книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfФ - A е * г* ’ ф " > - л * Ь г > |
||
*20 " о е |
• г20 ~°ое |
* |
причем в оиду |
(3.96) кВ ^(\ С ^fikQï>j^O ( j = 0 , f , 2 ; к0=1,2). |
|
Граничные условия показывают» что искомые функции |
в пластинке |
|
при -Л < Z < h |
не являются только нечетными функциями |
поперечной |
координаты z,a |
колебание пластинки» лежащей на деформируемом осно |
|
вании» не является поперечным , как |
это быдр показано |
в 5 4 гл. 2. |
Поэтому оно более сложное. |
|
|
Для преобразованных перемещений |
в пластинке (слое) |
имеем пред |
ставления |
|
|
u,0=k{A1ch(ct,z)+Ai sh(a.l z )]-fi1[С, c h (fi, z +
+C2sh(fi,z)]-< ^ [D ,ch(fi,z) + Т>г sh (j3,z)] ;
vio= 4iAich(*i z >+ Azsh (л, z)] +fif[в c h (a z ) +
+BzSh (fi, z)\+k[D, ch (fi, z) +Dl s h (fi1z)] ;
Щ0= * № i s f ,(** z) +A2ch (ct,z)1+<i[в, sh(fi,z)+
+Bzc h (fi,z )]- k [C ,s h (fi, z ) + Ci ch (fi1z)1.
Раэхагая гипербодичеокие функции в (3.104) в степенные р д ш по Z,подучаем
и» ^ Л к< Аг ^ ' сг Я ^ Ц ^
Лп+гк гп-н
ф « Г \ - Аr V w T S i ] ^ } ;
(3.105)
ггп+1 v « - f { [ « « f " * 4 * ( ц В , - к О , ) ^ (2п+1)!
Аналогичны представления для преобразованных величин напряже
ний:
^ м< о § - ^ " ^ к Ч г^ * ¥ ’ % вг кСЛ щ - , *
*Я » ,^]](Sj7+ [['^'(*(
^ - - мо Ш ^ л' - кг- ^ - гА ‘ > г
-4 * }* ? * 'л ,-г < ц я?", '<^вг*к1>г ) ] ^ щ } ■ |
(З.ИК) |
' ^ гк^ ,А^ е^ Н к^ г> ^ & Ъ
«j^ 4 4 ^ V C ^ * < tK"A-‘<'rt-A4i,f * ^ } i
4 ï = 4 . | , { ^ t e f " * 2/l,+î(«,-Ai),)A 2" * ’-
- / f > ^ X ] g ^ + K 4 2" 4 + ? f t V A ® 2 )-
-Л'"0»?+* Х ] < # £ } -
Введем вспомогательные функции
U0= kA r (fifCt+<lDz) ; Ц о ^ Л - ^ А Ч ^ г ) î
|
Vo=^Ai+(fitBt+kI)i')'> |
H »= ^ V A O eA +*2W » |
<3,I07) |
|
^ f V A f o V * ^ ; |
|
|
или |
выражения в (3.105) при z |
в степенях 0 и I. Вместо |
соотноше |
ний |
(3.105) будем иметь |
|
|
" » * Д { к ^ - * Ч О ч - ч в Л |{-и,. л е т +
Зак.689
И З
v’o - fiîw» ü & z ï ï ) ;
№ ц - we ) ] ^ +
«злое)
^ = £ { [ ( А гЛ+А ^ О ^ - ccfC0Q(n0}(kU0+<i v0)].
|
Х('2/?+0/ + ^ |
/ ~Pi^oQn 'Що+DoQi \kU0+q,V10)\ j^ |
|
||
Д м |
определения вспомогательных величин U0 , |
V0 , W0 , |
U10 , |
||
И,0, 14^ |
имеем граничные условия |
(3.96) и (3.99) иди (3.98) |
и (3.100) |
||
Рассмотрим задачу при |
граничных |
условиях (3.96) и |
(3.99), т.е. при |
||
отсутствии трения по контакту слой - полупространство.Используя вти граничные условия, для вспомогательных величин U0t V0 , W0, U10, Vf0, Wl0 выводим систему алгебраических уравнений
+l( 1 -C p)tfn+Co ( t f +b Z4 ZK ^ % } ( ^ +
% <2/7+1
- * гпЛм М |
_____=/ w _,/ w |
- |
|
а / Jw i°j (2/1+1)! |
10 Гг |
’ |
|
Д{К'-£»К'А"-*1/ » ,+ ? * ^ в Г У <'£4+»'4^+
’ M ° -kv< ^ y < ( < ! Â U Ç ) - .
|
|
(3.109) |
Ш (1+С^ п- с< М г+* 2+? |
^ + W |
+ |
+[(/-c0)/3fn+ c / A 4 ^ +^ )c« ^ |
j ^ _ |
|
-| o{[ocf+2A22)00 ^ ^ +? ^ b A 2[2CA-2+^2n C -
» |
«2/ï+f |
,л. |
|
-<tf"+ |
c f e ^ 7 ^ f |
№ + * |
) + |
+ Cfl^ - p f A>Qn0)) Wi0^(2n)Ù ’
£ Д [( 1-C0)* ft fn-2C0oif(kz+<f)Ql°]](l<ио+ЯК) +
h 2nh1
Hki*4a) l P ^ M ° 4 f +C0)fl!nM } ( 2 ^ ‘'
-£{t«în+»o(fihki4 2) C W V 10+ W o ) +
£ л “ Г « - ^ . ) с ^ - £ С ^
|
|
i<Wo-kVto)(Zn)\h Zn =0, |
|
|
где оператор |
|
|
|
|
0 - _ ^ e ( f l î + ^ + f f - ï C ^ + f î x z f l z |
(3.II0) |
|||
°~M10 |
c b d q - P - i f ) |
|||
|
||||
Разрешая систему |
(ЗЛ09) |
относительно вспомогательных функций |
||
U0 ,V 0 , wo> Uw> Vio» |
W10 |
и обращая подученные выражения по p f к, |
||
q , записываем точные уравнения колебания пластинки» лежащей на де формируемом основании»
+(1+Ct)X(1n)]il-RCK^)'1]Fz h2"*' ,
2(2п+1)!
Fz= M~1(fz)',
[K j^ - R U' +L &Mv )*z [<7-cÉ)д"У2л;+
* i - i L s - e L ' f k - W y ' M F ^ ) , Fa r M - / ( - ^ + - т р Ч >
‘ |
Z |
^ f ‘tD t a |
,tn -A j6 „ }A 'il-liL l ( F j ^ )-'-\Fz (j ^ |
T ' |
|||||
- { - |
[ L z * R L S ( Ar/W > )"'] < F „ y ) t |
|
|
( З . Ш ) |
|||||
b'lnmlR(Ltf+Lj>](Wl)=-L l ^ + D t (/''-A )Qn 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
c |
|
|
|
« [ l - A V * f V j / Î |
+ f a s+«Z.„,(/f,<2''V']^*y) < |
||||||||
f |
[ M l M A |
âV |
h 2n" |
I -I |
dfx z |
gfyz |
, . |
||
£ W - V ü ^ r f V ^ Æ . - Ç L ) - 5 ^ - |
|||||||||
л=0 |
1 |
1 |
n |
Z |
K â ÿ |
too > |
(2 „)! |
|
|
_ |
1 |
AA-1, |
âf x z |
9fy z . |
|
|
|
|
|
^ - / - А ' / И ; ' i J ) t = 1 - N ? M ,
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
^ |
K |
^ |
' |
O |
c |
^ |
f u |
(Э.П2) |
Среди вспомогательных обращенных функций |
C/,Vt W ,U j ,Vt,V/1, |
||||||||
которые являвтоя |
коэффициентами при первых членах раэлохений |
пере |
|||||||
мещений Ut V,bX |
в степенные |
ряды по |
z |
иди смещениями точек |
сред- |
||||
ней плоскости пластинки и скоростями по z, независимых четыре! а
остальные связаны соотношениями (3.109).
Операторы» входящие в уравнения ( З . Ш ) 9 имеют вид
к ,‘ п т ‘ - £ о
K zn,m=(-Î: Z |
|
|
(*<’>+ A ) A ÿ + W |
|
+ |
||||
|
|
n=0 m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2(гч-т)И |
|
|
|
|
+ ( * 2n( -A)*])tQ m 4 |
n)] (2n+1)!(2m)i |
|
|
|
|||||
L , - i z |
|
( m o j m |
h * " " " » - 2 |
|
|
|
|||
z o - c ^ r x |
|
' |
|
|
|||||
|
|
ns O msO |
|
(2 fi+ 0!(2m + t)! |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
/ ? v j n U t m |
* * ( ” ” ” > |
|
|
|
||||
^ - " |
I A |
|
Л* |
(2п)!(2т )! |
|
|
|
||
|
|
п=о т*о |
|
|
|
|
|
|
|
L r - z z i o t ^ - m n H t - c o ^ l ^ |
* |
|
|
||||||
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ zo,<™+ct 4'>a„i |
h Zn+< |
|
|
|
|
||||
( 2п +1)! |
|
|
|
|
|||||
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
L ' - - L l Z |
l C i ( x i n -ü-,Qn + ( t . e t »<«>-] j f l |
- |
|
|
|||||
|
|
n s O |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
ОО |
GO |
l2 x fB l (.Q„>(P-QL>!p)+>t"'> A$<>] |
|
|
|
|||
- Z |
Z |
Z |
x |
|
|
||||
П-0 m=0 1*0 |
|
|
|
£ |
|
|
|
||
|
[2 x (fn CtQm +(f+C£))<m > 2 -, |
* (,------------ ; |
' |
(З.ПЗ) |
|||||
|
|
1 |
t m |
zi |
z j (Zn+))!(2nu-t)!(Zl)l |
|
|||
L f 2 z |
l a t O e u P - e t O n a P - A ) ] |
|
||
|
П-0 |
|
|
|
_ 7 |
jS ^ C + Q __ b Zn+f |
|
|
|
t o |
1 |
Г ” ( * " +' ) ! |
' |
|
Lg = |
L2 Z ^ [ ( 1+ 0-£)Л^л)- |
Qn ( A ™ - ^ ) J ^ |
+ |
|
+ZZ ZШ2‘I |
|
|
||
CO CO 0* |
{ .2 ^ Р д € ( Qn iï£L)- Qt * /( ' )) + / fn) |
|
||
n-0 m*0 t ‘0 |
A $ ° ] * |
|||
|
|
|
||
|
|
|
fr2(n+m+L)+Z |
|
W - w f ^ u & c t n , 3 a n f ,M 2 m t M ^ |
||||
l^ £ |
|
|
|
J g L |
2ÜJ>t3n) (7nH),- +
* ï Z Z LZ*(pCt0m>-(P - Ot(4n-A->Qn *ém)+ n-0 m-0 t-0
t o * ot n T m ^ u t p - w k i ù
(2n )!(2m H )!(2l)
* Z Z Z |
CtQm 4 n)+ (t +cox{n+m ')- |
n~o m-0 l*o
<Z(ru-m+l)+1
~Ci(?Sp-A)Qn A*70] l l S P + D t ®с^(2п')!(2тИ)!(21)1
Аналогично для величин перемещений Uf ,iXf l vXf получаем точные
выражения через вспомогательные функции |
|
|
|
â * V |
+ ci_Qn |
âW |
1 |
uf ~^0 { [(*2П)+Яю£ Ct Qn)U+c tQ n д х д ^ |
д х |
] ^ п ) ! ф |
|
д *У , |
|
|
,Zn+1 |
|
|
|
|
] д х д у -D t 0 j p âJ |
] ( 2 n * m • |
||
^ W > v + C t O „ â x â 9 |
|
â y |
J (2 n )l |
n=0 |
|
||
d x d y |
â y |
(2nH )! |
|
O.II4)
z 2 m t (2 n t1)l
a напряжения б £ Р будут
d y i
* lC Q „(xf-2i(,n+ - S L - ° L ,
|
0 * * ' â p x 1* 0^ ? ^ ^ : ' Ю } |
+ |
+ Z M |
, , { l 2 ( x r + £ ^ Q n t ( , t l ) t l- x < rtl ™ L . + |
|
-Л |
* |
|
n=0 |
|
|