Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Уравнения математической физики методы решения задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

5.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

•	V4 Я -9 ,	л
sin	----------/ = 0,
	2
V4A-9 l = т		(n = 1,2,3...),

Л„ = —- я 2п212 - собственные значения.

Тогда собственные функции имеют вид

_3
Х п(х) = е 2 sin-^p-,	« = 1,2,3....

6.2. Разложение функции в ряд Фурье по системе

собственных функций задачи Штурма - Лиувилля

Основное свойство системы собственных функций задачи Штурма -

Лиувилля {хп}™=1 - то, что она является базисом в пространстве L2[o,/].

Иначе говоря, она
1.	,	v	ГО, п * к ,					^
1.	Ортогональна {Хп,Х к) =				ц2		^	^
2.	Полна, т.е. V/ е Т2[0,/] сходится ряд Фурье.
	г	<f	г		у-1		_ о__________
	г	_ U	>л	п )			_ о__________
		п ~	—	ц2			~	/
								\ x l ( x ) d x
								о
Задана 6.6. По системе собственных функций
				[1,		п = 0,
		Х п =\				т		я> 0	.
			п		cos— х,			я> 0
				I			/
разложить в ряд Фурье функцию /(х)=х								на отрезке [О;/]:

			2			2		21.2
l-co s2 p nl =			2			2		8/^/z
l-co s2 p nl =				t	[	{p2 - h 2f	(fi2„+ h2J
		1 + ctg2p nl		t	[	{p2 - h 2f	(fi2„+ h2J
						*M2nh2
иу „2 /^2 +/г2		, ,		- h 2\		h %n2nh2		p n2 +h2 ,
2			^ я Й + А 2)2			2 Й + ^ 2)2		2
Л (fi2n - h 2f		+4 p nti2		A	+ b2		к + ь 2) + 2h
+ —				A	+ b2		к + ь 2) + 2h
+ —						l +h =
k	+	h	f		2
Cn = r		2	i			cosMn* + Лsinp nx)dx.
Cn = r	2 'T a t -----Г					cosMn* + Лsinp nx)dx.
\p2n +h2) + 2 h l

Врассмотренных задачах системы собственных функций ортогональны.

Вследующей задаче необходимо найти вес для системы собственных функций.

Задача	6.8.	Дана	система			собственных	функций
	2
—X
* „ м =	sin-7ГПХ	(л = 1,2,...).		Данная		система ортогональна с
весом. Найдем вес:		(рХ')+АрХ = О,
		(рХ')+АрХ = О,
		рХ п +р Х ' + ЛрХ = 0.
Для нашей задачи		X ” + ЪХ' + АХ =0,
		рХ ”+ ЗрХ ' + ЛрХ =0.
Получаем	р' = Ър.	Тогда одно из			решений р{х) =еЪх		и система
собственных функций ортогональна в пространстве L2 р [О,/]:
		\е^х/{х)е		--зX
		\е^х/{х)е		2	sin —~dx
		П				I
		С = -
		,Ъх	■)* .		япх	dx
		1	е 1	sin----		dx

3 *2.71х

Разложим функцию f(x ) = г — sin -у - в ряд

у[е3х

I способ.

_ {fxXn) С =

fеЪх —JL -sin^j^g			2 sin^ - d x
о	V ^7	1	^
	l 3v (	з .	ттхЛ
	■	e 2 sin	dx

fO, п ф 2 ,

[3, л = 2.

3^pX2X ndx

j x f a

II способ. f(x ) = 3JST2 = X Cnx n >в силу единственного разложения в ряд л=1

Фурье С„ = [О,	п ф 2,	Итак,
13,	л = 2.

f(x)=3X2 - разложение в ряд.

I K f = \x ld x

при

и = О

||*0||2= J/2<fc = /;

хй с

2яшЛ , I

п> О

||АГ„||2 = Jcos2 —

- ах = — +

Ь = —jfl+ c o s ^

2 п V

I .

2ттх

+ -— sm------

4т

Тогда

Сл = ——— = — = - ,

2 / 2

/г

mix ,

I х cos ——ах

япх

(

п = "----- 7/------= т —

sm—

I .

2 _/_ .

7ШХ /

mix

/ '

xsm

----

+ — cos----

= — — T [(- 0 ” - i

/ яи

/ о ЯП

/ 0_

/ [m i) 1

- 4 /

я-

2 ’ и - 2£ + 1, ^ Q ^

/С-0,1,...

О,

я = 2£,

/./

“■4/

я(2к + l)x

fix ) = 2 + S

(2к + 1)2

C0S

г ■- =

к=ол

= l _

i L

___L

-cos-я(2/г + l)x

я-2 *=0(2£ + l)2

Задача

6.7.

По

системе

собственных

функций

Х п{х) = ц п cos//„x + /jsin/i„v,

л = 1,2,..., где

- положительные корни

_ 1 f//		^	f e L 2[0,l] в ряд
уравнения ctg jul =		, разложить функцию	f e L 2[0,l] в ряд
1	<NI й	A*J’
Фурье.	<NI й	A*J’
Фурье.
		\ А х\м п cos Mnx + hsin )dx
/ ( х ) = £ с „ ^ п(х),где Сп =
П=\		IK!

Найдем ||ЛГЯ||2

IKI = liMnC0SMnx + h^ n Mnx)2dx =

= j^w2 cos2 junx +2/лпк cos finx sin ц пх + h2sin2 /лпхрх =

I
/]	u~					h^		dx =
- i	— (l + cos2^„;t)+f.inhs\n2pinx +— (l-cos2/^„;c)							dx =
- i	2					2
						1	и	'l
	1 +^	— ^ ----— sin 2ц пх				Mnh
	1 +^	— ^ ----— sin 2ц пх				+ -rL- ( - cos2Mn*\ =
	2	2	2/лп					lo
	A + # u	t x l - h 1		1	sin2/an/ + -(l-2 c o s2 /u„/),
	z	2	2jun			2
						2	2CtgJLlJ
sin2junl = 2s\n ц п1 cos finl = 2ctg//„/sin							junl = ------- =-----=
							1 +ctg	V
	=(по определению корней /лп)=
		u2- h 2				(
		m	r		M	' l - t V
		1+ L2- ^		r	U2+*2f

A A

Глава 7. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Рассмотрим смешанную краевую задачу		(7.1)
Lu = f(x,t), x e D , t> О,		(7.1)
Г и = 0, х е 8,	t >0,	(7.2)
х),	х е D	(7.3)
где

А,В,С G Ь2[0,+00} aij>bi,c е L2(D ),D - область в R ” с кусочно-гладкой

границей dD = 8

Предположим, что квадратичная форма положительно определена, тогда:

1) если A(t)> О,		V7,	то L - гиперболический оператор;
2)	если Л(/)=0,	Vt,	то L - параболический оператор;
3)	если A{f)< О,	V?, то L - эллиптический оператор.
В	смешанной	краевой		задаче к =0,	если	A(t)=0,	т.е.	уравнение
параболического		типа,		и А = {o,l},	если	A{t) = 0,	т.е.	уравнение
гиперболического типа.
Формальное решение задачи (7.1)-(7.3) ищется в виде ряда
				00				(7.4)
				"=1Х (')-Г„М				(7.4)

Далее, варьируя произвольные постоянные, добиваемся удовлетворения начальных условий.

7.1.Однородная задача для уравнения гиперболического типа

Задача 7.1.

ы(О,0=О,	u(l,t)= О,
и(х,6) = <р{х),
ut(x,0) = y/(x).

Поставим вспомогательную задачу.
Найти решение	уравнения		ии =	,	удовлетворяющее однородным
граничным условиям
			\|и(О,0 = О,
Решение будем искать в виде			u(x,t) = X(x)r(t).
Подставим в исходное уравнение XT" = a2X T
			Х п(х)		1 T"{t)o(*
После деления на XTа2 получим — т-4 = — —т4 = - Л.
				Х{х)	а2 7(0
Из этого соотношения I ^ $			+
		[T"{t)+a2XT(t)= 0.
Из граничных условий		и(0,/) = x(o)r(t)=0,
		u{l,t)=X{l)T{t)=0.
отсюда		X(o)=X(l) = Q.
Таким образом, приходим к решению задачи Штурма - Лиувилля:
			Х" + ЛХ =0,
			x(o)= x(i)= o .
По свойствам задачи, Л >0, х{х)=С\ cos4Лх +С2 sin4Лх.
Из граничных условий Cj =0,				X(l)=C2sin 7д/ = 0,
откуда VI = у ,	л = 1,2,...

. m

*»(*) sin— X. I

Тогда для второй задачи получаем

	7Ш	7ГК1		An	и	Bn	произвольные
откуда Тп = Ап cos— at + Bn sin — at, где				An	и	Bn	произвольные
постоянные, т.е. для исходной задачи
un{x,t) = X n(x)Tn{t) =		.	m		.	m \ .	m
un{x,t) = X n(x)Tn{t) =		Ап cos — at + Вп sin — a/lsin — х
являются частными решениями исходной задачи. Тогда
00	00 /	.	ш	_	. m 1 .		m
		Ап cos — at		+ Вп sin — at jsin — x
/7=1	/7=1 V		l			l

удовлетворяет исходному уравнению и граничным условиям. Теперь достаточно из начальных условий отделить Ап и Вп:

оо	00	'Jtfl
и(х,о) = <р{х)= Yuun(*’°) = Z		Ап sin~Гх >
/1=1	/2=1	1
и((х,0) = <р(х) = 2	(*,0) = Е у - аВп sin у		х .
Й	Й	*	/

Опираясь на теорию рядов Фурье, достаточно найти коэффициенты разложения функций (р{х) и ц/{х) по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:

<р{х)=^<Рп s in ^ x ,

/7=1 1

э 1

' о	1	( 7 .U )

¥ { х )= ^ у /п sm ^j-x,
/7=1	1
2 1		(7.1.2)
K ' a ' y H I s i n y f r f f
1 о	‘

иприравнять соответствующие коэффициенты, т.е.

Вп = — У'п-

та

Тогда решение исходной задачи запишется в виде

/ л r00i /		т		I7	, т	\ . т
и\х’Ч=У,\ <Рп cos — at +---- у/п sin — at						sin — X,
па\\		I		та	l	)
где (рп и ц/п определяются по формулам (7.1.1) и (7.1.2).
Задача 7.2.
В полуполосе	0 <х<1,		t > О	для уравнения ии = а			решить
смешанные задачи со следующими условиями:
u(0,t) = ux{l,t) = 0,
w(x,0) = sin— х,				w,(x,0) = sin— х.
v	'	21		tV ’	21
Решение будем искать в виде
Получим		u(x,t) =X(x)r{t).
Получим
		X(t)T"{t)=a2X"{x)T{t),
		П * )	T"(t)
		* W	a2T{t)
		u(0,t)=X(0)T(t)=0,

ux(l,t)=X'(l)T(t) = 0.

Таким образом, получаем следующую задачу Штурма - Лиувилля: [2Г(х)+ЯЯГ(х) = 0,

<яф)=о,

.■*"(0=0.

Из свойств задачи Штурма - Лиувилля для всех Я > О JSf(x)= Cj cos л/Ях + С2 sin л/Ях

лг(о)=с, «о,

X'(l) = С2 л/Я cos л/я/ = О, cos Г м = О,

ГМ ——(2к + 1), к € Z,

	■\[Л = л(2 к +1) ,			к = 0,1,2...,
		21
	Л = ” 2(2k± r f - ,			к = 0,1,2...,
		4/2
		v ( \	. п{2к + \)
	X„(^)=sm			21-~х -
Для второго уравнения имеем
г (,)+ а 2 ^ ! Й			+ 112т (0 = о ,
		4/2
„,/ \	^	+ l)e 4		D	•	+ 0 ,
T it)- A cos —----- — / + 5 sm —-------1.
W		21				21
Тогда
/ 'к v 'f ^	;r(2£ + l)a		_	.	7r(2& + l)a ^ .		;r(2£ + l)
“(> 0 = X (Л cos		2/ ■t + Вк sin			-	— ГJsm	2/ х ,
и(х,0)= ^			яг(2А: + 1)			. 5тг
и(х,0)= ^		Ак sin1—--------— -х = sin—--- ■X,
	Л=0		21			21
	Л=0
u ( x O ) - Y B n ^ k +X^ zm n ^ k +X\ - z m n x
	t o	21			21	21

В силу единственности разложения в ряд Фурье все Ак =0, к Ф 2. Если

к=2, то

		1г .	5тг	. 5л	,
		sm— xsin — xdx
		о	2/	21
	Ak =V— .----------------- -1
		\	■	\|
		l	sin — xdx
		l		21
Во втором случае Bk = 0,		к ф 0, при к =0			Вк -	21
Во втором случае Bk = 0,		к ф 0, при к =0			Вк -	— . Таким образом,
						па
/	\	5па .	5п	21	. яа .		я
uix, t ) = cos---- 1sm —				x + — sin— t sm — t .
v	1	21	21	m	21		21

Задача 7.3. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0, х = /, имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.86 Mб2Упругопластические решения и предельное состояние..pdf
#
19.11.202329.35 Mб4Упругопластическое деформирование и разрушение материалов при импульсном нагружении..pdf
#
12.11.202314.24 Mб2Упругость и пластичность..pdf
#
19.11.202334.74 Mб0Упругость и прочность цилиндрических тел..pdf
#
19.11.202334.39 Mб1Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести..pdf
#
12.11.20235.73 Mб14Уравнения математической физики методы решения задач..pdf
#
12.11.2023240.6 Кб2Уравнивание спутниковых сетей. Предварительная оценка точности проектов спутниковых измерений.pdf
#
12.11.202311 Mб11Урал ковал победу..pdf
#
19.11.202335.48 Mб0Уроки радиотехника Практическое использование современных радиоэлектронных схем и радиокомпонентов..pdf
#
12.11.20231.33 Mб1Уроки русской литературы..pdf
#
12.11.202317.18 Mб2Усилители промежуточной частоты..pdf