книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfAk +Bk = О, |
|
|
|
/сяЬ |
|
|
|
, |
/ |
, |
N |
|
|
|
|
Лк~ 7 е ° |
V |
а |
V |
е - 7 - ^ |
= |
0. |
|
. а |
) |
(Ляг)2 |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
At = -В* = ■ |
a3g* |
|
||
|
|
|
.3 , клЬ |
|
|||
|
|
|
|
|
2(for)3 ей |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Окончательно, решение исходной задачи примет вид |
|
||||||
|
|
|
( |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
а*8к |
sh^SL- ^ Щ . |
. ктгх |
|
|
|
|
|
sin---- |
|||
|
|
|
к=\ |
(1kn fch — |
|
а ikn) |
а |
|
|
|
|
а |
|
|
|
где gk вычисляется по формуле (8.1).
Задача 8.3.
Решить задачу Дирихле в кольце между окружностями радиусов гj и г2.
|
Аи(х,у) = О, |
Г]2 < х2 + у 1 < г2 |
|||||||
|
wL w = n 2 = ^ |
^ ’ |
0<(р<2ж |
|
|||||
|
иЬ +у2=1^ = Л М |
0 <(р<2я |
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г~2 |
2 |
У |
|
Перейдем к полярным координатам г = ^х |
+ у |
и |
tg<p = — . |
||||||
Таким образом, задача принимает вид |
|
|
|
|
|||||
, |
д2и |
1 |
ди |
1 |
д2и . |
Г\ < г < Г2, |
|||
|
д г |
г |
дг |
г |
д(р |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
w|r=n= / i W |
§<<р<2п |
|
Кроме того, имеются краевые условия на боковых сторонах прямоуголь ника - условия периодичности:
и(0,г) = и(2я,г),
дф дф
Таким образом, получаем задачу Штурма-Лиувилля для функции Ф(<р)\ Ф" + ЛФ = О,
Ф(0) = Ф(2я\ Ф'(0) = Ф'(2лг).
Решая эту задачу, находим собственные значения, которые имеют вид -
Л |
а |
собственные |
функции |
Л„=п , п = 0,1,2,..., |
|||
|
|
2 ^ |
^ Q |
{
Метод Фурье для задачи в кольце состоит в том, что решение мы ищем в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:
00 00
u(<p,r) = £i?*(r)cos£<p + £s*(r)sinfy>.
к=0 ы
После подстановки этого ряда в исходное уравнение получаем уравнения для радиальных функций:
К + - К - 4 * „ = 0 ,
|
s;+i s ; - V » =0- |
|
|
г |
г 2 |
Таким образом, |
Rn = Апгп +Впг п, п ф О, |
|
|
=Cnr n +Dnr -П |
|
|
Во - |
+ Во Inг |
Получаем общее решение однородного уравнения Лапласа в кольце:
и(<р,г)= А0 + В0 1пг + ^ ( а „гп + B„r~n)coskp +
к= 1
+^ (c„r " +Dnr п)sin к(р.
к=\
Произвольные постоянные находятся из краевых условий:
|
j 2n |
|
AQ + 50lnri = — |
ffi(<p)d<p, |
|
|
|
0 |
|
|
2к |
^o + 50lnr2 = -^- |
\ f 2{<p)d<p |
|
и при Л = 1,2,... |
|
|
Л /Г + |
” = ~ |
\f\(<p)cosk<pd<p, |
*о
^2л*
Anr2 +Bnr2n = — [/2 (^)c°s kcpdcp, ТГ •
Cnr\n +Dnr\ n = - j"/i(^)sin k<pd(p,
n О
« 2/r
Cnr2 +Dnr2n = - \ f 2{(p)^k(pd(p. 'ТГ J
Список использованной литературы
1.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям ма тематической физики. -М .: Наука, 1977. - 224 с.
2.Комеч А. И. Практическое решение уравнений математической фи зики: Учеб.-метод.пособие. - М.: Изд-во Моек, ун-та, 1986. -160 с.
3.Николенко В.Н. Уравнения математической физики: Учеб.-метод, пособие. -М .: Изд-во Моек, ун-та, 1981. -392 с.
4.Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. В. С. Владимирова. - М.: Наука, 1974. -272 с.
5.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики - М.: Наука, 1966. - 724 с.
Учебное пособие
ПЕРВАДЧУК Владимир Павлович КАДЫРОВА Елена Мухаметзяновна СОКОЛОВ Владислав Юрьевич
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Учебное пособие
Редактор Н.А. Щепина
Изд. Лиц. ЛР № 020370 от 29.01.97_____________________________ _
Подписано в печать 28.05.2001. Формат 70x100/16. Набор компьютерный. Уел, печ. л. 11,6. Уч.-изд. л. 8. Тираж 150 экз. Заказ № 58.__________ _
Редакционно-издательский отдел ПГТУ
Отпечатано на ризографе в отделе Электронных издательских систем ОЦНИТ
Пермского государственного технического университета, 614600, г. Пермь, Комсомольский пр., 29 а, к. 113, т. (3422) 198-033