книги / Уравнения математической физики методы решения задач

Из первого уравнения системы имеем

_1

¥ = у - ( - у ) 2<р(у)>

.У>

' ¥ f-1 = i + i ( - y f 2iK y)-(-y)'V (y)-

У

Отсюда

<р\у) - (-у)2 => (Ку) = - 1 (-у)2 + с

r t y ) = У + j (-У ) 2 ( - У )2 ч - у р С => <Ку) = | - ( - у ) 2 с .

где / (x), g(x) е С2(0,оо) - заданные функции.

Схема решения. Обычным образом находим общее решение уравнения, получим

и(х,у) = х 4у3 4<р X + ¥ (хъу), (2.2.9) \У )

или

Учитывая предстоящую подстановку, удобнее воспользоваться видом (2.2.9) общего решения. Однако далее мы будем умышленно исходить из вида (2.2.10), предоставляя студентам самостоятельно проделать выкладки для случая (2.2.9) и сравнить полученные результаты.

В случае (2.2.10) система для определения <р,у/ примет вид

х*<р' О + у/ (х3 ) = / ( * ) ,

\ X J

Замечание. В отличие от предыдущих примеров, где для функций f{x)vig(x) было дано конкретное аналитическое выражение, здесь нельзя брать неопределенный интеграл от обеих частей равенства, иначе решение задачи Коши получим с точностью до константы, а нам нужно единственное решение. Поэтому возьмем интеграл с переменным верхним пределом интегрирования.

3 -1

Итак, домножим обе части последнего равенства на - —х 4 и

проинтегрируем его в пределах от а до х , где а >0 - произвольно.

2.3. Решение задачи Гурса

Задача для уравнения гиперболического типа

ciUxx + 2Ъиху + сиуу + F(x, у,и,их,иу) = 0 (х, y ) e D a R 2,

Решение. С помощью замены £ = х +у, т?= у - 4х уравнение приводится к

После подстановки в общее решение выражений для (р(у-4х)иу/(х + у ) , получим

и|*=0 =<Р(У)’и\у=о = У'(Х)>

тде<р,ц/ е С2 (х >0) П С(х >0).

Решение. Поскольку функции (рпу/ непрерывны в точке (0,0), то из (2.3.4) имеем и(0,0) = #>(0) = ^(0).

Таким образом, целесообразно рассматривать два случая:

1)$9(0) * у/(0) . Задача (2.3.3), (2.3.4) не имеет решения;

2)<р(0) = ^(0). Тогда вначале ищем решение (2.3.3) в общем виде. Делаем замену v = ux . Отсюда

dv

— + xv = 0,

ду

dv

— = -xdy, v

ln|v| = -ху + 1пС(х),

их(х,у) = е~хуС(х).

Интегрируя последнее равенство в пределах от 0 до х, получим:

u(x,y) = u(0,y)+ je

о

X

и{х,у) = (р{у) + \е~&С($Щ.

Тогда из второго начального условия имеем

л

р(0)+ J C K y f = (K*).

Дифференцируя по х, получим

С(х) = i//'(x),

подставим полученные выражения в уравнение задачи Гурса. После приведения подобных

vxy = x - y .

Непосредственно интегрируя полученное выражение, имеем

Из второго уравнения имеем

y/(-x) = 2 - X + —X1 (2 + x)-<p(2).

2

Подставив полученный результат в первое уравнение системы, имеем

и(х,у) = {х + уУ

Классическим (регулярным) решением задачи (3.1)-(3.2) называется функция u(x,t) е С2 (/ > 0) П С2 (t > 0), удовлетворяющая всюду при t > 0 уравнению (3.1) и начальным условиям (3.2).

Теорема 3.1. Если <peC2( R ) ,i/s e C \R ) ,fe C l(t> 0), то классическое решение задачи (З.1.), (3.2) существует, единственно и выражается формулой Даламбера

+ Г- i J/«,r)d £ /r.

l a 0 x-a(l-r)

Для указанных функций <p,y/,f определена правая часть (3.3), поэтому можно формально найти функцию по формуле Даламбера.

Оказывается, найденная функция u{x,t) при каждом фиксированном t> 0 удовлетворяет уравнению (3.1), за исключением разве что конечного числа точек разрыва, а также удовлетворяет условиям (3.2). Более того, найденная функция оказывается обобщенным решением задачи.

Таким образом, применение формулы Даламбера для кусочно­ гладких функций полностью себя оправдывает.

3.1. Распространение волн в бесконечной струне. Задача Коши

Заметим, что задача Коши (3.1), (3.2) служит математической моделью различных физических явлений. В качестве одного из примеров рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях упругой однородной струны.

Будем считать, что колебания струны совершаются только в

направлении перпендикулярном оси струны х и искомая функция смещения точек струны u(x,t) зависит только от координаты х и времени t . Считается, что постоянная Т и плотность струны р постоянны. Тогда в указанном случае задача (3.1), (3.2) есть математическая модель задачи

<р(х) - начальное смещение струны, а <//(х) - начальная скорость.

Хотя в природе бесконечной струны не существует, тем не менее, задача Коши адекватно описывает процесс распространения волны вдоль реальной струны до того момента времени, пока волна не достигла границ. Полезно графически представлять себе профиль струны в задачах о поперечных колебаниях струны при различных начальных условиях.

Задача 3.1. Бесконечная струна с линейной плотностью, равной 3, и натянутая с силой, равной 27, в начальный момент времени находится в покое и смещена относительно положения равновесия, причем функция

начинает движение. Изобразить графически профиль струны в моменты времени / = — , / = 0,5. Схематично указать процесс дальнейшего

распространения волны, указать его скорость.

1г Решение. Т = 27, р = Ъ=> а - — = 3. Математическая модель колебаний

\Р

f( x ,t ) = y/{t) = 0 и кусочно-гладкой функции (р. Решение (3.1.1) согласно

2) / =

12

1 Удобно сначала построить вспомогательные графики —р(х) сжатием

графика <р(х) вдоль оси ординат, затем сдвигом влево (вправо) на -

построить графики функций —<р х + - (соответственно — <р X— ). 2 V

После этого сложить оба графика.

Построения проводим аналогично предыдущему пункту, с той лишь