книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

T° JFo

V *

- p p 4 s,+Sz) + P ZP 4^ Q n \ fiP Z^ o Ko) ( b K - Uo~) +

+l^

0)^ o W p p b - (Q(n0^ T<0))

i

(5*76:

£-Н0 (/> рг)-'Г„(0)+ Q<°>-N0 ( p p zT 1J b Znl

( k ( / o )

+

+ £ N° k * ( f i p * r '

Г„(0 )- к *Q n0)+c

N0<*2( p p z) fp

Zn J W°

/н/9

-^ K oC p p Z yt^ eQ W .'tf'tjQ fl . р гп^к т}0)} j ^

r

'

где

„2п

- ^ 2 n

Otg

“ OgOk f

(5.77)

S2 -S f

l=o

и * /

не

обратимы по к

и

р

Однако

обратимы комбинации величин

f / ^ o c f / o c f

= N10Ng + 2 к г

;

yt (0 )= « f

« /

= k * ( k z+Ni0 N ;' )

+ N£0N; '

(6.78)

Величины T^\ С ^ д л я любого

n

выражаются через комбинации

(5.78)

и поэтому обратимы по к и р

аналогично тому,

как показано в

гл.З. Поэтому, обращая выражения (5.76), находим

п=0

х(-тп -^ г +QnNz N 4 t i u - lQ nH -*SnÛ n W P +

б *

д гг

dz

( r / 2 ï2nH

-«oKO (P+ W r t Qn r t - £

(QnH - Я Г ) 3 T, } x ^ (п + Г)!

n*0

2n

, , Ш

. u)*l-r„+N t a < » .- £ f Q „ l T, >

.

*

0 Г

*

U '* Z {l4 T ni ï >'+ -& S'-Q n+N(*r+

«

ft*0

X 4

г *

D

Tït-ï'-Wi * T Ï 2 Q n * N * i °

*

x (

^ ^ °*® A / ° *

+

* Qn - t ï i + * i J

/ 07.')/.. '

Ni * f >l ! &

( ’c £

H

* ~ c f W *

~ <K° P

K > '

^

3 ? Л ? >- 1 р М ” ( £ $ - ^

3

Дм нахождения необращенных главных частей ^o,W0, г/ °>

граничные условия (5 .5 9 )

и одно яэ условий (5 .6 0 ) - ( 5 .6 2 ) :

l i U ^ S K Q P - g т< ° ъ - &

* ' * * ” < % ? )

-

- Я 7 Г ( в

т

, (А:*#»). -*,*,<? « > ) ) +

з г ^ ? д ^

« Я ® * »

ч / к , о - у Л ( А < , % .А ( ^ )з 46 . с е ^ . * * и в у > - ^

г " Ъ -

-

# *“ * "

* £

-

„ Т Т ( ° п н ~

J p i ( к г $ 0>+ » , » , < % * > » ,

1

n(0>/to

N0S2-pp*')]kVlo-«-oKo *

* р р * м 7

n (

X Q n ^-* 1 > ^ 7 ) ? --- = М л fi0} }

(5.81)

=/v» 4 "

;

- p p ! XN0s ,

- f i p l y Q m f k W ,

- % ) *

" ° * °

C "» s' ^ °" n ~ fiP * r„<°’ ] т<°>} < -% ? £ - -

;

(5.82)

J (/voS, - fip ‘ XN<lst

-fip ty QW

(* W, - tfc y +

* * ° * о C/V-& s.Q™ -o ^ r(o ) 1 r (o)l Cr0/2 )*nH

f 1Q .

0

1 г

ПИ Г Р !nHj r t

f —

- _ . ee</^/)p

xr I f д.

(6.83)

"■°1 °"'w '

>

W -

C

’, - W

H ^ W C - v „ ) .

*°<'*°c 1^77

« £ ’ -/>/>'W l -

<*rn

•i '>s i n 9

’»

ffr z s ffr e = 0 ( r = r 0 ) ,

(5.87)

приложенными к поверхности стержня. Начальные условия нулевые.

Положим

С*?0, VJ) =

(9,У г ) s in

в

} Yf - Yt COSO

(5.88)

и предотавим функции

9,Yt ,Y t

в виде

О

Для 90 f VJ0

из (5.85) подучаем обыкновенные уравнения

d z <f0

■ J_

dV0 _

e j _

d m

r dr (

гг ) % “ 0 '

(5.90)

dr*

* Г

dr

(J* + rt)Y/o- 0 f

d r 1

к

г ,

Т - Г/Срп Вг ;

(6.92)

l i f e

= k I t ( < * ' ' ) A - / b * i , ( f i r ) B i .

Разложим правые части в (5.92) в роды по л :

_ E É 1 >- у

Г

г п *1 <х.гпНА - /32ПН R

L

2п+1

-ЯП+1- -I (Г/2)гп

S in d

п=о

2(n+1)

П(П+!) °1

к

2(п+1)

В2^ (п!)2

.(О)

со

ot2rn-1

t, n2ru-f

Л § - - Т Г -

----- a

Z n +1

-Z n+I п

1

J*

В < -1

cose

f^0

L 2(пИ)

2 ( m t )

вг ~ 2(пну

(r/i)tn

.

у

Г кы.гпн А л гтз

о л (г/2)2”н

( п ! ) 2

’ s in e

п и

Л -

п+1

в г J

п п г

(„ /у г

Заметим,

что

главные части у u f? } и а^совпадают.

Через Vof W0 fBf

в (5.93) запишем следующие величины:

а (о)

~

Jïfë- = £ о W n +1№

Xn+o,0k*Q%>') v0 ~(2 n+1)ût0 Q (h°>k w 0

+

+ i 2 n H K « 2"+o1o k 2QtfhifiB1)-fitn+1Btl

J„7ïnïT)i

isfr -

1U«tn*o„k4>№V6„ -kc„<3if>W0*

+ (<**”+ Cf0k 2Q<n°b

(/ЪВ,)-(2пН)уз2”(/ьв,)3

/

u (o)

eo

(5.94,

Ш в -

v°

w‘ -

Для определения

V0 ,VJ0 ,B f

имеем граничные условия

(5.87) ко­

торые через Vo, Wot&t

принимают

вид

*

Z

{l/bz( ^ n-2k2ûfûQ

^ ) - (сК2"-кгСю

X

п=0

f

* v 0 + U<x2n+2jb! cf0Q<0)) - -Щ - Сю Q(n 0)J k W o +

+ l/bz(«zn-2kzc,0Q (n0))-

( ^ n-kzc10Q(n0) -

О

in яг л 1 , я д 4

(r0/Ziln

-f

(O)

M fiB '>lin-( n „ „

mM‘

t r

>

£

{(г п '< )1 « * п-(1 ъ г * к ‘ ) с ,о 0

‘,° >У 'У 1,

+

n=0

+ (2n+1) l«*% (Jbz+k2) Cro Q(°}J

W0+ k[(2n +1)[ oc.2n -

2П

~(P>2+ ь 2) сю Qn0)2 - У " З с М ) }

<Г° /2 )

—

= О ; (5.95)

n ! (n + t) !

n 0^n(Oi ~k2c'oQn)V0 +nc10Q\Wк W0 +

h

n<“ * ' L k ‘ c,°

*

£ >

*

"

* *

>

)

о

Здесь

n-t

C10* 1 - M0 NQ

; Q<V= E o i M

- m

y * .

Ваяв в качестве основной неизвестной величины

V0, определив ее

на (5.95) и обратив подученное

выражение noJt- и/?, наедем точное урав-

нение поперечного колебания

вязкоупругого стержня