книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

нение преобразования Лапласа при решении

задач

приводит к

весьма

сложной проблеме его обращения, т.е. к вычислению интеграла

(1.54).

Лишь для частных

видов функции F (p)

такое обращение

возможно с по­

мощью аналитических или численных методов. Поэтому полезны

прибли­

женные формулы

обращения, приводимые

ниже.

Формула

Виддера

[37]

(-1 )” р п * 1F (n) (р )

(1.58)

П-*ао *

п !

JL р=).у -

Ввли функция j ( t )

в окрестности t= 0

имеет вид

=

k > 0 , f l ( 0 ) t 0 ,

то справедлива

приближенная формула [30\

f ( t )

~

к к+1

t ' f F (-h)

(1.59)

Г(к*1)

Если функция f ( t )

в окрестности

t

s t0

j(t)'(t-tl,)’‘fa (t);

к>о,

то обобщением формулы (1.59) является выражение [3(0

(-1)

п+к + 1

( n t k )

(1.60)

far-

ni-к

r(n + k + t)(t-tjП+1

t - t n

~0'

*

O

Цри решении волновых задач для вязкоупругих сред ядра

вязкоуп­

ругих операторов можно аппроксимировать конечным рядом [30]

т

}

/

t

\

(I.6I)

Д м быстро протекающих волновых процессов приближенно

P Ü - f o

( Р ) ] " 2=

I Р 2+Р Со~ С1 + 0 ( f V 0

J

(1.62)

где

у

т

т

т

С.ш И

•: C -- I

г

v /

(r'’-т:1) .

Ъ случав модели Максвелла, т.е.

одного первого слагаемого в

(I.6I), выражение (1.62) переходит в

точное.

Метод

разделения переменных. Проиллюстрируем данный метод на

одномерном

волновом уравнении

д2и

1

д2и _ с

(1.63)

дхг

a2

dtz

Частные решения уравнения (1.63) будем искать, полагая

U - X ( x ) T ( t ) .

(1.64'

Подставляя (1.64)

в

(1.63), приводим его к виду

у

т"

у"

С

С -const ,

(2.65)

\

~ - т - =

откуда получаем два дифференциальных уравнения

Х"-СХ =о;

т " - а гст =о ,

(1.66)

частные решения которых обозначим через Хп (х),

( t) .

Общее решение уравнения (1.63) имеет вид

U(x,t)=ÎL

AnXn (x)Tn (t),

(1.67)

rv=0

где Ап определяются

из граничных условий при решении частных задач

для уравнения (1.63).

Метод плоских волн. При решении плоских (или

пространственных)

задач для изотропных

упругих однородных сред уравнения движения

в

потенциалах

(J> ъ

(р

приводятся к волновым:

д2у

дЧ_

дх2

(1.60)

д2Ч)

д*ч> _

1Ч Г

дх2

дцг

Здесь а и Ъ- скорости распространения соответственно продольной

и

поперечной

волн.

Общие решения уравнений (1.66) могут быть выражены через четы­

ре произвольные функции\

П*.у,ч=%

* f, ( * - * -

У-

(1.69)

дф

ÔV3

д9г

дф

др,

â*>3.

dz ’

т у _ ____*

Их

dŸ

"

* г

dz

дх ’

Ur-

дф

д9>г

др,

(2

dz

дх

Аналогично напряжения €fcy

через Ф и

Yj определяются зависи­

мостями

/ д г Ф

+ î l ï l

â ‘n Y

&JCX = L (ЛФ) + 2M V д х г

дхду

dx d z /*

€

. ki ( c, д гФ

д гу>,

д г9>г

д г9>3 + А

л

'AT 1 c

dxdy

dxdz

дудг

д х г

W

/

M (

.

д гФ

д г9>

д г9г

д 2Фг

д*9 3 \

Z

дудг

* y ‘ *

â z ‘

'

âx d z / J

h дхду.

б'JCZ

-АЛ1

г

^ Ф _

o 'v .

d 'y .

- m (i

дхдг

дх ду

д х г

d z *

д у д z

/

Здесь операторы L~ N - 2 M ; М -

6R ; N = KR0+ — 6R .

*zz s Fz

*x z ш Fî z

t ) i

s

Z=? ± h

(2.5)

?

=

£ 2

РР

р

2

1

2

2

РР

( 2. I I )

к + Ч*+

К

=

к

+ q +

Ма

N0

и

М0 — преобразованны е по Л а п л а с у

операторы N и

А У .

фо

Преобразованны е

величины

перемещений и

напряж ений

ч е р е з

и

^

выражаются

формулами

« o

=

dVzo

■

30 >

" r -ЧФо +

d z

• *$ > o

<*Фо

( 2. 12)

их = ----------- +

4 % o~

к 9 го i

°

d z

« W

= *0

K

#

ï 2 ) Фо |

+ 2Д/0

+

X X

L o r ? 2

e (0)

Г

f i f e

Ч2) Фо ]

+

2М0

L c / z 2 ~

e w

Г

* 4

( * ' ♦

■Ч*)Фо]

+2М,

e r z

L

û f z *

dz* 4 dz

k d z \'

L

( 2 . 13)

“

Me]^ 2 к у ф 0

+ к

“ *

d z

<3 го-* =

M0 [ 2 ?

d<P0

+ î W

d S9to

d z

d z *

У *

( o ; =

d<P0

d \ „

a

d 9so 1 .

A f , ] 2 k d z

+ * Ч К - * V

”

d z 2

V

< * *

J

eiXZ

Общие

решения

ур а в н ен и й ( 2. 10)

Фв* AfCh ( a

z ) + A2 s b ( 4 z ) ;

<?„ » В„ sh(pz) +Bfgcfi (fiz);

( 2. 14)

ВР sh (fiz) + вгг ch (fiZ) ; ^

cA (fi2 ) + B* sA(yîz),

к В н + q b 2i + р B 3 i = 0 ,

l = 1;2 .

(2.15)

Для определения постоянных интегрирования A i, Ь ц имеем

гра­

ничные условия (2.5)» которые в преобразованных потенциалах

ф9 и

(pjo принимают вид

Jz,0

J*,0

J Z

f *

= -/'

• f (0);

.+

f -

.(•>

JX Z , 0

Jxz,o

JJCZ }

(2.17)

и0=j£o[k A! «*n-(pB2,+ qВ3,)/п] - i l "

(2п)!

* / £ [ qA) *

*л+ о»Вп+к в я '> ? гп ]

г гп .

( 2. 20)

О ) / ’

^гп*1

Ч "nfo [ А’

( q B " ~ k В*>)

] (2п + 1)!

Ц>= М, - (pBv + qBJ});

V9= qA,+ (fiB„ + kB31);

(2.21)

К~<**А,+ (qBn-kB„)fi.

Преобразованные перемещения и9,% , иг

через

главные части

U9 , Va t W0

будут таковы»

и' ~ к Ч

V- *

2П

(2п)!

К

ал Г 4 л (0)

2П 2

(о)

v , -

•Г \-kq Qn

C,V9 +(fi-q

Q„ c,)V.'

n*0 [

( 5 ) 7 ;

(2,22)

ч . £ [ - * Ч ' Ч ( k U . . q V . ) +

-i

-2n + 1

U

V я ° Г '

J\(2n+1)

Здесь

*=<7

(2.23)

Таким образом,

перемещения

ио , V„, ит0

через

и„,

V„, W,

выражается формулами

(2.22). Для

определения

Uot V0,

W„

имеем гра-

ния при условиях (2.18), соотношений

(2.21) и разложения гипербо­

лических функций в степенные ряды по

полутолщине h запишутся в ви­

де

*

h

< / * * ’*

№

*

к } £

- * ' л

(°’ >г

24)

Л

{■ [вГ<л '/>♦ *'"]<»*?

-

- [г * У я „ '"'с ,

-

< -к Ч )У "]% +

2П+1

J , { - [ г Л '^ Ч - ( = < '( '- 4)»?гс0)/ " ] «

-

+

♦[ г * 2« г «,.♦ (,* ч,) / ” ]

2 л +1

. м;'

kw . }

26)

Умножая (2.2б) на

<£,(2.26)

на к

и складывая, получаем

2

{- [2о(2 Q(n0)( k \

q ‘ ) c B+ (с0-1 )

<**ргп] (k l/e + q К ) +

п"®

1

L

J

+ ( * V ) [ 2 o s Q

(°' C0+ ( 1 + c0 ) р гп } w 0

} - ---- -

^

J (2n+f)J

= Mo ( b f X z + <i f y z ) .