книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

и преобразованные смещения

ид, wg

является комплексными функциями

от координаты

z.

Подставляя (3.54), (3.55) в уравнения (3.53), для ид,их поду­

чаем систему

обыкновенных уравнений

0

(О)dzu0

(o)du„

-(А({° У + р р г)и0]+

[А55 dzZ -Z lkA

15 d z

(3.56)

в котором степени г могут принимать

значения от единицы

до четы­

рех, причем при нечетных степенях г

коэффициенты

чисто

мнимые.

Общие решения уравнений (3.56),

(3.57)

уже не

выраааютоя про­

сто через гиперболические оикусы и косинусы,

а косят более

сложный

характер. В то же время корни уравнения (3.59), а

вернее,

их алгеб­

—

д2Ф

+ « 0 К ( П ' ,

С3.60)

Н ( А Ф ) = / > - М Г

М (Л ¥ )= />

д 2 У

—

- j g r

; с/Стг Y - 0 ,

(3.61)

где

О

л2

д 2

дг

;

N = L+2M ; K=L + f M

* зависимости ^^удовлетворяют соотношениям

6 jj = L ( 6 ) + 2М

°<о F ( Т )

!

(3.62)

В соответствии о теорией

термовяэкоупругости

(свАэная теория),

налаженной в гл. I ,

длд температуры

Т имеем уравнение

/ дт

/

д*т

à T - - i r w ~ - с Г

^

t o

~9i

+

'

^22 ~ £ ( X >ÿ >Z ) • Sÿ 2 * F p ( & t

* Z )

(3.64)

Neo = { ( * * *

f )

[_N0(k*+ %*) +(jope+ -%ï No+ ~ îf No

~

~ ~з~**o Po 1^0M 0)J+ j > p

* ( - <X0 P0 AT0 ) J

Здесь N0 ,P0 , К0 ,M0- преобразованные по Лапласу

операторы

N, P, K,M .

Общее решение уравнения (3.69)

Ф0 -А( ch(<xfz)+A£ sh(<*fz)+I)f ch(<x£z')+Z)2 $h(c<£ z ) ,

(3.70)

где <xf l ot>£ - корни уравнения

Ао <*Р- N10 <xe + N£0= О

,

(3 ,7 I)

при атоы

г

г

N g

txf+ сх.%

N,о

< * / « / “

No

No

т.е. комбинации */о</ и * / * < * /

обратимы по Фурье и Лапласу»и толь­

ко через них будут выражаться встречающиеся

нике соотнесения,а для

Тф подучим

*

J

о

*"*

S r „ * * P (p i) dp ,

о

I

% «JTinkle}dk I-M*Ÿÿ )dï /Y*°е*Р(РЬ)dP >

0

0

t

c o s k æ

l Y » e * p ( p i ) d p

' l i n k * Y k

для

yÇ0 не

(3.61)

имеем общие решения

%

- Bfg oh (jb z )+ B ,t sh ( jb z ) ) Jb*=f> p*M o + ( k*+ ? * )

)

%0 - &22

( / * * )

+ B21 s fl ( f i Z )

>

<3*73)

Щ / + (£ В у + fiB 3 f = 0 f / * f ,2

(3.74)

Преобразованные по Фурье и Лапяасу перемещения

и 0-кФ0

~Ч%0 >УЬШ

fa° + к У90;

n

, - - ^ * î Y , 0 - k Y K

(3.75)

Аналогично для преобразованных напряжений выводим

* S J ■ Ц [ ф

к ^ * р < 1 Г м 2 -

-< *b(3Lo + 2М о)То }

- к

^ " * * ( 3 L ° *

2М ° * Т° 1

(3.76)

б £ *= М 0 1 . Щ Ф о + к

- ^ ~ î - ~ i ~ + ( k z- ( l z) У30 ]

;

* /7*0 1

m10

* К Ь « '- *

'

)

т<»+ «■'o'0') J *

' гСу»/л- (

^ ж ^

<»](*«- Ч)> p É ? »

* 4 & 4 S 3 - ( ^ f ) f i t " - ^ ^ g p j y

,

r° ' « r J k z . 5 i £ { 0 . W - / e ^ - (*''«') C

’, *

~f^- ал’ 1Гт _ л л _ ■»<л) л <?<?

ЯР

d*v

9 W J г гп

* ~

( Tn + i ï )Qn')] “ - Ц л)- (T n + W Q n)\дзсду.

•f9 х '}(2п)/}

* = L ( A /< )+ A )'{-M ',lTn -âQ n - ^ ' ]

-

п=о

1

1

*

■ £ » < ? * w iTn

V -

-Г-д(П)

ч ] / _ ^

f

.

LA* - ( ' n + Af

Ч п'-^ дхду

д у >

ап )\ ’

- M& V Q n ~A'\QnH~Tn ï+ A z)Qn X - ^ -

* Щ : + ^ } ( § T ô 7

где 6?„,^ через

и

выражаются так же,

как

и в $ £

настоящей

главы в соответствии о табл. I и 2, a

U ,V ,W ,Q

- главные части

перемещений и, гг, ьх

й

тешературы Т,при этом U, V можно

выразить

через плоские потенциалы:

1Г=

9у

д У

,/

д у

д у

(3.82)

дсо

в *

> к =

~Щ----- ш

Операторы

ls>N"(

d t 2 -) - û f i A

д*

9*

ДГ =

- д х *

* ч *

1^)_ г h .rtf à2

. -,п

,

л*

- Суэ/и

( - ^ г )

J

;

(3.83)

11

'J

ât?+ ct

dt +с* d*z

з * ° н к м N ) ;

- A { - A U J >n -’

. j _

J _

c i

d t

Дая определения Указанных главных частей

Пневы граничные

условия

(3.64) и одно иа условий (З.бб) - (3.67). Из (3.64) и, например.

(3.66), для величин UO tV0t W0 , 0 о

получаем систему

алгебраи­

ческих уравнений

„?0Ь ^

k/**fr** 1*)-о**+ь*+ ?)( т£0)+ « е а п0)( )1

+

+ ( ^

+ % V o)l2 « ij b Zn- ( fi* + k z+ f) ( T < ? ) + * г Q(n0)) l

-

- Wo l2(k‘+

;