книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfZ { № / « / Q$-(k*+f)Q$2+oi*(k*+9*)QbH-'*to<î* î Q(n0)3 +
nsOK |
|
|
|
* M f0(kCf0 + C[V0-Wo) [/*/«*1 Qn+t |
®n+2 |
|
|
-****?<**Q^+^Qntt^} (Zntl)! = ^otio t |
|
||
причем <^ио - kVa определяется из |
третьего уравнения (3.84) |
неза |
|
висимо от других величин. Остальные |
величины kU 0+qy0,\M0f i 0 |
можно |
|
вычислить из оставшихся трех уравнений и вывести соответствущие раз
решавшие уравнения для потенциала ? , |
главной части |
смешения |
иг |
|||||
и тешературы Г |
или три уравнения» два из которых |
давт |
завися» |
|||||
ыость кио+ ([У0 |
и W0 от главной части тешературы Qo и зависимость |
|||||||
тешературы Q0 от kU 0+<lVo |
и W0 . Зависимости второго типа выво |
|||||||
дятся более просто» что дает ращрешапцие уравнения для |
потенциала |
|||||||
Ÿ t |
главной части смещения V f |
и тешературы |
Q. : |
|
|
|
||
fisО |
П1sО |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 Д 1 ( № л ) ( Т п+лТС1п')+2*гп)д |
] й |
~ |
П*т)Н, |
= |
||||
* (Zri)!(Zm+1)!
I» f |
•■Л« ’û'">Л?nЧ л ? ,•- 4 m> * |
' |
>r, f Q m |
j2rïjT (z?^ jK < = |
lot
|
|
|
|
hzmt |
|
|
|
|
|
|
|
(Zn-Н)! +■ |
|
||
|
|
|
fyxz |
. |
y |
h * n |
, |
п*о |
|
â x |
dy. |
' |
(2 n )! |
' |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
h * " * |
|
|
|
|
(3.85) |
|
f |
|
* x z . |
|
|
|
||
л<n+n A V (2n+1)\ ■ " " ( % - |
dy |
>> |
|
|
|
||
Z |
( S p + A f p f Q n H ^ |
Qn v - ^ Л Qn„-AŸbff Qn ] Q + |
|
||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ M fC*(f z Qn -n ~ rf^ m -z |
* (?2®п + |
Qn+t |
* |
|
|
||
ih^ nH
*( â ^ W )J ( ï i ï r ô T
Уравнения (3.85) являются точными уравнениями продольного коле бания вязкоупругой пластинки с учетом температуры (связная теория)» из которых можно получить приближенные уравнения колебания с любой степенью точности по порядку частных производных и для более прос тых моделей термоупругости» в частности без учета связности» конеч
ности |
скорости распространения температуры» вязкости материала плас |
|
тинки |
и т.д. |
|
По известным зависимостям (3.61) и (3.62) нетрудно |
выразить |
|
величины напряжений через главные части перемещений я |
температуры. |
|
|
Если в (3.85) ограничиться первыми слагаемыми и считать мате |
|
риал пластинки упругим, то найдем приближенные уравнения,близкие к классическим:
/ |
d*<f |
- 4 |
а * - ь г |
Д ? + 2М~/С1= |
а г -2Ьг |
|
Ьг |
d it |
tz |
||||
1 |
д * у |
|
|
|
|
|
Ьг |
~dti |
~ |
A Y = 0 |
; f x z - f y z |
- О > |
|
|
|
|
|
|
|
(3.86) |
1 d 2W
b2 d t f
~ p N P (Ду> + \Л0 - j f i ( * > y , t ) ■
} 7. Уравнения поперечного колебания
|
термовязкоупругой пластинки |
|
|
|||
Поперечные, иди асимметричные, колебания пластинки |
возникают |
|||||
в случае, |
если внешние усилия и тепловой |
режим удовлетворяют уело- |
||||
F * |
— Fz ~ f z \ |
FX Z ~ FX Z “ / x z |
» |
FjfZ ~ Fy z |
“ f y z |
• |
атом равны кулю постоянные переменные |
|
D1= 5/f= B21 - B3f = О. |
||||
Для преобразованных перемещений |
и0 9 \Х0 9 их0 |
и |
температу ры |
|||
7^ имеем |
разложения в |
виде степенных рядов no z: |
|
|
||
|
|
|
|
in*ia т -z2л+/ |
||
|
л=о |
|
|
|
(2n+1)\ ' |
|
r2/r+f
2/»+frk ^ ^ 2/?4f
Как и ранее, введем главные части величин
U0—k(cC1 A^+O C z ~ |
%^3z)* |
V0 =q,(oct А г + |
)+fi(P®/2+ *®з2 ) * |
(3.88) |
Q 0 = û ) toc1A z + <»г <х-г Р г » |
^ o = o C f A z + o C г Р г * Я & 1 г ~ Ь В г г , |
|
откуда подучаем
B ^ c c ^ C c o ^ ) ( f - k z-<f)(V0-<iW0)A l ;
B22=- fi* f<*г(Ч -Ч Х/*г- к г- 4 гХ Ц - Щ )/й ; Взг~ Л1 л г (®г~ ш,)(fi Z~kz- q z)(^Цг^Ю ^о •
Чдава 4 в = /Э«,*20 в г- Ar2- < f f M 10( « i - c c f ) . |
|
|
Черва главные част* |
(J0 f V0 , W0 , Qe |
ведншош |
|
|
|
U° ~ £ o b f g |
V - ? 2)-*’X°'L**k*Q ?h |
|
v
* ( f i * - k * - f j № n( ? - к гУ я гг (0)_л гя гцС0)^_
иг и0
(3.89)
u r - y - { Q(0), |
ки° + ЯУр |
гп (0) |
g fp) |
^ ~ £ И д гя V |
- * 2-?2/^ |
п |
* Qn}~ |
+(И |
щ + ч ч п е ц , . |
. J . , . 2 |
. , 1С№,} Z!“ < |
|||||
М’° (f-lf-fl) |
|
>1г~ |
>в" I(2ntl){ ' |
|||||
Обращая |
выражения |
(3.69) |
по |
к , Я, р , |
для перемещений и , гг, их и |
|||
температуры Г |
выводим формулы |
|
|
|
|
|||
- |
£ |
К |
с |
^ ^ |
с |
* ? |
К ^ |
№ + |
* ^ £ |
г Ы |
и< *?*Ь )~ 'щ Ы ?-т»-*(Х |
>V - |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
,2п+1 |
|
- ^ ^ r t 4 4 - « 5 4 © j & (,,.
^ i { < 4 . Q - ( x f ^ n ^ T ^ X ) ( f - + | 9 +
4 ^ Ü )"[A ' " ^ * 4 ’^ „ * A ‘, 4 ) ] W } ( 1 ^ 7 ;
r=z{ce„,,-A("eje-M/Af^)-4A!^A®A^AfV
Эак.689 |
105 |
X |
âV |
2r2n+1 |
|
+ я - V ] } |
у |
||
|
д Ч |
(2n+D\ |
|
|
|
|
|
где Tn9 Qn вычисляются, |
как и в предыдущем параграфе. |
||
Для определения главных частей U, V, W, Q |
перемещений и тем |
||
пературы имеем граничные условия (3.64) и одно из условий (3.65) -
(3.67). |
Из (3.64) и, например, (3.66) для преобразованных |
величин |
главных |
частей UQ, V0 , W0 , Q0 имеем систему алгебраических урав |
|
нений |
|
|
*(ТП(0,+ « Ч 0))У rf i - k l ÿ ) & гп( ь Ч г)-
1 r £ f t V ) # »,6 |
/Щ + Я Ю |
г) 1 л |
п-01 м 10 Ып Ы° |
( f - k 2- q z) iifi |
Я >Р |
(3.91)
|
|
|
|
h гп |
|
-ь ДО) , |
,(0)\ |
|
|
|
|
|
\ гп )! -/Ч> (y fx z ~ fyyz') ; |
|
|||
|
со |
|
|
|
|
(kU0+qV0 -fi2W0) и |
|
|
|
Z |
|
|
20 |
+ |
(/i2- k 2-q *) |
X |
|
|
|
|
|
10 |
|
|||
|
x ( a f - u i ) ( ^ |
- u 2)Q C°)^ j ^ j T= f } 0)( k ,q ,p ) . |
|
|||||
|
Находя |
из |
системы |
(3.91) |
величины (kU0 +q, VQ) |
|
||
или |
соответствующие им плоские |
потенциалы у, у, определяемые по |
фор |
|||||
муле |
(3.82), |
и |
величины |
W0 и |
Q0 и обращая полученные выражения |
по |
||
к 9 ^ , р для |
у, </>, W9 Q , |
записываем интегродифференциадьные урав |
||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
со |
ф т)] А р - |
г |
z: |
|
П-0 т -0 |
|
|
-Л [Я^ (Я(г1)-й f+2Xl?C%f-à)(Qm Тп -QnTm) +
Л /.2(п+т)+1
(2n + 1 )K 2 m )i
ОО |
|
+Z. |
|
п |
ду /(2п+1)! |
СО |
оо |
z |
z: {[д Г ( Я^-Д)?ГV Х(% ) + 4-{ пг *°Д (Тт+х(\ )] W- |
П=0 т=0
- [2 Д ( ï ? - à X Q mTn ~QnTm ) - 4 A x l^ Q m -
|
|
,2л |
|
|
=|Ь /И"^(4,)-4 )Л?,+2Л(ТП+ ^ Ч ) ] / ;z (2 л)! |
|
|
||
со |
1»п \-\(àfxz . |
Л |
2Я+Г |
. |
|
||||
л=0 |
'Г2Я№+0- а (,,- Л ) ( ' Г + ^ % п / % 2 , |
|
||
1 2 с * Х п Af |
^ / С 2 ^ Й ) Т ’ |
|||
(3 .9 2 )
ОО
z:
| [ ^ л , г - Л ) < ? - ( Я ^ ) - УИ,(?л ( я 2 - я 7 ,Я ^ + Л ^ ^ л;
(йи_±!Ш-4. |
- х г |
\дх ду Я2 ^|](2л)/ Ъ ( х *Уг t)>
которые являются точными уравнениями поперечного колебания пластин ки из вязкоупругого материала с учетом тешературы для главных час-
тей перемещений и, V, Ш и тешературы Т |
|
Из (3.92) можно подучить различные приближенные уравнения |
ко |
лебания. Например» для упругой пластинки в первом приближении |
иэ |
(3.92) находим |
|
|
|
|
|
|
|
(3.93) |
|
|
|
х ^ + Я г2% ) } =/,(*,у, |
|
|
|
Иэ |
(3,93) |
при |
выводим приближенные уравнения |
в случае |
несвяз |
|
ной |
теории |
термоупругости» а при осо= 0 - приближенные уравнения по |
||||
перечного |
колебания пластинки без учета температуры. |
|
||||
|
Выражения для напряжений 6Cj. нетрудно подучить |
иэ (3.62)» |
под- |
|||
отавляя в них |
форцулы |
(3.90) для перемещений и, t/f иг. |
|
|||
|
|
5 8.. Теория |
к |
|
|
|
|
|
|
лежащей на |
|
|
|
|
Большой прикладной интерес представляют задачи |
о колебании |
||||
пластин» лежащих на деформируемом основании. Эти задачи возникают при исследовании колебания плит и фундаментов строительных конструк ций при воздействии импульсивных нагрузок» при изучении собственных
колебаний плит» в сейсмологии» геофизике. Основной вопрос |
состоит |
в построении теории колебания пластин с учетом основания» |
в частнос |
ти в более правильном описании закона отпора основания на колебание пластинки иди закона реакции основания.
При рассмотрении данной задачи будем предполагать» что матери-
ад пдастинки и основания однороден» изотропен и в общем случае про являет вязкие свойства.
Движение пдастинки и основания описывается уравнениями в по тенциалах
|
|
|
|
д гФ, |
|
|
|
(3.94) |
|
|
|
|
|
д г 2 ’ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при |
-h < z< |
h (пластинка) |
и |
|
|
|
|
||
|
|
— |
д гФ |
\ |
|
- |
д г Ф |
|
|
|
|
|
|
|
Mg{âVz ) =Pz—g ^ r |
(3.95) |
|||
при |
z <-/? |
(основание)» |
в этом случае |
векторные потенциалы удов |
|||||
летворяют условиям |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dlv Y j= 0 \ |
У = 1,2 . |
(3.96) |
|||
|
Зависимости между б ~ £ имеют |
вид |
|
|
|||||
|
|
бр'в^се^ъ+гмт(%); |
т-1,2 ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t*Ji iJ=x,y,Z, |
(3.97) |
||
|
|
3/" - |
' |
» |
|
|
|||
где |
Lm = Nm -2 M m . |
Внешние усилия при z=A приводят к граничным |
|||||||
уоловиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eïz= fz(*> ¥>t)i |
ли |
|
j = x ,y , |
(3.98) |
|||
|
|
|
|
||||||
• ори z = - h |
ш а в ы одно из двух усховий |
контакта: |
|
||||||
|
|
«4sUi i |
6iz = 6« ; |
б £ ° = 0 ; |
j = x ,y . m = f , 2 |
(3.99) |
|||
* уоловие отсутствия трения иди |
|
|
|
||||||
|
|
4 = 4 - , |
4 |
z ^ |
i }-, |
|
= <$■?; у = * , у |
(3.100) |
|
- Условие жесткого контакта. Начальные условия нулевые.
Как и в предыдущих задачах» внешние усилия положим равными
О О ” I
109
О О г* I
О |
0 * * 1 |
а потенциалы Фти Чт будем искать в виде
о |
0 |
>7 |
I |
о |
О |
” |
I |
|
|
|
(3.I0I) |
Ц |
2 ? *}4 |
- 7 / W ^ ^ |
|
r^ |
7A l W |
7n% W |
*%**»<№ ■ |
ОО ** I
Преобразованные потенциалы Фт0, ф$0 удовлетворяет уравнениям
^£Г"«т%,о=0‘> ^ - ^ т й = 0 , j=i,2,3, (3.102)
где
>аг- * £ - * г - к г+ аг- ^ ' г
УЯ а/ » Рт~К +Я и
"то тт0
Общие решения уравнений (3.102) имеют вид
<Pt0=A1ch (a 1z)+Az sh (u t z ) ;
</>(tg=Bfsh(fifz) +Вг ch(/3tz) ;
Цsb(j9,z)+Сг ch (fif z) ;
НО