книги / Основы технической термодинамики, термохимии и анализ циклов газотурбинных установок
..pdf^ = Сп{Т ~То) = СТ0 |
(1.58) |
\ Tо |
У |
Используя уравнения (1.55) и (1.56), получим зависимости пк и Ai от перепадов давлений и удельных объемов
|
*-l |
|
|
|
k- 1 |
|
|
|
|
' р |
' к |
|
|
| 7 |
v „ ï |
|
|
(1.59) |
||
Аи = СТ |
О |
- 1 |
= с т |
|
- 1 |
|
VО { v J |
|
v О |
Л |
, |
|
|
/ |
\ к -1 |
-1 |
=ст |
г ^ - кг-1 |
(1.60) |
|
м = с т |
|
|
-1 |
|||
Р О |
|
|
Р О |
KP0J |
|
|
Прирасчетахвместо Су и С частоиспользуютихвыражения (1.15).
Работа изменения объема и политропическая работа определяет ся из соответствующих выражений первого закона термодинамики: q = Au + ê и q = Ai + £p при q = 0, т.е.
е = JPdv = - Au = CJQ(Х - ^ |
(1.61) |
\ TО J |
|
ep= - ) v d P = - A i = C T 0(\ |
(1.62) |
n,
Таким образом, работа изменения объема осуществляется за счет убыли внутренней энергии, а политропическая работа, за счет убыли энтальпии. Для определения I и ( через отношения удель
ных объемов и давлений следует воспользоваться уравнениями (1.55) и (1.56). Заметим, что выражения для е и (р можно
получить и путем интегрирования функций Pdv и vdP, приведя их с помощью уравнения адиабаты (1.54) к виду
_1_
P0vk0v-kdv И РкУ0Р kdP.
Нетрудно убедиться в том, что в результате получатся приве денные выше выражения для I и £ .
Работа изменения объема I эквивалентна площади под кривой процесса (рис. 1.8), а политропическая работа 1р — площади слева
от кривой процесса. При направлении процесса 0-1 (dv >0, dP<0) обе работы I и £р положительны, а при направлении O-V (dv < О,
dP < 0) — отрицательны.
В соответствии с уравнением (1.39) политропическая работа, как отмечалось, является основной составляющей технической работы 1Т.
Для рассматриваемой обратимой адиабата в уравнении (1.39) l m = 0,
и в этом случае политропическую работу называют адиабатической. Согласно правилу знаков техническая (т.е. в данном случае адиа
батическая) работа компрессора при сжатии в направлении О -Г (см. рис. 1.8) отрицательна. Однако в теплоэнергетике работу ком прессора принято считать положительной. Это следует помнить при расчетах по уравнению (1.62), которое применительно к компрессору следует записать как
, = С Т (-— 1)= СТ |
(1.63) |
|
п zi" m |
' п /» |
|
Теплоемкость обратимого адиабатного процесса равна нулю |
||
Сs |
= 0, |
|
|
dT |
|
поскольку теплообмен отсутствует (dqt = 0), а температура изменя ется (dT* 0).
В диаграмме состояния T, S обратимая адиабата (изоэнтропа), очевидно, изображается вертикальной прямой (см. рис. 1.9). В этой системе координат отчетливо видно уменьшение температуры при расширении газа (направление О-l) и увеличение температуры при сжатии (направление 0-1').
Г А
-----------------' |
1----------------------- |
s |
S0 |
Рис. 1.9. Обратимый адиабатный процесс
вдиаграмме состояния Г, S
1.5.Политропные процессы
Из рассмотренных выше четырех изопараметрических процес сов состоят обратимые (идеальные) циклы практически всех тепло вых машин, рабочие тела которых близки по своим свойствам к идеальным газам. Эти процессы, перенесенные с рис. 1.2— 1.9, объ единены на рис. 1.10 в координатах P,v и Г, S. Приведенные анали тические методы расчета этих процессов дают возможность также аналитически определять термодинамические показатели обрати мых циклов — термический КПД и работу цикла.
Рис. 1.10. Изопараметрические и некоторые политропные процессы в координатах Р,\ и T,S
31
( 1.66)
V
В других точках кривая процесса P =f(v) не совпадает с аппрок симирующей функцией. Однако все реальные необратимые процес сы, в частности ОТ и ОК на рис. 1.10, являются очень плавными кривыми. Поэтому промежуточные значения аппроксимирующей функции (1.71) получаются достаточно близкими к значениям ис тинной функции P =f(v), и подобная аппроксимация, как правило, обеспечивает вполне приемлемую для практики точность расчетов.
Все рассмотренные ранее изопараметрические процессы явля ются частными случаями политроп, описываемых уравнением (1.64) при соответствующих значениях показателей политроп п. Так, для изохорного процесса v = const показатель политропы легко опреде
лить, если уравнение (1.71) представить в виде \Р»= const. Отсюда следует, что для изохорного процесса «v=±°°. Для изобарного про
цесса Р = const получим пр= 0, а для изотермного Pv = const г|к .
Для обратимого адиабатного и одновременно изоэнтропного про цесса /V = const, очевидно, что nt =k.
В дальнейшем убедимся в том, что все уравнения, определяю щие различные параметры политропных процессов (Дм, Ai, I, I , q, С, AS), в частных случаях при значениях п, равных
zb», 0, 1, совпадают с приведенными ранее уравнениями для соот ветствующих изопараметрических процессов.
У каждого из реальных необратимых процессов, показанных пунктирными кривыми на рис. 1.10, показатель политропы может иметь разные значения, но в определенном диапазоне изменения. Так, из рис. 1.10 следует, что для процессов расширения в реальной турбине 0-Т
(1-67)
Для процессов сжатия в реальных компрессорах в принципе
к<п.< <*> |
( 1.68) |
но при существующем уровне гидравлических потерь в компрессо рах показатель политропы nt лишь незначительно превосходит по
казатель адиабаты (примерно на 4...6%). Для процессов теплоподвода 0-тп и теплоотвода О-то в принципе имеем соответственно 1 > пт > О и О >пю >-оо, но практически пт гораздо ближе
к нулю, чем к единице, а пт лишь ненамного меньше нуля.
Связь между давлениями и удельными объемами в начальной (/^,\'0) и произвольной (P.v) точках любого полифонического про
цесса определяется уравнением, аналогичным уравнению (1.65),
(1-69)
Зависимости между Т и v между Т и Р в политропном процессе можно определить, исключив из уравнения (1.69) с помощью урав нения Клапейрона Ру = R T в первом случае Р и Рв, а во втором — v
и vo_В результате получим
(1-70)
(1-71)
Изменения внутренней энергии и энтальпии для идеальных га зов определяется уравнениями (1.36) для любого процесса. Исполь зуя соотношения (1.70) и (1.71), получим
Au=СТЛ |
(1-72) |
%■Ф |
|
С |
(1-73) |
Ai= ——Au=кAu. |
Работа изменения объема
В подынтегральной функции заменим давление его выражением из уравнения политропы (1.69).
Р= РвКч-я
ипроинтегрируем полученную функцию удельного объема
\л-1 ~
е |
=рм» [— =!л!« |
|
(1.74) |
р |
Г« М У. п_. |
- |
и |
|
|
С помощью уравнений (1.70) и (1.71) и уравнения Клапейрона можно получить также следующие виды выражений:
|
|
|
|
л-1 ” |
U - L ) |
|
-ГН |
я |
|
II |
|
|||
р л-1 |
т |
|
/ 7 - 1 |
1\ Ко ) |
\ |
о ) |
|
|
|
Уравнение для политропической работы
Iр
(1.75)
можно получить аналогичным путем, выразив в подынтегральной функции удельный объем v через давление Р и начальные парамет ры Р0, v0 с помощью уравнения политропы (1.69). Но возможен и
более простой путь. Продифференцируем уравнение политропы (1.64)
vdP+n0dv = 0.
Отсюда получим vdP = nPdv
Следовательно, l p=nl, т.е. умножив уравнение (1.74) и (1.75) на
показатель политропы п, получим соответствующие выражения для t
|
|
|
л-1 |
|
|
Л-1 " |
|
|
|
|
|
Л |
|
I |
|
|
_«*г. r . - i l |
|
' р ' |
|
|
1 - м |
1 - |
(1.76) |
|||
|
|
|||||
Р |
л-1 |
< v J |
/2 - 1 |
/2 - 1 |
U J |
|
|
|
-
Количество теплоты q, подводимой или отводимой в политропном процессе, находится из уравнения первого закона термодина мики q = Au + e. Подставив в это уравнение выражения (1.72) для Au и (1.75) для I и, используя уравнение Майера (1.13), после неслож ных преобразований получим
(1.77)
Теплоемкость рабочего тела при любом процессе изменения па раметров состояния определяется общим выражением
Дифференцируя уравнение (1.77) по Т, получим |
|
С = С п -к |
(1.78) |
п \ |
|
По определению у политропных процессов п = const и, следова тельно, в любой точке данного политропного процесса Сп - const.
Это свойство политропных процессов послужило основой для их второго определения (в дополнение к тому, которое приводилось выше на основе уравнения (1.64), как аппроксимирующей функции произвольного процесса), а именно: политропным называется про цесс, протекающий при постоянной теплоемкости.
Представим уравнение (1.78) в виде графика зависимости Cn=f(n)
(см. рис. 1.11). Этот график наглядно иллюстрирует все возможные значения теплоемкости Св при изменении показателя политропы п в
диапазоне ±°°.
Перейдем к определению изменения энтропии в политропном процессе. Для этой цели воспользуемся исходным выражением дифференциала энтропии и уравнением (1.78)
dS |
(1.79) |
" T dT T |
v п—1 T |
Рис. 1.11. График зависимости политропных процессов
Интегрируя, это уравнение в пределах от начальной температу ры до температуры в произвольной точке процесса, и используя со отношения (1.70) и (1.71), получим
S -S |
=С |
f.n— = C 2dL tn — = C (п-k)f.n— . |
(1.80) |
||||
0 |
v п -1 |
T v « |
P |
0 |
v |
v |
|
|
|
0 |
|
|
v |
|
|
Уравнение кривой процесса в координатах T, S т.е. T =f(S), мож но получить, решив первое из этих уравнений относительно Т,
(S -SQ )("-0 |
|
Т = Тае с>-*> |
(1.81) |
Как уже отмечалось, в частных случаях при значениях показате ля политропы п, равных ±~, 0, 1, к, (1.72)—(1.81) переходят в урав нения для соответствующих параметров изохорного, изобарного, изотермного и обратимого изоэнтропного процессов.
Применим уравнение (1.80) к реальным необратимым адиабат ным процессам расширения в турбине О-Т и сжатия в компрессоре О-К (см. рис. 1.10). При заданных отношениях температур Т/Т0 или
давлений Р/Р0 в этих процессах энтропия S -S 0 возрастает с умень
шением показателя политропы п процесса О-Т и с увеличением
показателя политропы пк процесса О-К (см. рис. 1.10) при их изме
нении в диапазонах, определяемых неравенствами (1.67) и (1.68). Рост энтропии в адиабатных процессах характеризует степень их необратимости (для обратимой адиабаты при птур=пк=к AS= S-So=0). Поэтому значения показателей политроп
ппуп и пк можно использовать в качестве количественной оценки
гидравлических потерь, определяющих необратимость процессов в турбинах и компрессорах.
К этому вопросу вернемся несколько ниже, а предварительно отметим еще одну особенность политропных процессов. Как можно убедиться из уравнений (1.72)—(1.77), отношения теплоты qn под
водимой или отводимой в политропном процессе, к изменениям внутренней энергии Au и энтальпии Ai, работе изменения объема ( и подтропической работе { зависят только от показателя полит
ропы п и н е зависят от начальных и конечных параметров состоя ния, т.е. от «протяженности» процесса. Например, из уравнений (1.73), (1.75) и (1.77) следует, что
Я„_к-п
(1.82)
I к - 1 ’
Яя _ |
п -к |
(1.83) |
|
Ai |
к(п —1) |
||
|
Отношения бесконечно малых изменений этих величин, очевид но, будут такими же, т.е.
dqn к -п
(1.82')
~dï~ *-1
Из уравнения (1.82) следует, что на любом элементарном участке политропного процесса с заданным показателем полтропы п одина ково соотношение между двумя видами энергетического воздействия на рабочее тело — в форме теплоты dqn и в форме работы dt. Это
свойство политропных процессов иногда принимается в качестве их исходного определения.
Обратимся теперь к уравнению (1.83).
Теплота qn в общем случае равна сумме а =а +1 . В адиа батных процессах а__= 0, и поэтому в необратимых адиабатных
процессах расширения в Турине 0-Т и сжатия в компрессоре 0-К (см. рис. 1.10) имеем соответственно qH= ^mfT и q. =t mpJC- Другими
словам, теплота, подводимая рабочему телу в адиабатных процес сах, эквивалентна работе гидравлических потерь в указанных тур