книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfб) в полярной системе координат р,<р(р > 0,0 < <р < 2л)
|
д , - 1 ± |
|
|
dv |
1 |
a2v |
|
|
|
|
|
Р — |
Pi |
д(р2 |
’ |
|
|
||
|
р д р { |
|
др) |
|
|
||||
|
x = pcos<p, |
y = psm(p. |
|
|
|
||||
3)«=3 а) в декартовой системе координат х, у, г |
|
|
|
|
|||||
|
Av = vxx+vw,+ v Z2, |
|
|
|
|
||||
б) в цилиндрической системе координат р,<р, z |
|
|
|||||||
|
{р > 0,0 < <р < 2л, z е R.) |
|
|
|
|||||
|
Av = — |
|
dv |
|
1 |
|
|
|
|
|
др |
+ _ T vw +v^ ’ |
|
|
|||||
|
Р |
|
|
||||||
|
|
Р |
|
|
|
|
|||
|
x = pcos(p, |
y = psin<p, |
z = z; |
|
|||||
в) в сферической системе координат р,<р,0 |
|
|
|
||||||
|
р>0,0<<р<2л, - — <0 < — |
|
|
||||||
|
< |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
Av = |
|
|
|
(sin w„ )в + |
|
ГЧ>Ч> |
|||
у р |
|
|
2 . 2 |
ф |
|||||
р~ |
sinv |
|
Г |
sin |
|
||||
х = pcos^sin#, у = /?sin^sin0, z = 0cos0 |
|
||||||||
Положим по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д° = I (тождественный оператор), |
|
|
||||||
|
А1= А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д т = д д т-1 |
|
(w = U v .)_ |
|
|
|
|
||
Таким образом, с помощью рекурсивного соотношения определим любую целую степень оператора Лапласа.
Теорема 4.3. Решением задачи Коши для «-мерного волнового уравнения
ии = а2Д« + f{x,t), x e R n, t> tQ, |
(4.3.1) |
является функция
В ряде остается только одно слагаемое, соответствующее Л=0, поэтому вопрос о сходимости ряда решается положительно и решение выясняется
из формулы (4.3.2) следующим образом: |
|
|
|
|
|||||
|
,0,0 , |
|
|
\ 10 Л |
10 |
^ |
|
|
|
«(*>У>0 = ——(х2 ~ У2)+— |
ху + — J(r - т)вхутс1т= |
||||||||
|
и |
|
|
1 |
|
1 |
о |
|
|
|
|
= х 2 - у 2 +xv(l + /2). |
|
|
|||||
Задача 4.10. Решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
||||
utt =a2Au + cosxsinyez +ex+t, |
t> 0, |
x ,y ,z e R , |
|||||||
|
и\ |
_ х2 |
у+г |
|
|
|
|
|
|
|
и1/=0 |
х |
е |
’ |
|
|
|
|
|
|
ut|i=0 = sinxe y+z |
|
|
|
|
|
|||
Решение: данная задача |
Коши |
является |
частным |
случаем |
(4.3.2) при |
||||
n =3,t0 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^?(х) = x 2ey+z, |
у/{х) = sinxey+z, |
f(x,y,z,t) = cosxsinye2 +ex+t |
|||||||
Найдем все степени оператора Лапласа для функций <р,^,/(,г) |
|
||||||||
А°<р = х 2еу+г, |
|
|
|
|
|
|
|
||
Al<p = 2ey+z + хV |
+z + x2ey+z = 2(1 + х 2\ у+г, |
|
|||||||
А2<р= 2 2ey+z + 2(l + х2\ п г \= 4(2 + х2\ y+z, |
|
||||||||
АЪ(р = 8 3 + x2)ey+z |
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, что справедлива следующая рекуррентная формула: |
|
||||||||
|
Ak<p = 2k(k +x2)ey+z |
|
(it = 0,1,2,..). |
(4.3.3) |
|||||
Далее, |
Д°у/ = sin xey+z, |
|
|
|
|
|
|||
|
д}у/ = sin xey+z, |
|
|
|
|
|
|||
|
Аку/ = sinxe-v+z |
(к =0,1,2,..), |
|
(4.3.4) |
|||||
|
Д °/ = cosxsin>>ez + ex+l, |
|
|
|
|||||
|
Д1/ |
= -cosxsinye2 + ехН, |
|
|
|||||
|
Akf |
= (-l)* cosxsinye2 +ex+t |
|
(4.3.5) |
|||||
|
оо |
2к( Лк |
( t - r f M |
_ |
S 4 = z ^ j - i i |
||||
|
о |
(2* + l) |
2 k + 2 |
r=0 |
|
|
|
|
|
1 » |
( - l)”+ V ) ” |
1 |
|
|
|
|
I |
|
|
a2 “ |
j |
. |
a 2 _ о |
(2w) |
(2m) |
||||
^ a2k( - j f t 2k+2
о(2^ + 2)
(-1 )m+V ) m
(2m)
т-0 .
= - y [ l - C 0 S a f ] ,
a
|
t оо |
_2*Л _\2A+I |
|
, t |
оо Г |
Л |
Yp*+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2Jfc + l) |
|
= i |
V |
sh[a(r - r)]rfr = — |
\{ег+а{-‘~т) - |
|
' |
|||
" |
J |
|
2a |
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_ |
e ^ - e * |
e-r - e - a' |
|
a(e~‘ - e -e,)+sha/ |
|||
|
2a |
- a -1 |
|
|
= |
4 |
J |
) |
Из свойств сходящихся рядов следует, что ряд (4.3.6) абсолютно и рав номерно сходится в силу сходимости (4.3.7). При этом и для ряда выпол няются условия теоремы 4.3. Поэтому функция и, определенная рядом, есть решение задачи Коши. Выпишем ее в аналитическом виде:
u(x,y,z,t) = ey+z ■^LshLf2at)+ х2 chhf2at)+ —sinxsh(af) |_V2 a
+-cos x sin yez[1 - cos at]+ —Л —тл[a(e4 - e~at)+ sh at\.
a2 |
a\^-a2) |
Задача 4.11. Решить задачу Коши:
Autt -/co s2 r = Au r 2 = x2 + y2 + z2 > 0, t> 0,
Решение: задачу удобно решать в сферической системе координат. Итак, исходная задача эквивалентна задаче (4.3.1) при
п = 3,f0 = 0,a =^-,<p(r)=r2,^ (r) = 0, f{r,t) = -tc o s2 r |
|
I |
4 |
Очевидно, что функции |
) не зависят от углов, т.е. от двух про |
странственных координат в сферической системе
Отсюда
AV = '*2»
AV s=-гy(r22r), = 6>
Ак<р = 0, |
к >2, |
Д*У = 0, |
А: > 0. |
Для удобства введем функцию g(r) = cos2r, в силу линейности Ак имеет
a * / = 7 ^ > |
|
4 |
|
A°g = cos2r, |
Д°/ = —cos2r, |
|
4 |
Д1S = [г2 (- 2sin 2r)J. = -i- [- 4r sin 2r - 4r 22 cos 2r] =
4 |
• „ |
= —r |
sm 2r-4cos2r. |
Введем еще одну вспомогательную функцию h(r) = -S-m
2 (2cos2rr - sin 2r) |
= -у [2cos 2r - 4r sin 2r - 2cos 2r] = |
|
Д Л =Г4 |
||
2 r |
||
.sin2r |
||
= - 4 |
-------= -Ah. |
|
r
Отсюда
Ag = -4A -4g,
A2g = -4(Д/г + Ag) = -4(- 4h)~ 4(- 4й - 4g) = 16Л + 16Л + 16g = 1б(2Л + g),
A3g = 16(2Дh + Ag) = 1 б[2(- 4h) - A h - 4g]= -4 3 (ЗА + g ),
|
&kg =(-4)k(kh + g), |
k> 0. |
|
||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д‘ / = (-4 )‘ 4‘- < ^ + со8 2 Д |
|
|||||||
Запишем ряд |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
P ' 1 |
й |
Г б |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
u(r,t) = |
0! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
,2к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? г а |
| (' - г Г 'г(- 1)44Ы( |
^ |
+С052г |
fift = |
|||||
|
|||||||||
|
= г |
? |
|
3 2 |
sin2r _ |
. |
_ |
(4.3.8) |
|
|
|
+ —t |
н------- S1+ cos2rS2, |
||||||
|
|
|
|
4 |
г |
1 |
|
2 |
|
где |
|
|
» ,ifc(_l)*2-2*4*~1 , |
|
|
||||
' |
|
V |
|
(2Л + 1> |
|
* ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
^ |
_ |
^ 2-2кАк-1 |
' |
|
|
|
|
2 |
|
о |
|
(2* + 1) |
|
* ’ |
|
|
h = J f r - 0 2*"1^
б) |
« « = ихх+ ех> |
|
м|/=0 = sin х, |
|
ut| 0 = x + cosx; |
в) |
utt = Ди + х3 - 3 ху2, |
|
u\t=Q= ex cosy, |
|
и<|/в0 =еу sin х; |
г) |
utt = а2Дм + хе* cos(3.y + 4z), |
|
w|,=0 = xycosz, |
* 4 = 0 = ^ Теорема 4.4. Решение задачи Коши для «-мерного уравнения теплопро водности
|
ut =а2Аи +f(x,t), |
x e R n, t> t0, |
||
|
|
" Ц =<"(*) |
||
является функция |
|
|
|
|
/(* .0 I |
a2k(t-to )k |
ДV M |
\{t-T )kb xf{x,T)dT ,(4.3.12) |
|
к\ |
||||
к=О |
|
|
||
|
|
|
||
если <p,f(-,t)e С00 |
), а ряд (4.3.12) и ряды, полученные из (4.3.6) одно |
|||
кратным дифференцированием по t и двукратным дифференцированием по переменной равномерно и абсолютно сходятся на каждом компактном
£ > с Д и х[0,оо).
Предлагаем самостоятельно провести решение:
a)ut = 4им + 1 + е‘ ,
и\1=0 = 2;
б) |
ч |
=«XX’ |
|
•u |
- w |
в) |
ut = Дм + s in /sin x sin .у , |
|
г) |
" L =1! |
|
м, |
= AM +COS(X -.V +Z), |
|
Ч -о