книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfОднако вместо этих величин можно взять другие. В качестве та ких будем брать смещения точек нижней поверхности» т.е. при
При этом О $ z ^ hQ; - оо < (ос, у ) < о о . Задачи данного класса воз никают» например» при исследовании колебания пластинки эксперимен тальным методом динамической фотоупругости» позволяющим на модели замерять поперечные смещения точек нижней поверхности пдастжнки.Для указанной задачи граничные условия возьмем в виде
У» |
z h0; |
(2.73) |
|
|
(2.74) |
Начальные условия нулевые. |
|
и0 » xr0f ит09 |
Для преобразованных по Фурье и Лапласу перемещений |
||
как и в предыдущих параграфах» |
получаем |
|
+
(2.75)
при этом величины By связаны зависимостью к Ву+ $ |
О; J = f , 2 , |
Введем главные части выражений (2.75):
U0- k A 1
Vo |
+(fi^ ii+ ^&31 ) > |
W0=a*A14 qBi r kBv y,
(2.76)
V10=ocqAf(/iBu +kB3z)-,
Wfg=ocA2+(^lBl^~kB^),
черва которые преобразованные перемещения u.0,v 0 ) wQ прицут вид
Uo " f S ^ n~kZco QT H - kel coQ-n)Vo +
+kcA ° \ i S i ï +к*
+ » оЫ я%( Ч о - А г ц 0я ( f ^ T j r } ;
^ |
oQ(„0\ |
] - ^ + [J>oQ(n° k ( Щ 0- р гЦ 0)+ |
|
|
4 4 % Q (№ |
n)V10Y{f ^ ï } ; |
(2.77) |
||
ure = £ |
{ [ - « 4 ^ ( A r ( / 0+ q, V0 ) + |
|
||
K |
A |
^ |
2n +1 |
|
V ' w . ] ^ * |
|
|||
^(kUw+QЦо)~(рг^о@п *~A |
(2n)\\‘ |
|
Дая опредежения гяавных частей U0, |
V0 , W0 , |
U1Q, Vw , Щ0 |
имеем граничные условия (2.73), (2.74), |
что дает |
|
<г*?8)
* £ № , Q .<#>+ * * ' l ( * v* * t v» >-
faZn+l
f J ' [!A ( ‘ 4 4 ‘l “' K ) / ‘ l % i ( ) . <2.79)
ijtn+t
+(кг+<1г)[2игс0Q(n0)+(1+Co)fl2n№ }(£ ïrH +
+B0{[(^ k2+^ )D^ >+OcZn^ U'0^ V’°}~
h2n
__ |
t2rt+1 |
h 2n |
>;(2.80)
(2.81)
(1+C0)(kl/0+çV0 )+(i~c0)W0=Oi
(2.82)
(kt/io+il vio) + (kZ+if ) W 10= 0 ;
(2.83)
* ^ - * ^ = 0-
Из (3.80) - (2.83) олвдует, что
,, . / l - c 0\ |
W0 |
(2.84)
Подставляя выражения (2.84) в (2.78), (2.79), для W
получаем |
* %> |
|
tjZn+l
|
|
(2.85) |
£ { [ & « * < * v * r |
|
|
(1-с0)рг-(НЗс0)(к г+q,z)fiгп-, |
hln+1 |
|
1+Сл |
-]к°(2п+1)\ |
|
-г(кЧч% |
|
(2. 86) |
Обращая (2.77), находим <?2
y=S«{[c,s" ^ y +(A<2”,*c,e"ïyï ) l»*c' e"'^ ]ë n H +
.2/7+/
♦[®А {ixfïj“А™ ^ ')* (4"Ll>tOn ^ r*)rч]fJf2/7+Ol}; (2.87)
J(2n+1)l
Ma (2.85)• (2.86) после обращения получаем точные уравнения
^2/f |
|
00 |
|
£ |
|
ЛС0 |
|
,2л+/ |
|
•[ ^ 04 Р ^ я + Г Я ^ ) Я ^ ]ivf^ 7 7 у т } = A i ' U ) ; |
<2.88) |
П*0 I |
|
h Zn* 1 |
|
+ ( < * з с , м ф * щ ; ф * |
|
+ Z m f- & ) D t Q № £ - . } * 0 . |
(2.89) |
Вмеото (2.88) и (2.89) можно получить и раздельные уравнения для W я W1f хая ето сделано при выводе уравнений продольного и по перечного колебаний вязкоупругой пластинки.
Обращая (2.84), аналогично имеем
u=(i-ctx i + $ № ( $ £ ) i
V=(1-Ct W+Ct î 1à 1( ^ L ) ; |
(2.90) |
Если |
перемещение W1 точек нижней поверхности известно, то через |
Wj можно |
выразить все напряжения. Например, для упругой пластинки |
напряжения бц через Wf приближенно выражаются по формулам
или
г/ |
2 2аг-Ьг dzW, |
Заг-Ьг |
, |
+ZL62 dtz |
2 аг дхг |
аг |
â f J |
Выражения для напряжений 6^ , 6yZ получаются из последних |
в |
|
(2.91) заменой я н а |
у и наоборот. |
|
Формулы (2.91) |
можно использовать для приближенной оценки |
на |
пряженного состояния пластинки по толщине по найденной в эксперимен те величине смещения Wr Как видно из (2.91)9 для нахоздения напря жений можно учитывать и внешнее уоилие, так как смещение W1 одно значно зависит от этого внешнего уоилия. В эксперименте9 как прави ло» внешнее усилие9 действующее на поверхность пластинки9 задавать трудно.
В предыдущих параграфах выведены как точные, так и приближен ные уравнения продольного и поперечного колебаний вязкоупругой изо тропной пластинки, получены точные выражения для перемещений и на
пряжений |
через искомые функции. |
Бели |
вязкоупругая пластинка имеет конечные размеры в плане, |
т.е. ограничена некоторой цилиндрической поверхностью, которая обра зует край пластинки, то искомые функции по этой поверхности должны удовлетворять граничным условиям. Данную цилиндрическую поверхность обозначим через Г.
Граничные условия, возникающие при решении частных задач коле бания, формулируются не для точных уравнений колебания, а для при ближенных, которые вытекают из точных для решения той или иной част ной задачи. Например, при решении частных задач продольного колеба
ния пластинки используют наиболее простые уравнения, которые |
описы |
|
вают плоское обобщенное напряженное состояние или которые |
следуют |
|
из точных как первое приближение. При решении же задач поперечных ко |
||
лебаний пластин, как правило, используют уравнения не |
выше |
четвер |
того порддка по производным типа уравнения Тимошенко |
или им подоб |
|
ным, а иногда и уравнения классической теории поперечных колебаний, |
||
которые являются уравнениями параболического типа и плохо описывают
волновой процесс. Уравнение типа Тимошенко однозначно |
определяется |
|||||
из точного, |
полученного |
в настоящей |
главе. |
|
||
В то же |
время |
продольные |
или |
поперечные колебания пластин |
||
ки можно исследовать |
с |
помощью уравнения более высокого порцдка по |
||||
производным, |
нежели классические, |
которые описывают |
более тонкие |
|||
волновые эффекты по |
толщине пластинки. Однако при решении задач на |
|||||
основе уравнений более высокого порадка, чем классические,возникают трудности с формулировкой граничных условий по цилиндрической поверх ности Г.
Граничные условия для продольных или симметричных колебаний пла стинки. Продольные колебания вызываются различными условиями на ци линдрической поверхности Г. Из этих условий отметим основные краевые задачи:
- в случае первой краевой задачи условия на Г принимают вад
« « , = & ; |
6» z= f„ z ’> |
*nS= fn s - |
<2-92> |
|
Здесь п - нормаль к |
Г; |
S - касательная |
вдоль направляющей цилинд |
|
рической поверхности |
Г; |
fn9 f nz9 f ns - |
заданные на Г |
функции внеш |
них усилий; |
|
|
|
|
Зак.689 |
57 |
- Граничные условия во второй краевой задаче кинематические»т.е.
|
|
|
|
|
« z = / 2 } |
us = h > |
(2.93) |
|
где |
f 1 9 |
f 3 |
- функции внешних смещений; |
|
|
|||
|
Г |
- смешанная краевая иди третья краевая задача возникает» когда |
||||||
на |
могут задаваться как |
внешние усилия» так и кинематические ус |
||||||
ловия. Из |
смешанных задач отметим лишь некоторые: |
|
|
|||||
|
|
|
|
% s f1* |
6nz = ens = °-> |
(2.94) |
||
|
|
|
|
|
“S= °-> |
6n z = ° i |
(2.95) |
|
|
|
|
|
|
“ z = fZ‘> 6n s= ° - |
(2.96) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Кроме указанных смешанных задач |
возможны и другие» когда на раз |
|||||
личных частях поверхности Г |
задаются |
различные граничные |
условия |
|||||
типа условий (2.92) - (2.96) иди когда пластинка по поверхности |
Г |
|||||||
находится |
в контакте с другой деформируемой средой. Тогда на Г |
бу |
||||||
дем иметь условия типа (1.46)» (1.47) и т.д. |
|
|
||||||
|
|
Сформулированные выше граничные условия должны точно |
выполня |
|||||
ться |
только при |
решении задач в точной постановке» т.е.при |
рассмот |
|||||
рении пластинки как трехмерного тела. Однако при решении частных за дач колебания используются приближенные уравнения типа классических иди уравнения» содержащие производные от искомых функций более высо кого пордика.
Запишем (2.32) (2.38)» (2.39) в виде
Z |
(2.97) |
п=0 |
|
где 4 л ~ интегродифференциальные операторы о производными наивысше го порядка 2п, при этом поверхности пластинки z=±h свободны от напря жений.
Для простоты рассмотрим чаотный случай цилиндрической |
поверх |
||
ности Г, определяемой как |
|
|
|
Х-0\ -о о |
< у < оо ; |
-Л $ Z £ h , |
(2.98) |
и первую краевую задачу» т .е . условия |
(2 .92). |
|
|
Зг х f x . * > t ) i |
^гу= УхуСу, z ,t)> Qcz |
9$j |
|
58
Лп |
б |
= 2Г б.en) |
Z |
( п ) |
|||
б х х ~ ^ 0 б я' х (2п)! ; |
°х г £ о ° х г (г п + 1)! ’ |
||
|
|
2п |
(2.100) |
б,.„=г: о_ |
— |
|
|
ГУ п=0 |
* * |
(2 п )! |
|
Если взять первые слагаемые в уравнениях (2.97), то приближен ные уравнения продольного колебания примут вод
р- 4(ММч-1)Ау>= 0 ;
Первые два из них описывают плоское обобщенное напряженное сос
тояние в классической постановке, |
а третье уравнение уточняет |
это |
|
состояние по изменению поперечного |
смещения W. |
|
|
Для уравнений (2.I0I) из (2.99) и (2.100) получаем |
|
||
üx x “ тх > |
~ |
~ Tacz |
|
иди |
|
|
|
N(Ar) - 2M^ - {^ - ^yw - 2M)W=fx(y,О,t);
Если же |
в (2.97) взять два первых слагаемых, то для искомых фун*. |
Ций |
выводим уравнения |
и (в° + ^ ] ( у ) = 0 ; U f+ L c?X<f>)=0; [L(03)+ lfjW ) = 0 , (2.102)
содержащие производные четвертого порядка по х , у , t .
Для приближенных уравнений (2.102) кроме граничных условий до. бавляются
а (1)= |
à f x |
лс»_ dfxu I |
j p ^ àfxz I |
(2.103) |
|
Vrac |
ô z |
Z=0 |
2=0 |
* * ~ â z Iz-o* |
|
левые части которых выражаются через |
, IV по формулам |
(2.36) .Ана |
|||
логично формулируются граничные задачи для уравнений с производными
более |
высокого порядка, чем в |
(2.102). |
|
|
|
|
Кроме граничных необходимо задавать начальные условия, которые |
||||
формулируются так же, как и граничные, в зависимости |
от порядка наи |
||||
высшей производной по времени |
i, исходя |
из выражений |
для |
перемеще |
|
ний |
и, V, иг. |
|
|
|
|
|
Граничные условия для поперечного |
или несимметричного колеба |
|||
ния пластинки. Граничные условия при чисто поперечных |
колебаниях |
||||
пластинки, которые возникают лишь при ее собственных |
колебаниях, в |
||||
точной формулировке однородны и формулируются для пластинки как для трехмерного тела иди как в теории толстых плит.
Свободный край. Граничные условия на Г имеют наиболее прос той вид (первая краевая задача):
(2.104)
Жестко заделанный край.В этом случае имеем иди вторую краевую задачу, или смешанную, при этом встречаются два наиболее часто упот ребляемых условия на Г :
ип= u z = u s = О ; |
(2.105) |
u z = Ons= ° . |
(2.106) |
Шарнирно опертый край. Данный вна крепления боковой поверхнос ти,пластинки по цилиндрической поверхности Г довольно‘условен и ■месте с тем чаще употребим, так как приводит к наиболее простым по форме и удобным для решения задач граничным условиям.Запишем ус ловия для шарнирно опертых пластин:
и г = б я = бл5 = 0 ; |
(2.107) |
(2.108)
Граничные условия (2.104) - (2.108) в зависимости от исполь зуемого приближенного уравнения поперечного колебания, получаемого из точного, упрощаются, как и для продольного колебания.