книги / Основы технической термодинамики, термохимии и анализ циклов газотурбинных установок
..pdf3.Истинные значения С , Су и к реальных газов, как теоретиче
ские значения этих величин для идеальных газов, практически не зависят от давления и удельного объема (во всяком случае, до дав лений порядка сотен бар). Но влияние температуры у реальных га зов все же оказывается заметным, причем с ростом температуры Су
и С повышаются, а к слабо уменьшается. Последнее вытекает из
уравнения (1.15), согласно которому k = R/Cv У идеальных газов,
как отмечалось, температура не влияет на Cv, С и к. В этом состоит
основное несовпадение истинных и теоретических значений Су, Ср
и к.
Проиллюстрируем сказанное. У одноатомных газов истинное значение к практически в точности совпадают с теоретическим зна чением к = 1,667 до очень высоких значений температуры, соответ ствующих началу ионизации (порядка нескольких тысяч или десят ков тысяч градусов). Значения Cv и С для одноатомных газов так
же можно вычислять по формулам (1.16) и (1.17) до температур -1500...2000К.
Для двух- и многоатомных газов истинные и теоретические зна чения показателя адиабаты к можно считать удовлетворительно совпадающими до температур 400...450К. Но Cv и Ср можно опре
делять по формулам (1.16) и (1.17) лишь ориентировочно. Для точ ного их определения необходимо пользоваться таблицами или гра фиками, в которых С и С приводятся в функции температуры для
различных чистых газов и их смесей (воздух, продукты сгорания). Зависимость истинных значений С., Ср и к реальных газов от
температуры объясняется неточностью модели идеального газа и методов классической молекулярно-кинетической теории. Главное здесь заключается не столько в том, что атомы и молекулы не явля ются материальными точками, а в механизме поглощения энергии частицами. Во-первых, поглощаемая энергия неравномерно распре деляется между степенями свободы. Во-вторых, не учитывается по глощение энергии на колебательное движение атомов в молекулах, причем это поглощение в соответствии с квантовой механикой про исходит не непрерывно, а дискретно, порциями.
и
Согласно квантовой теории теплоемкости энергия, поглощаемая на колебательные движения, пропорциональна произведению hv (Л — постоянная Планка; v — частота колебаний), а частота v и, следовательно, теплоемкость находятся в прямой зависимости от температуры. Эта зависимость учитывается формулой Эйнштейна, в которой теплоемкость представлена суммой основной составляю щей, определяемой уравнением (1.16), и поправкой, учитывающей составляющую энергии колебаний,
где & = hv/K — так называемая характеристическая температура для колебаний; К = 1,38-10-2-1Дж/К — постоянная Больцмана.
Из уравнения (1.19) можно убедиться в том, что с увеличением температуры колебательная составляющая теплоемкости возраста ет.
С достаточной для практических целей точностью зависимость теплоемкости от температуры может быть аппроксимирована ли нейной функцией, если диапазон температур не очень велик — до 400...500 К. Это относится и к Су, и к С , поэтому в указанной за
висимости индекс при теплоемкости опустим |
|
С = С() +аТ |
( 1.20) |
Средняя теплоемкость, необходимая для определения количест ва подведенной или отведенной теплоты в заданном интервале тем ператур
определяется, как известно, выражением
С учетом зависимости (1.20) после интегрирования получим
( 1.21)
Значения размерного коэффициента а, Дж/кг-К2 приводятся в справочниках с указанием того интервала температур, внутри кото рого осуществляется линейная аппроксимация.
1.3. Энтропия
Ранее было дано понятие энтропии как функции состояния ра бочего тела, причем никаких ограничений на свойства рабочего те ла не налагалось. Теперь рассмотрим методы вычисления из менения энтропии при переходе рабочего тела из одного произ вольного состояния в другое, используя уравнения, справедливые только для идеальных или реальных газов, близких по своим свой ствам к идеальным. Из исходного выражения для дифференциала энтропии
da |
dq +d£ |
_ u t/ _ |
• внсш_______mp_ |
TT
иуравнений первого закона термодинамики в двух формах
dq = du + Pdx = CdT + Pd\ ,
( 122. )
(1.23)
dq = di - vdP = CdT - vdP. |
(1-24) |
получим соответственно два дифференциальных уравнения
dT P
dS = C - |
~ - d P . |
p j |
T |
Используя уравнения Клапейрона в виде
P_= R |
и |
v__R_ |
|
Т ~ V |
Т ~ Р' |
||
|
представим правые части уравнений (1.25) и (1.26) в виде функции двух параметров состояния соответственно Т , \ и Т , Р
dS = C |
T |
(1.27) |
v |
у |
|
dS = C |
dT |
(1.28) |
р Y |
|
|
Как было установлено в 1.2, теплоемкости идеальных газов Су и
Сне зависят от параметров состояния. Поэтому, интегрируя (1.27)
и(1.28) в пределах от некоторого начального до произвольного со стояния газа, получим следующие две формулы для определения изменения энтропии AS в зависимости от изменения соответст вующих сочетаний термических параметров состояния T, v и Т, Р:
AS = S - S = C |
v |
£п— + Ш.п— , |
|
0 |
T |
v |
|
|
|
10 |
vo |
AS = S - S = C |
p |
ùi— - M n — . |
|
о |
Y |
P |
|
|
|
0 |
0 |
(1.29)
(1.30)
Изменение энтропии в функции других термических параметров состояния P, v можно получить с помощью уравнения Клапейрона в дифференциальной форме. Продифференцировав уравнение P\=RT, будем иметь
dT__dP_ dv_ |
(1.31) |
|
T ~ P v ' |
||
|
Подставив выражения для dT/Т в правую часть уразнения (1.27) и используя уравнения Майера (1.13), получим
^ + * '| + Я* = С — - c А . |
|
Р V J |
V v P p V |
Проинтегрируем это уравнение в пределах от начального Р0, v0
до произвольного P, v состояния газа
AS = S - S = C |
in— +C — . |
(1.33) |
|
0 |
v P0 |
Pv 0 |
|
Уравнению (1.33) можно придать несколько иной вид, восполь зовавшись показателем адиабаты
AS = S —Sn = C £п |
/V |
|
(1.34) |
о у |
р v * |
|
|
|
0 |
0 |
|
Уравнения (1.29), (1.30), (1.33), (1.34) представляют собой явные виды калорических уравнений состояния 5=/,(7’,v), 5=/,(Т, Р),
5=/, (P,v). Для реальных рабочих тел, далеких по своим свойствам
от идеальных газов (например, вблизи фазовых переходов), эти уравнения получаются весьма сложными и поэтому, как правило, даются в виде таблиц или графиков.
Полученные калорические уравнения состояния определяют не абсолютные значения энтропии, а ее изменения при переходе иде ального газа из одного состояния в другое. Как отмечалось ранее, абсолютное значение энтропии (как и абсолютные значения внут ренней энергии и и энтальпии г) не может быть определено из пер вого и второго законов термодинамики. Это можно сделать с помо щью третьего закона термодинамики или закона Нернста и гипоте зы Планка, из которых следует, что 5 = 0 при Т = 0. Но при термо динамических методах анализа и расчета процессов и циклов зна ния только изменений энтропии вполне достаточно. При этом за ус ловное начало отсчета энтропии часто принимают так называемые нормальные физические условия, то есть полагают, что 5(1= 0 при
Ра = 760 мм рт. ст. и /() = 0 °С (273 К). Тогда в уравнениях (1.29),
(1.30), (1.33) и (1.34) изменение AS считают равным некоторой ус ловной энтропии 5, а при переходе из произвольного состояния 1 в другое произвольное состояние 2 изменение энтропии равно 5,-5,.
В заключение остановимся на одном из важных свойств энтро пии. Запишем уравнение первого закона термодинамики для обра тимого процесса (t = 0).
Из этого уравнения следует, что изменение внутренней энергии рабочего тела Ди происходит независимо от того, в какой форме осуществляется энергообмен между рабочим телом и окружающей средой — в форме только теплоты Ди = qmcm при £ = 0, в форме толь
ко работы Аи = -£ при qmni= 0 или как в форме теплоты, так и в
форме работы. Другими словами, по изменению внутренней энер гии рабочего тела можно определить суммарную величину подве денной или отведенной энергии, но нельзя судить о форме этой энергии.
Иначе обстоит дело с изменением энтропии в обратимом про цессе
Как видно, это изменение может происходить за счет энергооб мена только в форме теплоты, а обратимый энергообмен в форме работы никакого влияния на энтропию не оказывает. Таким обра зом, различие в энтропиях рабочего тела означает различие в фор мах приобретенной энергии: чем больше изменение энтропии, тем в большей степени энергия приобретена в форме теплоты.
1.4. Изопараметрические процессы
Изопараметрическими называются процессы, при протекании которых один из параметров состояния сохраняется неизменным. Ранее уже рассматривались в общем виде эти процессы — изохорный (v = const), изобарный (Р = const), изотермный (Т = const) и об ратимый адиабатный или изоэнтропный (дП1ГШ= £тр=0 или AS = О,
S = const). Теперь дадим аналитическое описание этих процессов, что для идеальных газов возможно сравнительно просто.
Еще раз подчеркнем, что любой процесс можно осуществить лишь в результате энергообмена с внешней средой — либо только в форме теплоты (изохорный), либо только в форме работы (адиабат ный), либо совместно и в форме теплоты, и в форме работы (изо барный и изотермный).
Все процессы рассмотрим в одинаковой последовательности: уравнение процесса; изображение в диаграмме состояния Р,\; изме нение внутренней энергии Дм и энтальпии Ai; работа изменения объема I; политропическая работа £ ; подводимая или отводимая
теплота; теплоемкость; изменение энтропии AS ; изображение в диа грамме состояния T, S.
Изохорный процесс. Изохорным называется процесс, проте кающий при постоянном объеме (удельном объеме), а его уравне ние в системе координат P, v будет v = v0 = const.
В этой системе координат изохорный процесс изобразится вер тикальной прямой (см. рис. 1.2), причем направление процесса от начальной точки О может быть как в сторону увеличения давления О-l, так и в сторону уменьшения О-V. Изменение температуры при этом определяется законом Шарля
Р |
Р |
Т |
(1.35) |
|
— = const или |
— =— . |
|||
т |
Р |
Т |
4 |
' |
1 |
го |
1 о |
|
|
Для идеальных газов теплоемкости Cv и С |
согласно уравне |
|||
ниям (1.16) и (1.17) не зависят от параметров состояния, а внут ренняя энергия и энтальпия i зависят только от температуры. Поэтому изменение внутренней энергии и энтальпии равно
ДИ= С (Г -Г0); |
Ai = Cp{T-T0). |
(1.36) |
Эти соотношения, разумеется, не зависят от характера или вида процесса, т.е. их можно использовать для вычисления Дм и Ai в любом процессе.
Рис. 1.2. Изохорный процесс в диаграмме состояния P, v
Для рассматриваемого изохорного процесса изменение темпера туры может быть выражено через изменение давления при v = const из уравнения Клапейрона
Заменяя Т и Т0 в уравнениях (1.36) с помощью этого соотноше ния, получим
А“ = С^ Р~ Р°У' Ai = Cr l ï ( P- Po)- |
<137) |
Работа изменения объема I равно нулю, так как d\ = 0. Подтропическая работа, как известно, определяется интегралом
e p = - ] v d p = y 0 { p - p o ) - |
О - 3 8 ) |
Напомним, что политропическая работа входила в один из видов уравнения первого закона термодинамики для стационарного пото ка рабочего тела — уравнение Бернулли
(1.39)
Р„
Основным по величине слагаемым правой части является полит ропическая работа. Поэтому она является основной составляющей технической работы турбомашины — и в этом физический смысл подтропической работы.
Подводимая или отводимая теплота при протекании процесса определяется уравнением первого закона термодинамики в системе координат, связанной с рабочим телом q = Au+(. Поскольку £ = О, то с учетом уравнений (1.36) и (1.37) получим
qy=Au = Cv{T-T0) = Cy^ { P - P 0). |
(1.40) |
Таким образом, теплота, подводимая к газу (если Т > То), идет на увеличение его внутренней энергии.
Теплоемкость процесса, очевидно, равна Cv.
Изменение энтропии может быть найдено по уравнениям (1.29) и (1.33) при V = const
AS = S - S =ln— -C |
In—, |
(1.41) |
O p |
V •J' |
'' |
O |
O |
|
Второе из уравнений (1.41) определяет уравнение кривой про
цесса в диаграмме состояния T, S |
|
Т = Т0е ^ |
(1.42) |
Эта показательная функция T=T(S) изображена на рис. 1.3. На правления процессов 0 -1 и 0 -1' на рис. 1.2 и рис. 1.3 совпадают.
Площадь под кривой О-1 эквивалентна |
подводимой теплоте |
|
(dS>0, |
q>0), а площадь под кривой 0 - Г |
— отводимой теплоте |
(dS<0, |
q<0). |
|
При других значениях постоянного удельного объема v0. >v0, или v0„<vo изохоры в диаграмме T, S сместятся эквидистантно со
ответственно вправо или влево (см. рис. 1.3). В этом можно убе диться из уравнения (1.29).
