книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfВ литературе кроме описанных точных граничных условий на Г час то используют так называемые "смягченные” граничные условия Г, кото
рые приводят к некорректности, состоящей в |
неоднозначности |
форму |
||
лировок одних и тех же |
задач. В частности, вместо условий (2.104) |
|||
выводят пять граничных условий [i]: |
|
|
|
|
h |
h |
|
|
|
\ 6ndz = Tn= 0> [z 6 nd z = M „= 0 ; |
|
|||
-h |
-h |
|
|
(2.109) |
h |
h |
|
h |
|
|
|
|||
j c „ zdz = T2= ° ; §6„sdz=Ts = 0 ; |
jz e „ scfz=Ms=0, |
|||
при атом решение задач для уравнений |
четвертого порядка |
требует |
||
лишь два условия. Отсюда |
возникают ыоментные |
иди беэмоментные гра |
||
ничные условия. Однако, |
как видно из |
результатов настоящей |
главы, |
|
введения моментов по границе - краю не требуется, и поэтому гранич ные условия можно формулировать однозначно, т.е. краевая задача фор
мулируется корректно. |
|
Но, как указано в 5 4 (см. примечание), вынужденные |
попереч |
ные колебания пластинки являются не чисто поперечными, а |
продольно- |
поперечными, и при выполнении частных краевых задач на вынужденные поперечные колебания пластинки необходимо решать совместно две зада чи - на чисто продольное и чисто поперечное колебание, т.е. при фор мулировке задачи использовать граничные условия, описывающие продоль ное и поперечное колебания пластинки.
} II. Уравнения нелинейных колебаний вязкоупругой пластины
Полученные в предыдущих параграфах результаты относились к ли нейным задачам колебания вязкоупругих пластин. Однако развиваемый математический подход позволяет выводить и нелинейные уравнения ко лебания вязкоупругих пластин, при этом предполагается, что нелиней ность слабая, т.е. перед нелинейными слагаемыми имеется малый пара
метр. |
рассмотрим пластинку в плоскости (& ,z) |
|
|
|
Для простоты |
иди |
когда |
||
внешние усилия от |
координаты |
у не зависят. В этом случае отличны от |
||
куля лишь два перемещения и |
и и/. В данном параграфе приведем толь |
|||
ко приближенные уравнения. |
|
|
|
|
Зависимость |
напряжений |
от деформаций примем в виде |
(1.32) и |
|
ограничимся квадратичной нелинейностью
ел =зкй0{е0[1+ос*0кг(€г0)]} +
|
+Z6R{iej r e0)[l*cci061Ш |
} > |
||
|
|
|
|
(2.II0) |
|
6ÿ = e * { e v[f+ajfeW |
/ Я } ; |
t *У; |
l , j = x ; z . |
Здесь |
- средняя объемная деформация; <p* - квадратичная интенсив |
|||
ность деформаций; Кг (£д) |
и 6f((f>g) |
- нелинейные вязкоупругие опе |
||
раторы:
t1
ОО
t
б,с
о
Уравнения движения пластинки как вязкоупругого слоя принимают
вид
(2Л И )
д ги . „ п#гиг
(KR°+ ¥ R)£ & ' e,!j £ +(KR° + jeR)7£ +
+ ctFz ( u , u r ) = p ^ f ,
где Ff и F - нелинейные операторы:
(2Л12)
Fz(u ,w )= 3 ^ 0/?0{ ^ [ е 0/С2(е|)]} +
+ 1 o{GRf a e z z - £ o ^ С^/Я}'Ч ,б и £ \ б я10 , ф У .
На поверхностях пластинки г=±Ь зададим граничные условии
62
Начальные условия кулевые, |
т.е. |
и= Щ~=и/~я[~=^> t= 0 . |
Будем считать параметр ос |
малым, |
что позволит перемещения и |
и иг разложить в рапы: |
|
|
и ( х , z , t ) =Z. оспип( х , z , t ) ;
/7=0
(2Л 14)
u r ( x ,z ,t ) = z . oLnurn( x , z , t ) .
п-0
Ограничимся нахождением двух первых слагаемых по л . Тогда для Ue,W 0 и и1,и/1 имеем уравнения
4 0 М
(2.II5)
|
+ ^ ( Ч , % ) = P j j T i |
|
|
||
(L + M i ^ |
) +M& |
M |
l £ ) +F2( “ °> |
И 2 Л 1 6 ) |
|
|
L=KR0 + ^ 6 R ; |
M = GR. |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Продольные |
нелинейные уравнения колебания. |
Продольные колеба |
|||
ния в пластинке |
возникают в том случае, когда |
внешние усилия удов |
|||
летворяет зависимостям |
= f~ ; |
f * x = ~/~г . |
Точные уравнения про |
||
дольного |
колебания пластинки в нулевом или |
линейном приближении по |
||
лучены в |
$ 2 данной главы, т.е. задачу (2.II5) можно считать |
ре |
||
венной. В |
частности, для главной части продольного смещения |
UQ |
||
уравнение |
в классическом приближении имеет |
вид |
|
|
а распределение перемещений и напряжений можно подучить из соответ ствующих формул § 2.
Задачу для уравнений (2Л 16) можно исследовать аналогично«при
меняя методику для задачи с начальными смещениями и напряжениями. |
|
Тогда для |
главной части смещения в первом приближении подучим при |
ближенное |
уравнение |
P J £ - ^ 1 - M L 1) Ç £ - F 3(U0M 2 M L ' 4 ) ^ = 0 . |
(2,118) |
Из уравнений (2Л 17) и (2Л 18) для главной части U с учетом ку
левого и первого приближения выводим нелинейное уравнение
dzU |
f дги |
(2.И9)
где U = ££ + ecu*! , a нелинейные слагаемые
(2. 120)
F+(U)=ae0K R fc ( M L 4 ) { ^ y L % ) - \ K z \ZML1( ^ ) -
Если в уравнении (2.II9) |
идра вязких операторов принять |
равны |
ми нуле (упругая пластинка), |
то оно переходит в уравнение |
типа урав- |
нения Каудерера [ю], если положить io ~ fx z ~ 0 ‘
1 ( P c * |
A |
âfz |
(2.I2I) |
р \ 2 м |
) |
д х |
|
Здесь |
|
|
|
С ~ 4Ьг(а * -Ь г) |
’ |
||
При выводе уравнения типа |
(2.I2I) |
в работе [Ю ] о малоотя па |
|
раметра сс ничего не говорится.
Уравнение чисто поперечного колебания пластинки выводится ана логично. При атом для главной части поперечного смещения W получим
приближенное уравнение
(2. 122)
где Fg и F1 - нелинейные слагаемые.
Зак.689
Г Л А В А 3
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ И ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН
СУЧЕТОМ ТЕМ1ЕРАТУРЫ, АНИЗОТРОПИИ И ОКРУЖАЩЕЙ СРВДБ
Вданной главе обобщаются результаты предцдущей главы для плас тин» материал которых анизотропен» напряжения зависят от температу
ры среды и которые находятся в деформируемой среде [33» 34» 38,40].
$ I. Общая постановка задачи
для трансверсально-изотропной пластинки
Вначале рассмотрим трансверсально-изотропную вязкоупругую плас тинку» плоскость изотропии которой совпадает со срединной плоскос тью пластинки.
Пусть пластинка имеет толщину 2 h ( - h ç z < Л). В случае вяз
коупругой трансверсально-изотропной пластинки напряжения и деформа ции в точках пластинки связаны законом
С ^хх ) * ^12 |
* Aft (^*2 )* |
~ |
г )$ |
|
в Ац |
* Aft (ёгг)'* |
*xzmA+4 (&xz)i |
(3.1) |
|
&zz * A# (ëjcx + |
3 (&гг)*9 |
|
A1^)(SQe^)9 |
|
где A n - вязкоупругие операторы |
вида |
|
|
|
J |
t |
|
|
|
|
[ f i j i t - U |
u v d |
t ] , |
(3.2) |
( t ) - ядра вязкоупругих операторов} a/y- - упругие постоянные. Уравнения движения пластинки как трехмерного тела в декартовой
оиотеме координат имеет вид
06х х
д х |
+ |
д«хг
* |
IN к» |
д6хг |
|
д х |
+ |
|
дг и |
д^хи |
dfyy |
d&yz |
d *V • |
|
|
|
+ s r ^ + |
- О |
|
*/> 1 F ’ |
дх |
дг T |
â t z > |
||
d&utг |
|
|
д гиг |
|
(3.3) |
|
шр |
|
|
||
ч |
дг |
d t * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Колебания пластинки вызываются внешними усилиями
'Z2 Fz ( х >fft О ; |
&хг * |
^ ^ |
л * * А. |
|
|
|
|
|
|
Начальные условия кулевые. |
(3.4) |
|||
|
||||
Положим |
|
|
|
|
г -stT» * * |
1 |
Г |
« œ 7У 1 , г |
|
“* J-«* », |
г * |
J |
s,-,,, } rf» J ".«*>f^O Чр : |
|
- \ 7 Л 1 } * k ï |
|
« . s i |
||
Тогда из уравнений движения (3.3) при зависимостях (3.1) ддя опре деления и ,, V,, Щ получаем уравнения
К ’ <-К"*Ч (<"-<") * „ • ] » , } .
- I Н ( < ’* О |
Ч - * ( < ’* |
< - О ; |
|
||
K V - [ £ ( < ^ ) * !4 V W ' b } - |
|
||||
" г *« |
|
|
) |
* » / - « ; |
(з.б) |
W |
|
Л * / / ] *? } * (Л я * |
|
г р - о . |
|
Выражения (Зеб) легко преобразуются к виду |
|
|
|||
1 . ( 0 - ( < * 0 ( * V J |
|
О ; |
|
||
|
|
|
|
|
<3-71 |
где |
|
|
|
|
|
Ü1(о; |
Au, +? гг, ; у/';=£ V **»: |
« |
|
||
И//- «Г ; |
(3.8) |
||||
h - < ’ я г - [ K ’( *'* t ‘>
(3.9)
L> - < ' ■ £ - - № № * } ■
Kai |
видно, |
общее решение для V jc) можно построить неаааиошо |
|
от U f'u |
Wf>. |
|
1 |
Ветчины, |
входящие в уравнения |
(3.6) или (3.7), являются пре~ |
|
образованными операторами Ац,т.в. |
|
||
|
А ч ' аЧ [' - $ >(г>]‘ |
J О |
|
Общие ревания уравнений (3.7) построить нетрудно:
U^AjCh (<*,z) + |
At ch (<*? z) + |
ct sh (* iz) +cг |
||
|
|
v / * ;- B,Ch (jiz)+Bg sh (/>*); |
||
|
|
/•) |
|
(3.I0) |
|
w; |
» A, ы, sh (4,г) + Аг(ог sh(<*t z) + |
||
|
|
+C1 U)j Ch (ol,z )+ |
Cz co2 ch (o£t Z ) . |
|
Здесь ot„ о(г и |
p |
- корни уравнений |
|
|
Л ” Л » |
s - |
[ ( < ♦ <')/>/>■* (*•« f * ) ] K £ ♦ < ; ■ . |
||
- K ” ' »«)'] ■<’* ( * V ) v / b
< V - [ 7 ( < 4 ,,X * V > / / ’’H
со. » |
(З.Ц) |
7 |
Применяя преобразования Фурье и Лапласа к граничным условиям (3.4), приводим их к виду
А » < ’ ] - ( * £ , . ' ? £ » ) ■ • (3 .12)
Ан l v! \ ' ( 4 Fx v ~ ’'Ff ’’° î ; Z ' * A -
Рассмотрим отдельно продольные и поперечные колебания |
транс |
версально-изотропной пластинки. |
|
5 2. Продольные колебания трансверсально-изотропной пластинки
Продольные колебания вызываются внешними усилиями, удовлетво-
ОШ УСЛОВИЯМ |
/г ; /*JC2 “ ~FXZ=fx i > |
■ Тог |
да постоянные интегрирования с ,,с 2,В г равны нулю. |
|
|
Для определения постоянных А,,Аг ,В 1 подставим решения |
(ЗЛО) |
|
в условия (3.12). После |
разложения гиперболических функций в |
сте |
пенные ряды подучаем систему |
|
|
Д |
Л ,; |
|
„ гп+1 |
|
(3-и > |
IM*9
Г д ^ 2 ( я М ) Г« * * / L * 2ч1 >1 / /.* л *чТ1 Л*7*'
• 4 Г ( * / „ ..' « W -
Дяыопгаю мпгаиш (//^ V/7 IV, ^представки! . айда рядов
Г,(«) |
л Лп А |
, 2f1\ z 2n . |
1 / W |
4s о |
Л2л |
л 2л |
Ч |
(А*, |
> Ш ' ; |
' |
« |
’ р |
ÏM V ; |
,f»> — / . |
2Л+»Л |
2/» +/ N Z 4"*7 |
(3 .1 4 ) |
Вводя Uo9 V0 , W0, вместо аависимостей (3.14) имеем
« Г - * |
{ К |
- |
°!"h |
|
|
|
|
|
|
( k ‘+ чГ к а У + а Х ) W |
] ж м |
|
|||||
|
* |
|
A (O) |
|
°" |
WB J (in)! |
' |
|
|
|
Л 44 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V*>, £ |
v . r |
,2n |
; |
|
|
|
|
|
~ |
|
(3.16) |
||||
|
|
1 |
n*0 |
(2n)! |
|
|
|
|
£ |
|
7(0) |
.л9 |
O. , A(o) |
*fo\V |
|
|
|
n*0 |
|
|
|
|||||
[(4*v*I O |
- |
A™ (V + q *) +J>p* |
1 |
1 |
|
|||
|
7 ( ô |
|
< f |
и/. |
(in+/;/ |
|||
|
|
|
|
^44 |
|
ft J |
J |
|
Подобным образом система (3.13) приводится к виду |
|
|||||||
|
|
|
|
|
i(°) |
|
|
|
Г |
[А » («Г- <*,’< ) ♦ -jg [ < v * ti'jï] с |
|||||||
п*о |
||||||||
->433 |
|
|
|
|
|
|
|
«♦ |
< '( * V x - C * < )
( * V x > C * > 0 |
а '" а"' |
гп Л п (»К |
*3} л 44 |
л(°) |
л ? |
|
(**+?*)( Л * + Л * ) |
||
% |
||
|
,2л |
<*'♦*(*?♦4 ?) "J И4J(2п)! ■ 4 . ;