книги / Уравнения математической физики методы решения задач

О x+a(t-r) / x+a(t-r)

Далее, используя свойство нечетности функции и сделав замену в первом интеграле, получим:

Отсюда, объединяя полученные ответы, решение задачи принимает вид

“L o = F (>1

И,_о = И<1„0 = ° Решение. Граничный режим вызовет волну, распространяющуюся от гра­

ницы х = 0 в положительном направлении оси х со скоростью а . Поэто­ му решение будем искать в виде u(x,t) = f( x - at). Из начального и крае­ вого условий вытекает

Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

4.1. Принцип суперпозиции

При решении различных краевых задач для уравнений в частных производных (в частности для решения задачи Коши) бывает полезно сводить задачу к совокупности более простых задач, часть условий кото­ рых становятся однородными, используя множество операторов входя­ щих в уравнения или краевые условия. Рассмотрим абстрактную идею

где L:C 2(D )-±C(D ) - линейный оператор, Pk :Mk —> C(Lk) - линейный

функционал, М к cC (Z A), Lk cd D (&= 1,п). Из линейности L, Рк вы­ текает, что решение ы(х) задачи (4.1) представимо в виде

Предлагаем непосредственно проверить равенство (4.1.2). Каждая из по­ лученных п +1 задач часто бывает проще исходной тем, что в ней необ­ ходимо оставить либо только уравнение, либо одно из краевых условий. Аналогично можно разбить в случае необходимости задачу (4.1.2) на сис­ тему из т < п задач, каждая из которых содержит неоднородность в ка­ кой-либо части граничных условий. Например, и = v1+ v2 + v3, где vk

есть решения задач

Ю*IIО = 0,

Ы, =о - Ы | „ ■0=°’

<

- 2(-з)^ . <> о, х > 0, - ("3 С-0 = м{<),

= (“з),|,в.0 = ° Решения задач ик, к = \,т найдены в 3.2 (см. задачи 3.3 - 3.5).

Если не удается разбить исходную задачу на несколько вспомога­ тельных задач описанным выше способом, бывает полезно освободиться от неоднородностей, входящих в часть граничных условий. Пусть для оп­ ределенности требуется сделать однородными первые т<п граничных

Как правило, такое выражение функции неоднозначно, но не представля­ ет технических трудностей в конкретных ситуациях. Предположим, что wk(х) найдены. Подставляя (4.1.3) в уравнения и граничные условия, по­

лучаем

т

Lu = Lv + Y , Lwk = /(* )’

Л=1

т

P jU = P jV + ] Г P jW j = PjV + <

М

Таким образом, сводим исходную задачу к новой краевой задаче для функции v:

почтительнее тем, что в ней первые т граничных условий однородные. Рассмотрим частный случай краевой задачи для волнового уравне­

Один из возможных вариантов (стремимся к тому, чтобы функция имела

4=o= -4°)* ■ 4°)>v/L =4*)- y'(°)x - 4 °)

Задача 4.2. Освободиться от неоднородности в граничных условиях: ut = а2ихх -2 u + t x - t 2(l + x),t>0,Q<x<2,

<{их ~5и]х=0 = 5.5/2, и\х_2 =22cost,

Решение: и = v + w, где wудовлетворяет граничным условиям, ищем со­ гласно (4.1.7)

|я(г)-5С (/) = 5,5/2

[4Л(0 + 2B(t)+ C(t) = 22 cos t.

Удобно положить A(t) =0. Тогда из первого уравнения системы получим

Подставляем и = v + w в начальные условия и в исходное уравнение:

4=0 = *• Иногда бывает возможно освободиться от неоднородности как в гранич­

ных условиях, так и в уравнении. В частности, если в задаче (4.1.4)- (4.1.6), где f{x,t) = f(x), /i{t) = ju, v(t)=v, т.е. когда неоднородности не зависят от /.

Задача 4.3. Свести задачу к задаче с однородными граничными условия­ ми и однородным уравнением.

Решение: u{x,t) ищем в виде u{x,t)~ v(x,t)+ w(x) >где A x) удовлетвори ет (4.1.11), (4.1.12), т.е. является решением задачи

Ответ: решение u(x,t) представлено в виде w(x/) = v(x,f)+ w(x), где w(x) определяется неравенством (4.1.15), a v(x,/) есть решение задачи

отсюда w(x) = x3 + x - 4.

Ответ: заменяя u(x/) = v(x,t)+ x3 + x - 4, сводим исходную задачу к следующей задаче с однородными условиями:

vt = ^vxx» *> 0, 0 < х < 1,

v* L o = (v* +vL i =0- vl,-o= 4.