книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfизлишних выкладок.
Очевидно,х2 = TJ2,X 2 - у 2 = -£ ,у 2 = £ + х2 =% + т]2 , и из (1.3.17) получаем
Ответ:
vпп —-Z-z-v* = 0, где £ = у 2 - х 2,п = х, если у * 0.
Uyy = 0, если у = 0,х ф 0.
В точке (0, 0) уравнение вырождается.
Задача 1.6. Привести уравнение к каноническому виду:
- 2sin х иху - cos |
xUyy-cosxuy = 0 . |
Решение, а -1, b = - sinx, с = -cos |
х, d = f = g = 0, е = -cosx, Д = 1 |
\/(x,y)eR2 - уравнение гиперболического типа. Решая одновременно два
уравнения |
характеристик |
dy = (-s\nx±\)dx, |
получим |
||||||
^ = y-cosx + x,rj = у - c o s x - x . |
Далее, |
используя |
гиперболичность, |
||||||
а - с - 0 . По формуле (1.3.11) получаем b = - 2, d - е |
- 0. |
Отсюда вид |
|||||||
(1.3.10): - 4 v ^ = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: v^ = 0, где £ = у - cos х + х,т] = у - cos х - х , (х, у) е R |
|
||||||||
Задача 1.7. Привести к каноническому виду следующее уравнение: |
|
||||||||
|
|
|
ихх + xyUyy = 0 |
|
|
|
|
||
Решение: а = 1, |
Ь = 0, |
с = ху, |
Д = - х у . |
|
|
|
|
|
|
1) |
х = 0и у =0 |
уравнение |
параболического типа. |
В |
этом |
случае |
|||
уравнение принимает канонический вид ихх =0 . |
|
|
|
||||||
2) х > 0,у < 0и х < 0,у >0 - уравнение гиперболического типа: |
|
|
|||||||
а) |
х > 0,у < 0 . Уравнение характеристик |
dy = ±yj- xydy |
В данном случае |
||||||
разделять переменные нужно так: ■]- ху = 4х ^ у |
|
|
|
||||||
dy |
} — -±4xdx. |
Отсюда - 2 yj-y = |
|
Приходим к |
следующей |
||||
|
ы- у |
|
|
|
|
|
|
|
|
замене переменных: |
£ = —2^/—у + 1 л[х* |
rj = - 2 y J - у - |
yfx2 |
Из |
|||||
гиперболичности и (1.3.11) следует |
|
|
|
|
|
||||
- 4 xv4n + 2 у[х~* - xyj(-y) 1 + f - yfx~* - x^j(-y) 1 Jv7 = 0 ,
Vf r |
+ 8 |
- V *3 + yj(-y)1 |
V77 +\/(-^)1 v |
= 0 |
||
Далее выразим переменные x и у, получим |
|
|
||||
|
|
|
£ + 7 |
3(<f-7) |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
= 0 |
v^ + |
|
|
|
Vg + |
|
|
|
Щ - v ) |
4 + v |
Щ -TI) |
<f + 7, |
|
|
|
|
|
||||
|
v 4n |
+---Г — Г |
Ь “ 2£>v£ + (2?7" ^)v21= 0 |
|
||
|
7 3(^2 - 7 ) |
|
|
|
||
Случай x < 0,.y > О предлагаем рассмотреть самостоятельно. |
|
|||||
3) x > 0,>->0 u x < 0,.y<0 |
|
уравнение |
эллиптического типа. |
|||
Представляем |
читателю самостоятельно разобрать случай |
х > 0, у > 0 , |
||||
рассмотрим подробно лишь случай х < 0,у < 0. Уравнение характеристик: dy = ±д/- xydx.
В данном случае разделять переменные необходимо следующим образом:
4~ху = iyfxy = i j^ x - s j - у |
. Получим: |
|
|
.----- dy = ±i4 ~~xdx, |
|
|
ы - у |
|
- 2 |
= с |
|
С помощью замены £ = 2-J-y,rj = j V - x 3 |
обычным образом приходим к |
|
v* |
+ — = 0 |
|
уравнению |
|
|
Ответ: 1) параболический тип при х = 0 и у = 0 : ихх = 0 ; 2) гиперболический тип при х > 0,>,< 0 и х < 0,>’> 0 :
V&1 |
1 |
\ л - 2£)vg + (2rj - «^)v7? ] = 0 (замена |
£ = - 2 ^ y |
+ j Vx3", |
||||
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Щ 2 - л 2) |
|
|
|
|
|
||
r] - |
- 2-yJ- у - ^ л/х3” |
|
при |
x > 0, y <0 |
и |
замена |
||
£ = 2j ^ y +Zy[x* ,7J= 2<y/-7 - f |
Vr*" при x < 0,y > 0 ). |
|
||||||
3) эллиптический тип при j > 0j > 0u x < 0,j/< 0 : |
|
|
||||||
|
+ v,^ - -J-+ — = 0 |
(замена |
£ = 2y[y,ij = j 4 x* |
при х > 0, у >0 и |
||||
замена £ = 2^ - |
у ,TJ = |
V -x 3 при x < 0,у < 0 ). |
|
|
||||
|
Для закрепления материала рекомендуем привести к |
|||||||
каноническому виду следующие уравнения: |
|
|
||||||
|
а) иж + AUxy +13Uyy +3их + 24иу - 9и + 9(х + у) = 0, |
|
||||||
|
б) (l + x2)2 |
+w^ + 2x(l + x2^/.c = 0 , |
|
|
||||
|
в) у 2!/** + 2хум^ +X2Uyy = 0 , |
|
|
|||||
|
г) (l + x 2^ |
^-(l + y 2)/^ |
+хих +уиу - 2и = 0 , |
|
|
|||
|
д) и** - 2sin х MXV - cos2 xww -cosxw =0 |
|
|
|||||
|
1.4. |
Упрощение уравнения в каноническом виде |
|
|||||
Линейные уравнения в каноническом виде с постоянными коэффициентами
Vgq +dvg + evn + Jv + g = 0 (гиперболический тип),
+ vw + dv^ + ev^ + Jv + g = 0 (эллиптический тип),
+dvg + evn +Jv + g = 0 (параболический тип)
спомощью замены переменных:
v = e ^ +Mrtw(^T}) |
(1.4.1) |
можно привести соответственно к виду:
W4T] + yw +о. = 0 ,
+ wrjTj +yw + cc = 0 , w,in + yw + a = 0 .
При этом параметры Х,/л каждый раз находятся из условия обращения в
нуль некоторых коэффициентов.
Задача 1.8. Привести к каноническому виду и проделать дальнейшее упрощение уравнения.
ихх - 4иху + 5Uyy - Зих +иу +и = 0 .
Решение. Обычным образом уравнение с помощью замены переменных
£ = 2х + у, Tj = x приводится к виду |
|
+vr]T1~ 5v4 ~ 3v7 + V = ° |
(1-4.2) |
Делаем замену (1.4.1). Выражаем частные производные функции v через частные производные функции w:
|
v4 = e ^ +M(w4 ^Xw^v^ = e^ +W (Wj7 + jm), |
||
v44 = |
+ 2Xw4 + X2w),v,jn = e ^ +M’’(wлп + 2fjw^ + /л2w). |
||
Подставляя полученные выражения в (1.4.2), имеем: |
|||
е |
(w^ + 2Awg +A w + wTjJj +2juwn + ju w —5(wg +Aw) — |
||
|
- 3(WJJ + juw) + w) = 0. |
||
Приравняв коэффициенты при w4 и |
к нулю, получим |
||
|
Г2Я —5 = 0, |
|
|
|
[2 //-3 |
= 0. |
|
Поделив обе части уравнения на е |
и подставив конкретные значения |
||
А,и(х, получим |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
w44+wnn - y |
w = 0 |
|
|
|
|
$4+in |
Ответ. С |
помощью замены |
u(j], £ - 2i]) = е 2 w(£, rf) исходное |
|
уравнение приводится к виду w44 + wnn - ^ w = 0 .
Для закрепления материала рекомендуем привести к каноническому виду следующие уравнения и провести дальнейшее упрощение:
а) Зихх + иху + Зих +иу - и - у = О,
б) 5иж +1 бЫф +16Uyy + 24их +32иу + 64и = 0,
в) 3иху - 2иХ2 - иуг - и = 0 ,
г) иж - 2иху + иуу - 3их +12иу + 21и = О
Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК. ЗАДАЧА ГУРСА
2.1.Нахождение общего решения
Вобщей постановке задача сложна, и не всегда удается найти общее решение уравнения в частных производных. На примерах рассмотрим процедуру нахождения общего решения некоторых частных случаев уравнений гиперболического и параболического типов.
Задача 2.1. Найти общее решение уравнения
^ху ~ 0 •
Решение. Интегрируя по у, получаем
{мдydy = jo dy,
их =с(х).
Далее, интегрируя по х, получим
и = ^c(x)dx + сх{у).
Ввиду произвольности функции с(х), интеграл от нее также функция
произвольная с2(х). |
Далее для |
удобства введем |
обозначения |
||||
об |
об |
ц/(у) , получим общее решение: |
|
|
|
||
С2 0 ) = <р(х), Cj (у) - |
|
|
|
||||
|
|
|
и(х,у) = <р(х) + у/(у) |
|
|
|
|
Задача 2.2. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
||||
|
|
|
иху + 3иу =5 |
|
|
|
|
Решение. Делаем замену v = иу . Получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
vx +3v = 5. |
|
(2.1.1) |
|
|
Общее решение |
этого |
дифференциального уравнения |
ищем |
в |
виде |
||
v = v0 + v4, где |
VQ |
общее решение |
однородного уравнения, |
a |
v4 |
||
частное решение неоднородного. Однородное уравнение решаем при помощи характеристического уравнения:
Я +3 = 0,
v,=C(y) е-3"
v4 ищем в виде v4 =A. Подставив эту константу в (2.1.1), находим
v = C (^ )e - 5' + | . |
|
|
Вспомним, что v = uy , получаем иу = С(у)е |
+ —. Интегрируя по у, |
|
имеем |
|
|
и = j C i y ^ d y + + С(х) = <Г3'С2 w |
+ |
+ С, (I). |
Таким образом, общее решение: и(х,у) = е-з • у/(у) + -5у + (р(х).
Задача 2.3. Найти общее решение уравнения 6v=
V£'7+ — = 0 -
7 Решение. Вводим замену w= . Получим
w = 0 => — = -6 => In | w|= 677_1 + In I C(£) |=>
T] w T
v* = w = C(£)e* ^ |
v = C, (£)e * + C2 (7). |
|
|
|
6 |
Общее решение примет вид v(£, if) = |
4 + y/(i]). |
|
Задача 2.4. Найти общее решение уравнения: |
||
Uyy =ху |
|
|
Решение. Интегрируя дважды по у, получим |
||
и„ = ху +С] (х) => и = XV |
+С| (х)_у + С2(х). |
|
Общее решение примет вид и(х,у) |
ху |
|
= ---- + (р{х)у + С2(х). |
||
|
6 |
|
2.2. Решение задачи Коши Алгоритм решения задачи Коши для уравнений гиперболического
и параболического типов
Гаи„ + 2 buxy + сиуу + F(x, у,и,их,иу ) = О,
(2.2.1)
[м Iу=а(х) = f ( x )> их Iу=а(х)~ £(*)>
где f(x), g(x) е С 2(0, со) .
1.Привести уравнение к каноническому виду, если это необходимо.
2.Найти общее решение уравнения в каноническом виде и перейти к старым переменным.
3.Найти частное решение задачи, т.е. конкретное аналитическое выражение для функций q>,41, входящих в общее решение.
Задача 2.5. Решить задачу Коши:
Ux y + U x = О,
«ly=*=sinx, их | ^ = 1.
Решение. Уравнение уже в каноническом виде. Получаем его общее решение:
u(x,y) = e~y(p(x) +i//(y).
Далее нам понадобится следующее выражение: их = е 'у<р'(х). Отсюда, учитывая начальные условия, получаем систему для определения неизвестных функций:
е~х<р(х) + t//(x) = sin х,
(е~х<р'(х) = 1.
Удобно проинтегрировать второе уравнение и подставить выражение для (р в первое уравнение:
<р'(х) = ех => (р{х) = ех +С => е~х(ех +С) + ^(х) =* sinx => ^(х) = sin х -1 - Се~х
Итак, <р(х) = ех + С, <//(у) = sin у -1 - Се~у Тогда, подставив полученные выражения в общее решение, получим:
и = е~у (ех + С) +sin у -1 - Се~у = ех~у + sin у ~ 1 •
Задача 2.6. Решить задачу Коши:
^ ^ху ^УУ ^у ~
^ l_v=o 2 5 \у=о sinx.
Решение. Так как коэффициент при второй производной по х равен нулю,
то необходимо |
сделать |
замену |
и(х,у) = и(у,х) |
и записать |
|
вспомогательную задачу Коши. |
|
|
|
|
|
|
-йхх + ехиху + их = 0 , |
(2.2.2) |
|||
|
у 2 |
|
=~smy. |
(2.2.3) |
|
|
= |
|
|
||
Далее с помощью замены переменных |
|
|
|||
|
£ = ех +у,т] =у , |
(2.2.4) |
|||
уравнение (2.2.2) |
приводится |
к каноническому виду v^ |
= 0. Общее |
||
решение этого уравнения |
|
|
|
|
|
|
v(Z,,4) = <?(fy + W(r]) |
|
|||
Учитывая (2.2.4), получим общее решение уравнения (2.2.2): |
|
||||
|
й(х,у) = <р(ех +у) + у/(у), |
(2.2.5) |
|||
|
их = <р'(ех + у) ■ех |
|
(2.2.6) |
||
Итак, из (2.2.4)-(2.2.6) |
|
|
|
|
|
f |
|
у 2 |
|
|
|
^(1 + у) + ^(у) = - — , |
|
|
|
||
- |
|
^ |
=> (р{1 + у) = cos у +С => |
||
<р'(\ +у) = -sin у |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
=>cosy + С + ц/{у) = |
|
|
|
||
|
|
V2 |
|
|
|
|
Ч'(у) = ~ — |
- c o s y - С |
|
||
В данном случае получено выражение для значения функции ср от
аргумента |
1 + у |
Для подстановки в |
(2.2.5) понадобится выражение |
значения функции от аргумента ех + у |
Сделаем замену 1 + у = а Тогда |
||
у = а - 1 . |
Отсюда |
$?(l + y) = cosy + C |
Получим <р(а) - cos(a - 1) + С |
Далее подставляем а = ех + у , имеем |
|
||
Используя полученные выражения для функции, подставляем в (2.2.5), получим
2
и(х,у) = cos(ex + у -1) + С - —— cos у - С ,
и(х, у ) - и.(у, х) = c o s ( e + х - 1) - — - cos х .
Задача 2.7. Решить задачу Коши:
х2ихх - y 2Uyy - 2-уи.у = О, X > О, у < О,
(2.2.8)
И * - 1 = У> »х\х=\ = У-
Решение. С помощью замены ^ = ху,т] =— уравнение приводится к виду
У
Для его решения делаем замену w = |
, получим |
|||
Л |
■* |
Л |
-I |
|
07] |
_ |
w = ° ^ — = — дт]=> In| w |= £ ln|7|+ln|C (£ )|=> |
||
271 |
W |
27] |
z |
|
=>w = C( ^ ) |^ |2 => v =| 7712 <p(g) + y/(rj). Учитывая, что при x > 0,у <0 имеем 7 < 0 , получим
V(&*7) = ( - 7 ) X £ ) + <K»7).
( |
v 1 |
(х_ |
X |
||
U(x,y) = |
9>(ху) + Г |
|
Тогда |
У) |
\У, |
|
|
|
их:(Х’У) = - Х 2(~у) 2 <Р(ху) + Х2 (-у) |
2(р'(ху)у + —1//'(х_ |
|
Далее из начальных условий |
|
У \У. |
|
|
|