду

В предположении прямолинейности нормалей напря­ жения, параллельные срединной поверхности обо­ лочки, выражаются соотношениями

P*ap —2GQ [Яар+ Xtfiap+ A(^YY+ х3куу) 6ар], (3.2)

где через А обозначен сложный оператор

В линейной вязко-упругости уравнения плоского на­ пряженного состояния имеют такую же форму, как и в линейной теории упругости, однако модули упру* гости заменяются соответствующими временными опе­ раторами [3.9]. Так как операторы Р и Q не зависят от пространственных переменных, путем интегрирова­ ния соотношений (3.2) по толщине пластинки нахо­ дим зависимости между результирующими усилиями и деформациями срединной поверхности

Отсюда видно, что мембранные усилия вызывают чи­ стое растяжение срединной поверхности, тогда как моменты напряжений связаны только с кривизнами. Таким образом, распределение напряжений по тол­