книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfпри |
п = О |
|
|
i ' j |
|
|
, a2(T -A t)] dx = |
||||
|
|
|
|
2 0J l |
2'J |
|
l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 Ах2 |
|
Ах3 |
а2 (Г - A t) |
|
^ Л / |
Л/2 |
| а2(Г -A t) |
|||
|
----------------------------+ |
— |
-------------- |
|
|
|
|
|
|||
|
/ 22 |
6 |
6 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
Из начальных условий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
mix |
, |
/ ,\n+i 2/ |
||
|
|
|
|
|
-----х cos— |
dx = ( - l f |
|||||
|
» - |
|
т ] |
Н |
2/ |
|
|
1 |
|
|
[m) |
при |
n = 0 |
|
|
|
|
X3^ |
|
= 1 - 1 . |
|
|
|
|
r0(oM X ------ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
6/ ' |
|
|
6 |
|
|
Таким образом, получаем две задачи: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
п, |
|
I/ та |
\ 2 |
|
|
|
п>1, |
|
|
|
|
Г» Ч / |
Г. = - ^ г , |
|||||||
|
|
|
" “ W 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i«+i |
2/ |
|
|
|
|
|
|
|
r„ (o )-(-i) |
|
;2 * |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4/ |
Л/2 |
. а2{Г-A t) |
|
|||
|
|
|
г» = т |
' “ б” + |
|
; |
|
■ |
|||
|
|
|
г0(о ) - ‘ - т - |
|
|
|
|
|
|||
Далее достаточно решить две задачи Коши |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(яигЛ2 |
|
|
|
|
|
|
Г .Й - |
^ |
|
i- Д —J* + 2(-l)”+1 |
Tl |
||||||
|
|
M V |
|
|
|
|
|
|
W * |
||
|
|
|
|
|
Al |
a2T , |
a h 2 ,, |
l |
|||
|
|
|
r , « - T '+ — « - — • |
|
|||||||
|
|
w(x, t) = w(x, t) + TQ{ t ) x 0(x) + ^ |
T„ |
( 4 |
|||||||
n=1
7.5. Понятие функций Бесселя
Рассмотрим уравнение |
|
|
1 , 1 , 2 |
V2 |
|
/ + - / + 1к |
у = о, |
|
У |
Г |
|
%2у н +& + {§2к2 - v 2)y = 0. |
||
С помощью замены х = к%, |
Л |
|
z(x) = у — = у(^) |
||
нению Бесселя |
\ к ) |
|
> |
||
.2 |
||
z" + - z '+ l - ^ - |z = 0,
x2z" + xz' + (лг2x2 -V2)r = Получим, что его решение
(7.5.1)
сводится к урав-
(7.5.2)
j ( Л - у |
(-0* |
1/ X\'2k+v |
л> к т + * + 1)
функция Бесселя порядка v первого рода. Аналогичным образом можно рассмотреть функцию J_v(x).
Если v е R \ Z , то |
|
z{x) = C,Jv{x)+C2J_v(x). |
(7.5.3) |
Если v = п е Z, то J п(х) = (- l)wJ _п(х) - линейно зависимы. Вве дем функцию Бесселя второго рода (иначе ее называют функцией Вебера
или Неймана): |
|
„ |
(vg R \Z \ |
|
sinnv |
Nn(x) = lim Nv(x), n e Z .
V—
При этом функции Неймана и Бесселя для одного и того же порядка ли нейно независимы, следовательно, Vv е R
z(x) = CXJ V(х)+ C2N V(х). |
(7.5.4) |
Асимптотические оценки.
|
|
00, |
v < 0, |
lim Jv(x) = |
1, |
v = 0, |
|
.x~>0 |
|
0, |
v > 0. |
|
|
||
lim Nv(x)= oo, |
|||
л—>0 |
|
|
_3 |
|
|
-V n |
|
•/±V = J ---C0S |
|
n N |
|
x +--------- + vx 2 |
|||
7tX |
^ |
2 |
3 |
Рекуррентные соотношения.
d L - v
лМ-ЛиМ-лМ.
Л (*)= " Л +i (*) ^ л: Л (*) >
2v
л+|М+Л-1^)=—л(^)’
л:
л+i(*)■-Л-iМ= ~ 2 J v W»
[x/j(x)] = xJ0(x),
j XJ Q(x)dx = xJj (x),
Ортогональность с весом.
Теорема. Если P\,Pi ' К0РНИуравнения
apJv(ju)+pbJ'v{p)=0,
(7.5.5)
(а> О, b> 0, а + Ь> 0, v > -l),
то |
) (к = 1,2) - ортогональны в L2>p[0,l]: |
|
||||
\ I |
) |
|
|
|
|
|
|
\p (xV v \^ j~ y v ( Ю ? dx = |
О, |
|
М\ *^2> |
||
|
|
// И |
|
|||
|
|
|
I J |
к |
И\х |
М\=И2- |
|
|
|
|
|
I 2,р |
|
При этом |
|
|
|
|
|
..2 > |
( Mix |
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
+ f i - 4 k 2U ) . |
||
\ |
|
1 > |
2 |
|
||
I 2,р оО |
|
I к ) |
||||
|
|
( и |
тЛ |
|
|
|
|
|
И\х |
|
|
|
|
|
|
Jo |
I J 2 .Р |
^ |
|
|
|
|
\ |
|
|
||
Уравнение (7.5.5) имеет счетное число корней, все они вещественны.
Задача 7.12.
Решить задачу Штурма-Лиувилля
(
Х ' +- Х ' + |
X = 0, 0 <х<1, |
X |
х |
|
|
|ЛГ(о)| < СО, |
aX{l)+bX'{l) = 0 . |
Собственные значения неотрицательны: а) Я ф 0.
Сделаем замену X(g) = х [ Л х ) = Х(х), тогда
Х'(х) = Х '( £ )Л , Х"{х) = Х"(<*)Л,
ЛХИ+- 4 л х ' + |
.2 ^ |
|
х 2 |
х = о , |
|
|
, |
|
|
х |
J |
Х ” + - ^ = Х ' + 1 - |
|
1 = 0, |
xVя |
(xVXf |
|
|
.2 А |
|
|
|
|
1 - |
* |
= 0. |
|
|
X{x) = CiJv(t)+C2N_v{Z), |
|
||
так как \ХЩ < оо => С2 = 0 (лф ) = оо). |
|
|
|
|
|
аХ(1)+ЬХ'{1)= aCiJv(>/I/)+6C17Ij;(-N/I/)= О, |
|
||
|
V I/=% , |
|
|
|
|
aJv(ji)+ j^f'v(ji) = 0. |
|
||
Пусть |
- положительные корни уравнения, так как J. |
М„х' и |
||
Л VnX |
линейно зависимы, |
то |
собственные |
значения |
/\ 2
Ни |
и = 1,2,... |
X n{x) = Jv |
- соответствующие им собст- |
I |
|||
\ 1 у |
|
|
|
венные функции. |
|
|
|
б)Л = 0 . |
1 |
v2 |
|
х ' +- Х ' - ^ г Х = 0 |
|
||
|
х |
х2 |
|
только в случае а = 0 и v = 0 является собственным значением.
Задача 7.13.
Поверхность однородного бесконечного цилиндра, имеющего температу ру Т, начинают охлаждать с момента t - 0 по экспоненциальному закону. Найти распределение температуры в цилиндре в любой момент времени.
и( = а2Аи, |
t > 0, 0 < г < R, |
|«(0,f)|<oo, |
u\r=R=Te -А2/ |
4=0 = Т Граничные условия неоднородны, т.е. решение необходимо искать в виде
u(x,t) = v(x,t)+w(x,t), где w(x,t) удовлетворяет неоднородным гранич ным условиям. Но при этом, используя свойства экспоненты, можно най ти функцию
w(r,t) = f(r]e~h2‘, |
(7.5.6) |
удовлетворяющую одновременно и однородному уравнению, и неодно родным граничным условиям.
. |
d2w |
1 dw |
Aw = — r- + - — |
||
|
dr |
r or |
Подставим функцию в виде (7.5.6) в исходное уравнение и граничные ус ловия. Получим
1
/ " + - / ' + :V / = о,
гСГ
|/(о )| < « , / ( R ) = т
Решаем полученную задачу:
yW-c,./0( - W |
„ f - ] |
|||
|
Уа J |
|
\ а ) |
|
т.к. |/(0)| < со, a J 0(0) = 1, |
N0(О) = 00, то С2 = 0. |
|||
|
rhRy = Т |
=> |
Cj = |
|
|
а ) |
|
fh R V |
|
|
|
|
\ a J |
|
Итак, w(r,t) = - |
hr_ -h2t |
удовлетворяет однородному урав |
||
a , |
||||
rhR^ •Jr. |
||||
J С |
|
|
|
|
к а ,
нению и неоднородным граничным условиям. Тогда для нахождения v(r,t) получаем задачу
vf = а |
f |
1 |
^ |
, |
t > 0, 0 < г < R, |
|
угг ^ уг |
|
|||
|
|
V Н---- V |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|v(0,/)( < 00, г|г=Л=0,
' |
, |
( h r V |
|
|
J o |
об |
|
V t=0 = Т ' 1— |
V a j |
= (p{r). |
|
|
T |
hR' |
|
|
J Q |
--- |
|
|
|
\ a JJ |
|
Далее решаем стандартным методом, аналогично предыдущим примерам.
Ar,t)=T(t)x(r).
Для нахождения |
ставим задачу Штурма —Лиувиляя*. |
|
|
Х" +-ГХ ' + АХ =О, |
|
|
[Wo)| < 00, |
*(д)=о. |
По свойствам |
задачи Л > 0. |
Общее решение имеет вид |
Х{г) = с М Л г )+ СгЛ^Дл/Яг). Из первого условия С2 = 0. Из второго -
Х{г) = С ^ 0{Л г)= 0 .
Cj ф 0 |
=> о/’о(л/Яг)= 0. |
|
Делаем замену лДг = ц , получим уравнение |
|
|
Л Ы |
= 0- |
(7.5.7) |
Пусть ц ъ ц 2,... - последовательность положительных корней уравнения (7.5.7), тогда собственные значения Л„ = ( t b } 2, а собственные функции,
|
\ R j |
соответственно, X n(r) = |
л-1,2,.... |
Ставим задачу для нахождения функции Т. |
|
• ' J |
EH£ ' Т = 0 |
|
1 п |
г.(0
W 2,Р
В этой задаче функции Х п{г) ортогональны с весом р(г)=г Решение
задачи будут функции
-i— f ' r nW =e«e ^ R
Вычислим коэффициент а п. Для этого сначала найдем норму:
'Xnf2tp = \ rJi [ ^ j f ) dr = k2(Mn)+J\(Mn)]=^Y J>2^ )•
Найдем коэффициенты разложения в ряд Фурье функции (р.
r |
( h r Y |
|
J г |
|
(ч>,х„)=т I 1 — |
ГЫС |
Jr |
R |
dr |
|||
|
|
|
Л |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Т |
|
/ V |
dr — |
1___ |
Rc |
тf hr\ „ |
ц пг ^ |
|
]rJQ |
R |
|
|
|
Jr |
dr |
||
|
Л |
W |
о |
° L |
|
R |
||
|
|
|
— |
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
= ——rJ] |
R |
R 2 |
|||
|
|
|
R ) 0 |
= — J i M - |
||||
|
|
|
Mn |
|
|
|
||
Для вычисления второго интеграла необходимо воспользоваться сле дующей формулой:
о
|
|
(к > —1, |
|
\ |
/ |
|
-Л |
/ |
^0 |
п |
Jr = |
1 |
Л |
J |
|
a ,j3 sR ,
г II ^1
dr =
( Г - а 1
а* (5)
=\R y jJ ^ ^ jQ { /u ny)dy =
= |учитывая, что J 0 (Мп) = 0, J'o{x) = ~ J t(х)| =
|
|
M n Jo \~ V lW |
|
|
||
|
= R2a2 |
|
а |
|
|
|
|
ipna f- { h R )2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R2a2MnJ0 |
hR |
\ j x{Mn) |
IT |
|
|
|
~ |
||
— |
A |
M |
- |
a |
|
|
J \ 2M |
|
|
||||
a " = R2 |
Mn |
|
|
J , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IT |
a2Mn |
_______2Th2R2_______ |
||||
Vn |
{/ina? |
~(hRf |
\ Ji k k |
k |
a)2 - W 2] |
|
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
u(r,t) =- |
|
■ « V - Ч т К |
* |
|
||
|
Jr |
|
||||
+ 2Th2R2X |
■- г--- ~ TA^I, |
где p ,,p 2,• • • - положительные нули функции J 0(x).
7.6. Метод Фурье для многомерных задач
Приведем некоторые сведения из функционального анализа. Пусть р х е С[а,Ъ\ р, (х) > 0, х е [а, р 2 е С[с, 4 р 2 (у) > 0, у е [с,d),
£> = [a,b]x[c,d\ р{х,у)= р]{х)р2{у\ (x,y)eD ,
|
|
{■Xп }и=] с |
^ 2,р [ ° ’ |
О и }/1=1 с |
^ 2 ,р [с »d \ |
|
|
||
|
|
ф пк (* > у ) = Х а (х )г к ( у \ ( * > у )6 D • |
|
|
|||||
Теорема. Если {Х„}”=1 - базис в |
I 2,p[a»6L |
а |
Eli |
базис в |
|||||
12)РЫ |
] , то {Фпк }^=1 - базис в I 2)P(D). |
|
|
|
|
|
|||
Так как |
{фпк }®А=1 - базис, следовательно, эта последовательность ортого |
||||||||
нальна и полна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ортогональность: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
О, |
|
п ф т U к Ф j, |
|
||
|
{Фпк >ф пу ) |
Фщ dxdy |
\ф п кЦ р , п = т ,к - j\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
2) полнота: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
V/ € L2 P (D ) имеет место разложение / = |
^ С пкФпк , при этом |
|
|||||||
|
|
|
|
|
п,к= |
I |
|
|
|
|
/ ~ |
^СпкФпк |
—►О, |
N —^ со, |
Спк - |
i f . * * ) |
|
||
|
|
п,к=\ |
2,р |
|
|
Пк |
IФ» "2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
IK illlp |
= |
| К м * |
|
|
2 |
f c i 2 |
|
||
|
|
|
Р2 |
||||||
Задача 7.14.
Начальная температура однородного конечного цилиндра радиуса R и
длины 1 (0 < z < /) равна yl(i?2 - г2 )z. Определить распределение тем пературы в этом цилиндре в любой момент времени t > 0, если верхнее основание цилиндра поддерживается при нулевой температуре, нижнее основание теплоизолировано, а с боковой поверхности происходит теп лообмен с внешней средой, имеющей нулевую температуру.
Постановка задачи.
Пусть u(r,<p,z,t) |
функция распределения |
температур, в силу |
симметричности достаточно рассмотреть функцию u{r,z,t). |
||
м/ = а 2Дм, |
/>0, 0< r< R , 0 < z < I, |
(7.6.1) |