книги / Точность обработки и режимы резания
..pdf
|
/ |
Jу&\ f" Q>y |
|
|
|
|
v c |
o s |
(*,< + « ,) _ |
||
|
|
||||
|
/> Jу |
”f"~O'у |
COS (^21 “t” do) “f" |
Sin (tit. |
|
- I / |
2~ |
||||
Jyk2 |
4- az |
|
|
|
|
Произвольные постоянные интегрирования A u В и аи а2, В2
определяются по начальным условиям.
Частоты k\ и k2 собственных колебаний системы определят
ся по формулам: |
|
|||
k = |
J__ 1/ а Л- Ь л |
а — А |
||
J y У |
2 |
* ^2 |
—~ |
|
где |
|
|
|
|
а —У?и>2—Уу (а, + аг)> 0; |
||||
b = |
}/"[Уд-<»2 — Уу (fly + |
fl*)]2— 4УуАуДг ^ 0; |
||
йу — PI |
Jyl^lzi |
&г = PI |
УУг/з- |
|
Амплитуды вынужденных колебаний Аг и В2 имеют вид: |
||||
А |
|
Л ' Л |
[(Л- + -/у) °>г + P i + J z h h 1 |
|
2~ |
J l ^ - U y ^ |
+ Pl + J y i ^ i J y ^ + Pi + Jzhh) ’ |
||
^ = |
|
|
у ИУж + У»)** + / >Н-Ууу |] |
|
2 |
/*«» + (Ууо)’ + РМ- /у у 3) (Уу«* + ЯМ- /УУ.) |
|||
Согласно полученным фор мулам, следует, что с увеличе нием угловой скорости со уменьшаются у и z, а следова
тельно, колебания шпинделя и сверла. От этого будут умень шаться погрешности обработ ки.
Проведенные на вертикаль но-сверлильном станке 2А135 эксперименты по определению разбивки отверстий в зависи мости от угловой скорости вращения сверла подтвердили полученные теоретические ре зультаты. Из графика зависи мости разбивки отверстий при сверлении от частоты враще ния и подачи сверла (рис. 51) видно, что разбивка отверстий увеличивается с увеличением
Ар, мм
кривые |
1 — 3 — у |
входа |
в |
отверстие; |
кри |
||
вые |
1' |
— 3' — у выхода из отверстия; s = |
|||||
= |
0,13 |
мм/о£>_ (2, |
2') |
и |
J = 0,17 |
мм/об |
|
(3 |
и |
3') |
|
|
|
|
|
Рис» 52. Положение^шпинделя шлифовального станка
подачи и уменьшается с увеличением частоты вращения. Кроме того, с увеличением глубины сверления разбивка уменьшается (наблюдается конусность отверстия). Это обусловлено увеличе нием трения между материалом и задней поверхностью сверла.
5. ШЛИФОВАНИЕ
Условия контакта между шлифовальным кругом и обрабатывае мой деталью имеют решающее значение на качество обработки. Микро- и макронеровности при шлифовании зависят от качества и количества абразивных зерен, размера, формы и распределе ния режущих кромок, их физико-химических свойств от кинема тических и кинетических соотношений движений шлифовального круга и детали. Особенно недостаточно исследованы кинемати ческие и динамические явления, связанные с прецессионным дви жением шлифовального круга и гироскопическим эффектом.
Влияние гироскопических сил на вынужденные колебания шпинделя при его неуравновешенности. Рассмотрим вращение
Рис. 53. Схема сил, действующих |
на шпиндель (а), смещение ' шпинделя по оси г |
{б), смещение шпинделя по оси у |
(в): |
Ryx= с\Уй Rzt = |
*У1 = с1Уъ\ Rzi = |
шпинделя шлифовального станка под воздействием статической и динамической неуравновешенности (рис. 52 и 53). Если центр тяжести шпинделя отстоит от геометрической оси вращения на расстоянии с, главная ось инерции образует с этой осью угол б, вектор А " 0 и ось т) образуют угол £, плоскость, в которой ле жит угол б и плоскость ху, образуют угол (со/ — £). Используя,
как и при точении, теоремы о моменте количества движения и о движении центра инерции системы, напишем дифференциальные уравнения движения шпинделя при статической и динамической неуравновешенности в следующем виде:
М у " + |
сгу г + с2у2 = |
Ме®1 cos о>^; |
|
M z " + |
c1z l + |
c2z 2 = |
М е ^ \ sin |
А (о^2 |
В 4 2 + |
c\z \h |
— (Л + В) sin |
Awtfz — Вф2 — С\У\1 ~r Co.y^'i===: — (А -{- В) Вше cos о)^ — в;
р = |
— (32 — 8cos (i>£< — |
у с = |
~ у ~ е cos а>^; |
|
у = |
у2 + Ьsin |
— S; |
z c = |
z е sinco^; |
у , = - ) > , 7 - + уг т - ; |
|
|
||
|
^7 |
Л |
|
|
|
— ^1 Т - + 22— |
|
|
|
|
tfl |
|
|
|
\
(224)
I
(225)
(226)
Используя указанные выше равенства и систему уравнений (226), получим систему линейных неоднородных дифференциаль ных уравнений малых колебаний шпинделя
М (11У2 — l7yZ) + c\hV\ + с21аУ>2 = M elrfcos
М |
(l xZ2 — / 7^1) + cxl &z x + c2l 6z 2 = |
sin ш(t\ |
|
|
А щ { у 2 — у!) + В {zl — z\) + |
cxz xl xl6 + |
c2z 2l1l 6 = |
^ 27) |
|
= |
(A + B) So)f/6 cos (0>ft — e); |
|
|
|
|
(z% — Z\) — В (y2 — У1 ) |
С\У\1\1& “b с2У2^7^6 = |
|
|
= |
— (A -f- В) bo>ll6cos (mit — e). |
|
|
|
Правые части уравнений представляют возмущающие факто ры, вызванные статической и динамической неуравновешенно стью. Решение этих уравнений складывается из общего решения системы без правой части и частного решения, определяющего вынужденные колебания шпинделя. Частное решение имеет вид:
у, = |
а хcos |
+ |
Ьхsin u>^; |
|
JZJ = |
а 2sin u>E£j-f- ^2cos U)^ ; . |
(228) |
||
y2= |
a 3^cos шit |
-J- 63 sin о>Л; |
|
|
z 2 — |
a 4sin |
+ |
b4:coshit. |
|
Подставляя уравнения (228) в формулу (227) и приравнй вая сумму всех членов, содержащих сомножители cosa>^ и sin получим две системы алгебраических уравнений:
Ж(о| (l7a x — l xa z) + c xl 6a x + c2l 6a a= |
M e l6<s>\\ |
|
||||||||||||||
М щ (17а 2 — l xa 4) + |
cxl6a 2 + |
c2l6a 4 = |
Ме16и$ |
|
||||||||||||
|
Ло)$ (а3 |
|
) |
Вщ (#4] |
(1^) 4~ |
|
”Ь |
(229) |
||||||||
“f" с2171§й4= |
(Л 4~ В) 8u)^/6 cos s; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Ло)£ (#4 — # 2) + Bw$ (а3 — (2j)- |
CXIXI§CLXj |
|
|
|
||||||||||||
—W i k a * = |
— ( A + J£)-8O$ 6 cos 6. |
|
|
|
|
|||||||||||
44a>£ {l7bx — l\b3) + |
c1l Qbl -j- c2l6b3 = |
0; |
|
|
|
|||||||||||
44(D£ ( / 7 ^ 2 — |
/i& 4) “H C \ l § |
b 2 + |
^ 6 ^ 4 = |
|
|
|
|
|||||||||
Ли>£ (b3 — bx) — |
(b4 — 62) + cxl xlbb2 4- |
|
|
(230) |
||||||||||||
4~ c2l7l3b4 = |
— (Л -j- B) 8o)^/6 sin e; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(64 — b2) — 5(0^ (63 — bx) + |
c1l 1l6bl + |
|
|
|
||||||||||
4~ c2l7l6b3 = |
(A + |
B) 8o)^/6 sin s. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Из уравнений (229) и (230) при условии |
|
||||||||||||||
/1 (ш) = |
[(Л + ^ ) Ш1 + |
^2^б] ( ^ 7 + Cj/g) + |
|
|||||||||||||
+ |
[(^ —- Л) о>$ 4- |
|
|
(44о)£/1 — с616) Ф 0 |
|
|
|
|||||||||
и |
равенств ах = |
а2; |
|
аз = сц\ |
Ь\ = —Ъ2\ |
|
&з = —&4 находим по |
|||||||||
стоянные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ai = |
Д М |
|
(— уИ£/6<1)^[(Л + |
В) l»lc2l7l6] + |
|
|
|
|||||||||
-j- |
( |
4 |
4 |
|
— ^2^2) (Л 4“ В ) 0(D^/g cos s } |
| |
|
|
(231) |
|||||||
а 3 |
|
|
/ |
2со |
|
f— 44£/6ш|[(Д 4- В) (1^ — ^7^б] "Ь |
|
|||||||||
4“ ( |
4 |
4 |
— с2/2) (Л 4~ |
|
8o)^/g cos бJ. |
|
|
|
(232) |
|||||||
h |
= |
/2 («) |
(44о |
— |
^ 1 ^б) |
(Л |
4 " |
8a>^/6 sin |
б |
; |
(233) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ьз~ |
/ль») (44(D^/7 4" ^1^б) (Л 4" |
8o)^e sin б, |
(234) |
|||||||||||||
где |
/ |
2(ш) = — [(А + |
В) ч>\ — c2l7lg\ (М о>5/7 + ^1^б) + |
|
||||||||||||
+ |
[(А + |
В) CBJ + cxl xl6] {Мщ1\ — с^е) Ф 0- |
|
|
||||||||||||
|
Подставляя значения у х, у% z x, z2 в уравнения (224) |
и (225) |
||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
94
Р ^ / 2 ( с о ) ^АЛе1$ ( ^ 1 ^ 1 + 2^ 7^) C 0 S ^ + [ A f u ) 2--- ( // уj ) +
-{• Сj /g -\- £5^2] (-Д Ч" В) |
COS 8 • COS <fl£ t |
-)- [2W1)| (/у — /j) -)- |
||||||||||
+ |
СА + |
с2^](-^ + |
|
8o>|sin e-sinco^} — ficos(©^ — е); |
||||||||
7 = T ^ j- { ~ M e l 6со* (CJZJ + |
c2/7) sin co5t + |
[Mw\ + |
(/, - /,) + |
|||||||||
+ |
+ |
с 2 ^ б К ^ + |
5 |
) S CD| |
C O S e - s i n c o ^ |
— |
[V W u)|(/7 — |
/ , ) + |
||||
+ |
ci h + |
с2^б] (-Л + |
5)Sco|sin e-cos <Ds*} + |
8 sin (u>y — e). |
||||||||
|
При |
6 = |
0 динамическая |
неуравновешенность отсутствует: |
||||||||
0 |
0 |
|
Mel,u>^(cjlt+ |
cs/,)cos <ое < |
|
|
|
|
||||
Р _ Р 2 _ |
[(Л + В)<о2-с4/,/.](Ж<о2/7 + су,) |
+ |
"*■ |
|
||||||||
~* + [(А + В) •* + суув] (М»% I г - с г1,) ’ |
|
|
|
|
||||||||
7 |
|
|
M e l ^ ( c i l i |
+ |
c2Z7) sin о)^ |
|
|
|
|
|||
” Т 2_ [(Л + |
В) <о£2 - |
<у,/~] (М<о2 /, + с,/,) + |
"*■ |
|
||||||||
|
+ [(Л + Б)<о| Н- Cj/i/gj (^М<ь^1х— с2/в) ’ |
|
|
|
(235) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = - ^ M ^ + ~ M 2R \-, |
|
|
|
|
|
|
||||||
В = М 1 |
( 4 |
+ 4 ) |
|
+ ^ 2 |
|
4 |
~1“ |
31в |
|
|
||
|
На основании |
уравнений (228), (234) и (235) заключаем, |
||||||||||
что вынужденные |
колебания |
шпинделя, |
вызванные статической |
|||||||||
и динамической неуравновешенностью, представляют прямую прецессию с угловой скоростью озх, равной скорости шпинделя о>£ [2]. Ось шпинделя описывает круговой конус, вращаясь
в том же направлении, что и шпиндель.
Гироскопические явления при шлифовании, возникающие от воздействия силы тяжести и ударного импульса, сил инерции и их моментов. Движение шпинделя шлифовального станка мо жет быть разложено на поступательное (переносное) движение вместе с полюсом и на вращательное (относительное) движение по отношению к этому полюсу.
Рассматривая шпиндель шлифовального станка на двух уп ругих опорах А и В с коэффициентом жесткости левой опоры в направлении оси у — с\у, в направлении оси z — ciz и соответ
ственно для правой опоры с2у и c2z, находим отношение: для плоскости хг
Iв ^8 |
llC2Z |
1% |
(ll + ^в) ciz |
Рис. 54. Схема действия |
сил в плоскости |
Рис. 55. Схема прецессионного дви |
||
xz при прецессионном движении шпинде |
жения горизонтально расположенно |
|||
ля; р — возмущающая сила в плоскости |
го шпинделя под действием силы тя |
|||
x z, RZi — сила |
реакции |
опоры |
А в пло |
жести |
скости x z t сила |
реакции |
Rz<i |
в плоско |
|
сти х z |
|
|
|
|
для плоскости ху |
|
||
h -- U _ |
^7 С2У |
(237) |
|
1ъ |
(^7 4~ ^в) С \ у |
||
|
|||
Из |
уравнений (236) и (237) при с\у = clz и с2у = с2г следует, |
||
что шпиндель шлифовального станка можно рассматривать как гироскоп, вращающийся вокруг полюса (рис. 54). Вследствие имеющейся неуравновешенности вращающихся масс и появле ния центробежных сил и их моментов появится прецессионное перемещение оси шпинделя из относительно неподвижной точки 0 3. Положим, что в начальный момент времени ось шпинделя
поставлена горизонтально |
(рис. 55), угол-^-— в остается ма |
|||||
лым, ООс = |
h + |
k = |
h- |
|
|
|
|
Моменты внешних сил относительно осей х , у, г\ |
|||||
2 |
m x(Fl) = |
0; |
2 |
rny {Fek) = |
P l z smO-, |
|
k = |
\ |
|
k=l |
|
|
|
% т г (Г ек) = 0; |
|
|
|
|
||
k = |
\ |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
m\ = теу = 2 |
m y (F l) = F I 3sin 9; |
|||||
|
ft=i |
|
|
|
|
|
m \ — “ lz sin ® [^ £“ 5 + ( J l |
^ Wi^COS 0], |
|||||
ИЛИ (J 5~ J e) (0?, COS 0 - f- y t O)£(i)Iz — P l 3 = 0, |
||||||
откуда o>l2= |
— Л |
0>f ± |
J 2M2 |
4 (У / ) Р1г COS 0 |
||
-----------------2 (7,- У 8) cos 0----------------- |
||||||
|
Регулярная прецессия возможна при условии |
|||||
J \ «о* + 4 (Уе - |
/ е) P lz cos 0 > |
0. |
|
|||
При вращении шпинделя с большой угловой скоростью по лучим:
(D® = |
|
|
А“ 5 |
|
(239) |
|
|
(Уе —/ 8 cos 6) • |
|
||
|
|
|
|
|
|
При вертикальном расположении |
шпинделя 0 |
0. Тогда |
|||
формулы (239) примут вид |
|
|
|||
а |
Р1, |
о» |
|
|
(240) |
(!)!*=• |
A “5 |
А — Уе |
|
||
В |
1 г ~ |
описываемой |
концом оси |
||
этом |
случае |
вид траектории, |
|||
шпинделя, зависит от начальных условий. Если ось шпинделя выведена из вертикального положения ударом, то, как видно из формулы (240), движение конца оси под воздействием силы тя жести складывается из двух прецессионных вращений. Угловая
скорость первой прецессии о>?г очень пала и с увеличением уг ловой скорости собственного вращения шпинделя <oj уменьша ется, а угловая скорость второй прецессии ©J с увеличением
увеличивается.
Гироскопические моменты при незначительных углах откло нения шпинделя будут небольшими:
тьй = — и>5а)*г sin 9.
Устойчивость шпинделя в вертикальном направлении под воз действием гироскопических моментов возрастает с увеличением угловой скорости собственного вращения шпинделя. Для гори
зонтально |
установленного |
шпинделя |
при б = -у - |
«быстрая» |
|
регулярная прецессия невозможна, так как при этом |
ши= "-л - |
||||
При 0 = |
-?- |
угловая |
скорость |
регулярной |
прецессии. |
J |
а гироскопический момент |
т° — — J ( lz * |
|||
|
|
|
|
|
|
Исследуя движение быстровращающегося горизонтально расположенного шпинделя под действием силы тяжести, нахо дим уравнения, определяющие положение его оси:
(241)
где
\
п г и
7—1756
