книги / Уравнения математической физики методы решения задач

f *x'

а матрицей линейного преобразования переменных в дифференциальном

уравнении в соответствии с равенством (1.1.3) является матрица GT или, выражая новые переменные через старые,

[а = х

j Р = -х + у

Uу — Up — Uy ,

Uyy — иар — иау — ирр — 2Uyy + 3иру,

ыуу = и рр ~ 2мру +Uyy,

uz =uy ,

uxz = иау —иру +2Uyy,

uzz ~ Ууу •

Подставляя частные производные в исходное уравнение, окончательно получим:

Масс иРР = ^ •

Это в соответствии с классификацией (1.1.8) означает, что исходное уравнение является уравнением параболического типа.

Крассмотренному алгоритму следует добавить, что если

*2 =У\ +3'2

xi=yi> / = з,...,«,

приводящее к появлению в форме / квадратов переменных. Квадратичную форму можно привести к каноническому виду

также, например, методом выделения полных квадратов.

1.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

Пусть а, Ь, с - заданные вещественные функции двух переменных x , y s R , F заданная функция пяти вещественных аргументов. Рассмотрим следующее уравнение относительно неизвестной функции

и(х, у):

1. Выделяем множество A c R 2 тех значений аргумента (х, у), при которых функции а, Ь, с определены и непрерывны, а также определена и

непрерывна функция F:Ax.R? —>R . Очевидно, на множестве А можно ставить задачу о классических (регулярных) решениях уравнения.

2. Выделяем множество D a А тех точек (х, у), при которых функции а, Ь, с не обращаются одновременно в нуль, то есть

D := {(х, у) е А \ \ а{х, у) \+1Ь(х, у) j +1с(х, у) |* 0 .

Очевидно, в D уравнение (1.2.1) является линейным относительно старших производных уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными. Говорят, что точки множества A \D - точки вырождения уравнения (1.2.1), или что на множестве A \D уравнение вырождается.

3. На множестве D классификация уравнения производится по

соответственно областью гиперболичности, параболичности или эллиптичности уравнения.

Очевидно, в частном случае уравнения (1.2.1), когда а, Ь, с

где у - const. Изобразить графически области, где уравнение имеет тот или иной тип.

Изобразить графически области, где уравнение имеет тот или иной тип. а)(1 - х 2)ихх - 2 иу - ( у 2 +\)Uyy +2хих - 2 ху иху = 0 ;

(это условие обеспечивает взаимооднозначность преобразования). Можно перейти к новым функциям v = u°co: v(£, 7) = w[x(£, 7), y(g, 7)] и записать новое уравнение, эквивалентное (1.3.1).

Используя известные в курсе математического анализа формулы

самостоятельно). Получаем

e =ajixx+2brixy + c?jyy + dr]x + ет]у .

От уравнения (1.3.10), используя (1.3.2), легко перейти к уравнению, содержащему только переменные (£,77). Замена переменных (1.3.2), очевидно, имеет смысл только тогда, когда новое уравнение получается проще исходного. Как известно, если преобразование (1.3.2) выбрать

то мы придем к уравнению вида (1.3.8), который называется каноническим {а * 0). Процедуру выбора т] и канонический вид для уравнений каждого типа приводим в таблице.______ ________________

Примечание: здесь 0(-) =0 (^ , TJ,V,V^ , V}J) .

Таким образом, приводить к каноническому виду уравнение (1.3.10) нужно отдельно в каждой области, где уравнение принимает тот или иной тип, и придерживаясь следующего алгоритма.

1.Найти £(х, у), т]{х,у) согласно таблице.

2.Найти коэффициенты a,b,c,d,e согласно (1.3.11); причем можно находить не все коэффициенты, а лишь некоторые, ориентируясь по каноническому виду из таблицы, например, для гиперболического

типа достаточно найти b,d,e (т.к. а = с = 0). 3. Выписать (1.3.10).

уравнения.

Замечания. 1. Очевидно, описанная схема годится и для уравнения (1.1), при этом нужно воспользоваться (1.3.6) и (1.3.7).

2. Можно не использовать формулы (1.3.11), а выражать каждый раз их,иу ,ихх,иху,иуу по формулам (1.3.4), (1.3.5), подставляя затем

выражение в (1.3.1). Очевидно, это более громоздкий способ решения, но он тоже приведет к каноническому виду.

3. Уравнение v^ + Ф(-) = 0 можно с помощью замены переменных

котором коэффициент при ихх уже отличен от нуля.

5. Очевидно, что канонический вид уравнения в каждой точке определяется неоднозначно, хотя бы потому, что неоднозначна замена переменных (например, с точностью до константы), поэтому в ответе необходимо делать сноску, при какой замене переменных уравнение имеет данный канонический вид.

Задача 1.4. Привести уравнение к каноническому виду.

ихх + 2Uyy + 5Uyy - 32и = 0

Решение. Уравнение имеет эллиптический тип всюду в R2 так как Д = -4<0. a = \,b = \,с = 5,d = е = g = Q,f = -3 2 .

Уравнения характеристик:

dy = (1 ± yf-A )dx, dy = (1 ± 2i)dx, C = y - x { \ + 2i).

Отсюда выберем следующую замену:

Ответ:

и ^ + ищ - 8м = 0, (х, у) е R 2, при замене переменных £ = у - х, г) = 2х.

Задача 1.5. Привести уравнение к каноническому виду

1.В точке (0, 0) уравнение вырождается.

2.В области D = R2 \ {(0,0)} уравнение имеет параболический тип:

а) если у =0, то из уравнения следует x2Uyy - 0, так как (х, у) е D, то х * 0, получаем канонический вид и ^ =0 при у - 0;