книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdf/
относительно перпендикуляра, проведенного через точку х = —.
Определить смещение точек струны относительно прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.
Г |
=в 2«л , |
t> О, |
0 <х<1, |
|
и\ |
Л= О, |
ы| |
. = О, |
|
1Л=0 5 |
1*=/ |
’ |
||
|
_ 4Лх(/ - х) |
|
||
" U = |
,2 |
• |
|
|
“ 4 = 0 = ®-
Нетривиальное решение ищем в виде u(x,t) = T(t)x(x).
|
T'(t) |
_ Х '(х )* |
, |
|
а2Г(0= * М |
= |
|
||
(Х ' + ЛХ = 0, |
О < JC < /, |
|||
|
|
|
||
lx(o)=*(/)=o, |
|
|||
Приведенная задача была решена ранее. |
|
|
||
Я„ = |
7ГП |
X„(x) = sin mix |
||
|
я |
( ат |
т =о |
|
|
|
|
1 п |
V > |
Ч=о
п=\
Здесь Тп(о) - коэффициенты Фурье для функции ср{х) = — — " >
Тп(О) = |
= —Ah |х(/ - x)sin ^j-d x = j h j ( x l - x 2)sin ~ d x = |
|
IW I |
1 о |
о |
16Л |
0, п - |
2к, к = 1,2,... |
|
|
|
_ 3„ 3 [i- ( - i)n]= ' 32/г , |
и = 2* + 1, к =0,1,2,. |
|
;г л |
1тг3л3 |
|
|
|
|
ut(x,0)= Х7’„(0)Лгп(х) = 0, следовательно, в силу единственности «=1
разложения в ряд Фурье 7^(0)= 0. Таким образом, сформулируем задачу
для Тн:
(
|
т;(<УП |
am,\2 |
тп = 0, |
t > О, |
|
|||
|
о |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
г м = |
f(О, |
|
п = 2к, |
|
|
||
|
Ш |
|
, |
л = 2£ + 1, |
к = 0,1,2,... |
|||
|
|
1# |
з з |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
г;(о)=о. |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
. mat |
|
|
m at |
|||
r„(»)OecoS^ |
|
|
|
|||||
+ S „ s i n = , |
Г,(0)=Л =«„ rM-B.ss.-o. |
|||||||
|
r)h 00 |
|
тг(2к +lW |
. п(2к +l)x |
||||
|
cos |
|
- - - |
Sin |
■ |
|||
Получаем u(x, t) = ——Y |
------------------------------------. |
|||||||
' |
* 3 £o |
|
|
|
|
(2Л + 1)3 |
|
|
Задача 7.4. Решить задачу о малых поперечных колебаниях упругой
однородной струны, если ее левый |
конец закреплен упруго, а правый |
|||||
свободен. |
Начальные условия |
произвольны. |
(Частный |
случай |
||
<р(х)=\, |
t^(x) = 0) |
|
|
|
|
|
|
ul t = a2uxx, |
t> 0, |
0 < х < /, |
|
|
|
|
(ux - hu]x=0= °’ |
^> 0, |
ux\x=l= 0, |
|
||
|
4 = o = ^M> |
« / Ц = И 4 |
|
|
||
Решение ищем в виде u(x,t)-X(x)r(t), получаем, |
как и ранее, |
задачу |
||||
Штурма - Лиувилля: |
|
|
|
|
|
|
|
(Х" +АХ = 0, |
|
|
|
|
|
|
|^ '(0 )-Л ^ (0 )= 0 , |
Х'(/)=0. |
|
|
||
Решение данной задачи: собственные значения |
Яп = ц 2, п = 1,2,..., где |
||||
jun - положительные корни уравнения |
|
|
|
||
|
|
//t %vi = h |
|
|
(7.1.3) |
и |
соответствующие |
им |
собственные |
функции |
|
X n(x)=Vn cos//„x + /zsin//„x, |
|
|
|
||
|
\\х n t = \(Мп cos^i„X + hsmMnx f d x |
= |
)+й . |
|
|
|
о |
|
|
1 |
|
Для второй задачи получим |
|
|
|
|
|
Т”+ а2ЛпТп = О,
п (о )= « „ . г ;(о )= л .
Где Я„и (Зп - соответствующие коэффициенты Фурье.
2 |
1 |
(7.'1-4) |
«« = Т 1 ------TS— |
М *)^« cos /*я* + h sin /*«*]*> |
|
/у* + /V ]+А о |
|
|
21
=7 Л -------2 Т т М х^ и cos/*„x + Л sin//„*]&. l(h2 +Mn j+ht,
Тогда Ги (г) = Л„ cos /лпШ + цп sin /и„at, где
|
2 |
1 |
Пп = ----- ГГ5------ П— 1 [ М м п cos/i„x + Asin/i„x}fc .(7.1.5) |
||
//иа|((Л2 + / / / ) + 4 |
J |
|
Тогда |
|
|
|
« М - Е г .М я г Л х Ь |
|
|
|
/Ы |
00 |
cos junat + ij„sin n na ifo ncos//„x + /isin//„x), |
|
= 2 > „ |
||
я=1 |
|
|
где a n и г]п |
определяются равенствами(7.1.4) и (7.1.5), а ц п - |
|
положительные корни уравнения (7.1.3), и=1,2,....
Рассмотрим теперь частный случай <р(х)=1, ^(x)s о. Тогда rj„ = 0, а
|
a„= -t-j------ 2Т ~ |
|
cos//„x + Asin//„x)fc = |
|
l\h +Mn ]+ h о |
|
|
|
-f—------^ — |
sin /лп1+ — (-cos finl) |
|
|
l\h + ц п J+ h L |
Mn |
|
Из определения корней уравнения тулп1 = h |
|||
|
|
|
Мп |
|
|
|
h |
|
------ Г П 7 |
sin /лп1+ — (l-cos //„/) |
|
|
п=1^\А + /лп |
J+ h |
Мп |
|
х cos p nat(jun cos //их + A sin //Mx), |
||
где |
- положительные корни уравнения, /л tg /л1 = h , |
||
7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. Неоднородные задачи
Рассмотрим сначала задачу с однородными граничными условиями, но с неоднородным уравнением.
Схема решения:
L линейный дифференциальный |
оператор, допускающий разделение |
переменной, Ц и Z,2 - операторы, возникающие в процессе разделения |
|
переменных. |
|
Lu = f(x,t), |
О 0, О <х<1, |
'Р 1иа(аих +0и)хяО=О,
' |
s (w x + 8u\x=l = О, |
4 |
=0= ^W> M/ U = ^ W - |
I этап. м(х,?)=Л,(х)7’(^) |
подставляем в уравнение Lu= 0, ставим задачу |
Штурма - Лиувилля. |
|
LxX = 0, аГ(о)+ ДГ(о) = 0, 7?Г(/) + <ЙГ(/)=*0.
II этап. Решаем задачу Штурма - Лиувилля - находим собственные значения Хп и собственные функции Хп(х).
III этап. Решаем задачу Коши
|
W / \ |
L2Tn = ( f . X n ) *6 |
|
!!Л'„||2 |
и=1,2,... |
|
|
г»(°) = Т 11 Г |
= а "’ П(0) = ^ ' ^ = Л . |
З Д |
il*„! |
IV этап. Вьшисываем решение задачи м(л:,/)= Y.Tn(t)Xn(x).
/1=1
В случае неоднородности граничных условий, т.е. Р\и = /u(t), Р2и = v(t), на основании принципа суперпозиции исходная задача сводится к однородной задаче для новой функции v = u - w , где w удовлетворяет неоднородным граничным условиям.
Задача 7.5. Решить задачу о вынужденных колебаниях стержня.
utl = а |
+Asint, t> 0, 0 <х<1, |
“ U = °* |
их\ х=1= ®' |
4=0 = °> |
М4=0 = 0 - |
Решение будем искать в виде u(x,t)=x(x)T(t). Для нахождения Х{х) решим задачу Штурма - Лиувилля.
р Г + аА Х ), «Х(0)=0,
Х'{1) = 0,
X = С\ cos yfax + С2sin Tax,
х(о)= с,= о,
X'(f) —С2 yfcc cos-Jccl —0,
тогда
cos -Jal = 0,
yfel = -{2 k + \\ k= 0,1,2..
2
.2
a - ~ —(2Л+ 1)2 ’ 4/T
Х „ = Sin^(2* + lK |
« , = |
(2t + 1)2 |
|
Поставим задачу для Г. Для этого найдем |
|
||
\X nf = Jsin2 j-(2 k +1)xdx = \ |
j 1 " cos^(2A: + \)x dx = , |
||
|
|
0L |
|
|
2 'j |
£ ^ t + l) |
|
2/ |
/ 0J |
21 |
|
lc . |
к(2к + \) . |
|
-21 |
n(2k + \) |
1 |
||
I g |
i |
- --- 1V/7V — ----- |
- ---ПС\C |
i- -- -- |
|||
sin —--------xdx |
= |
-------гcos —-------- x |
|||||
0 |
|
21 |
|
TC{2k+ \) |
21 |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T" + а2л 2(2к +\)2 T = |
4A |
sin t, |
|
||||
|
|
4V |
|
|
л(2к + 1) |
|
|
r(o)=r(o)=o.
21
;r(2ft + l)’
|
|
|
. |
а2я 2 {2k + 1)2 |
Т = О |
|
Решение однородного уравнения T" + |
|
4V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Гп(,)=А„ |
|
4/ |
+ Вп sin£ ffi* ± ])f |
|||
п\> |
г, |
п |
4/ |
|
||
Частное решение неоднородного уравнения |
|
|
||||
|
|
|
Тп (0 = Dn sin /, |
|
||
- D n sinM- |
а2л 2(2& + l)2 |
|
4А |
sin i, |
||
|
л ------ |
|
|
|||
|
|
|
4V |
|
|
|
|
|
|
4А |
|
|
|
|
|
|
z(2k +\) a V |
^ |
+ l)2 - i |
|
г ( о ) = л = о ,
п(2к + 1) |
| |
|
|
4А |
|
||
4 |
' lt |
|
|
|
|
||
21 |
м |
^ |
Ь |
1ж1(2\ |
+1)г -1 |
||
|
|
||||||
S „ = - |
|
4А |
|
|
21 |
||
|
|
|
|
a^(2A: + 1)’ |
|||
п(2к + 1)| а2п 2(2к + \)2 |
|||||||
|
|
||||||
|
|
4/2 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
. |
an (2ЬИ)( |
|
||
sinf------7----- гsin |
|
21 |
J |
||||
^ 4A 1_ |
an(\2k + 1) |
|
|
||||
* |
(2ft + l | a V ^ |
+1>2 -1 |
|
||||
u{x,t) = — X |
|
|
|
|
|
||
' |
" ”( 2 ^ 1j a V |
g |
+1)2 - 1 |
|
|||
21
sin t - ■
\an (2k + l)
. n{2k + \)at) . |
{2k +\)nx |
|
sm —----- £— |
sin ■ |
|
21 |
J |
21 |
|
|
|
|
ая-(2А + 1)_, |
|
Это решение задачи в нерезонансном случае, т.е. если-----— |
* 1 |
||||
_ |
|
ап(2к + \) |
. „ |
|
|
Рассмотрим случай Вио, что г\ч = -----—-----= 1 • Тогда |
|
||||
К |
+ ч |
л |
= |
|
|
|r„(o)=r;(o)=o, |
|
|
|||
1«о V/ |
По |
|
|
|
|
где |
4Л |
|
2Л<я |
|
|
А„п = |
|
77«о=1> |
|
||
|
■;ч =——. |
|
|||
1и° |
я-(2«о +0 |
^ |
|
|
|
|
„ |
К |
+ 3 . =^»osinr’. |
|
|
т.е. задача имеет следующий вид: |
|
^ |
^ _ Q |
|
|
О г
Решение задачи, как обычно, ищем в виде Т„0 =Т^ + Т^ :
Т° = Boost +Csint, |
|
«о |
|
7^ = t(D cost + Esin t), |
|
подставив в уравнение, получим Еп = 0, |
■^NQ _ Aa |
Dn |
|
|
~ ~ ~ T ' |
|
Aa |
(0 = В cost +C sin/ — —cost • t , |
|
подставив в начальные условия, получим |
|
Тп(/) = (sin / - |
1c°s t). |
Таким образом, |
|
/ \ AA |
4/ |
~X , {2k + l ) ( A 2 (2n + 1)2 - 4 / 2)
21 |
|
. an' |
|
|
|
sin /-- |
-sm |
й ± 1 ) , |
|
||
an (2k+ \)" |
|
21 |
|
|
|
. (2k + lW |
Aa / . |
^ |
\ . |
x |
|
+ smin------- -— I-— |
(sin/-/cos/)sin—. |
||||
21 |
l |
v |
|
’ |
a |
Задача 7.6. Рассмотрим следующую задачу с неоднородными граничными условиями:
ип +2и, = ихх +Аих +8M-4/ + 2x(l-4/)-2e~ 2jcsin6x, 0 < х < ^ , t> 0,
и\л=0 |
|
и\t= о |
= X. |
Так как граничные условия неоднородны, то сначала ищем решение в виде u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) таким образом, чтобы v(x,t) удовлетворяла этим условиям:
v(x, t) = A(t)x2 + B(t)x + c(t),
v U = C (r)= 0 ,
л = 4 0
Напомним, что выбор v(x,t) неоднозначен, поэтому выбираем возможно более простой вариант
v(x,0 = xt ,
u{x,t) = xt + w(x,t).
Подставим полученную функцию в исходное уравнение и начальные условия, граничные же условия заведомо однородны.
wlt +2wt +2х = +4wx +At +8w +8xt -4 1 + 2x(l - 4t)~ 2e~2x sin 6x,
wtt + 2wt =
|
5-C II О |
II О |
т |
о II |
О и |
+8w - 2е 2х sin 6х,
£кII*|< IIО
Ч. о =0-
(7.2.1)
(7.2.2)
(7.2.3)
Получим задачу Коши с неоднородным уравнением, но однородными начальными и граничными условиями. Решение ищем в виде
w(x,t)=x(x)r(t). Для нахождения х(х) |
решим задачу Штурма - |
Лиувилля. |
0 <х<1, |
X" + AX' + /Uf = О, |
|
х { о ) = х ил= 0. |
|
J |
|
Корни характеристического уравнения: v1>2 = -2 ± V4 - Я .
Рассмотрим три случая:
1)0 < Я < 4 - собственных значений нет;
2)Я = 4 - собственных значений нет;
3) Я > 4, |
Я„ =4и2 +4, |
|
Х п =е~2х sin2rt. |
В данном случае ортогональность собственных функций с весом
р(х)=е4х
Далее поставим задачу для нахождения Тп (t):
Е Й + 2т; + (л„ - S K K = -ъ-гхsin6*.
т.к. е~2х sin 6х = ЛГ3(х), то в силу единственности разложения в ряд Фурье
„ |
/ |
ч |
Го, |
’ |
Г; + 27';+ (А„-8)Г„= |
||||
|
|
|
[-2, |
п = 3, |
|
н „ 0 =о=>г„(о)=о, |
|
||
|
Ч - о = 0 ^ |
г»(°)=0 |
|
|
при пфЪданная задача имеет единственное решение Tn(t) =О,
ГГ3"+ 2Г3 + 32Г3 = -2,
при И= 3
|
-/ |
|г 3(0)=г3'(0)=0. |
|
|
|
COS ч/зТг |
ч/зТsin л/зТг |
|
|
|
Г3(/)=' 16 |
16' |
||
Откуда получаем |
|
|
|
|
м(х,г)=х/ + — е |
C O S A / з Т ^ н— |
= = s i n л /з Т / -1 |
e - 2 j c s i n 6 x . |
|
v ; |
16 |
I |
л/зТ |
|
Иначе решение задачи (7.2.1 )-(7.2.3) можно искать следующим образом. Ищем W(JC,/) в виде e'ux+v,Z(x,^),
Тогда
* '» = « /" ’, (и22 + 2^ Z ,+ Z „ ) w, = е/д+1< (vZ + Z ,),
we = e**+" (v2Z +2vZ, + Z „).
Отсюда, подставив этот вид функций в уравнение (7.2.1), получим
е,и+* (v2Z +2vZt + Ztt - n 2Z - 2^ZX- Zw + 2vZ - 4 p Z - 4/JZX ) -
-2 Z eta+vt = -2e~2xsm6x.