книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней

» К < - с(

дг” >+

+ 2 J?ÎC

»f»e ,1»>]1 И- М

*

* * ” -

> w" 4

1 Г ( п ! ) гт!(т+1)!

~ В М°

1 Lc/

)я^ + 2с

-@—0 ~1P

(5.35)

t)Xz

t d z*Q"iFr п!(п+1)! ‘

Оператор R , входящий

в (5.35),

является обращением

выражения

( t f + k * ) - 4 k 2OL,/i,

«

, ( &

* )

'

В общем случае вид оператора

R

оложен. Однако для

волновых про-

цеооов приближенно

(5.36)

а операторы

ct=(i-H0M'01h

п-1

(n-1-i) (о).

Û„= Z

X,

п

i=o

»

Ограничиваясь

в (5.35) производными от W не

в ш е второго по­

рядка, для И/ в охучае упругого отераня и упругой

окружащей среди

подучаем приближенное уравнение

1

dzW _ d zW

! *

d t z д г 2

g -Гt o £ - 4 b j ( м , f L _ ) i

-1

p

* L tf У Mo K \ - щ ) \

ранения

с 1

волн сжатия в таком стержне иная:

п 2

и к 0(

с г- с г

0\ З а * -4 Ь ? )

(5.38)

Сг - Со

°~М0

Здеоь

с0

-

скорость

волн сжатия в стерт о

при отсутствии окружаю­

щей среды,

т.е. CQ= b0V(3a$-4b£)/(a*-б2). Как вцдно из (5.38),окорос1ь

С1

зависит от параметров самого стержня и

окружапцей среды.

При

отсутствии окружапцей среды с, = сд г а

для абсолютно жесткой окру­

жапцей среды с, совпадает со скоростью

продольной волны в соответ­

( J _

дЧ/_

ff*W)

b

Mi

a i a o Do

Ц

2 ~ â tz

" <?z2 /

2

M0 b f(3 a 0z - 4 b l )

. d f

1

dzW

d zW\ , г0г п ( at + al bo~ bt

ô*W

d t\ a z d t * ~ d z z ) 8 °l a * b *

6а*0 - З а 0г Ьг0 -^Ьо

d*W

o 3 a j - 4 b l

d *W \

a * b *

â t * â z2

b l

-D 0 M~01( i-Ct ) / / 4 .

(5.39)

а

(о)

d U

(,r/2')Zn

= £ l - c t Q„ i r + ( 4 " v ч Qn

) w ]

n -0

(AJ/)2

Аналогично втисываютоя формулы для напряжений в точках отери-

ня черва главные чаоти U , W

. Как видно» выражения

(5.40) не

зави­

сят от условий контакта при Г=г0, а уравнения для определения U , IV

существенно завиоят от граничных условий.

5 4. Уравнения продольного колебания стерши

при абсолютно жестком контакте

Для нахождения главных частей U0, W0 в случае

абсолютно жестко­

го контакта имеем граничные уоловия (5.9),

которые

для Ау,В/

при­

нимают вид

{[(fit+b*)I0(<K0 r0)- ^

If ( « 0 р0) JAQ -2k\_jbgl0(jb0t*0 ) -

А

^1 (.P oro)~\ & o)

+ ke)K0(«t rg)+

*

J k:1(jbir'0')]B^ji'M0„ f(r $

r0

fo

°^glf (<X0r0)Ag~fig ( f il + kZ~)If (fig t'g) Bg D -

M uo

№

**о)A rfii CPt * к г )k"f(fif fg)BfJ

I'Mo'O fpz

*

(5.41)

G*,Kt(*/ rO)A " кfitfci(fif fig) Bfü *-

}

XkKgC^i Ад) Af “ f i f

k g ( fifP g ) Bf 2 s

^z,0

Вначале

исключим в системе (5.41) постоянные интегрирования А,

n-0 m=oK

nrZ

r>±

~9г* ~ 1V H ~ (1~Ct))Sp J X

' & ” ***

xcpQm ^

^ ( ^

^

x

^

„ 4 т>С и

р ^ - у ^

л < /> 3 * м ,м ;' { - е , u

*

ж

d z *

t c

t W

+ U + c o

д ^ т > -

~ C i

( À < f , ) ~ Ш

>Qn*tm)- T ^ r -£} ciX Ÿ \ Q m x(p

)~Qn 4 rr’)^ +

+

*

R* t cttfP- ~fci')(*n*(i r*+2ci ~ Л<»> Qm

+

+(t-c0

Qn *

* Х<гП *т)Я + M f M * { - (^п)0т -Х(2т)0п )

Ш

*Ъ<*+7) R *( u

-T *t)rtr}< °i X p Q n + 4 n> )

-

" W - f e

X ^ Q n + C i i ï p O m A ^ i *

v- XiW m > ) V U W

„

,

(5.48)

(Ш)2m!(m+f)t "

Ctr*frz^r

ГД0

* ’ m * b

/ * < * > « , * ) ;

O

■ работе СЗО]5

1

a * w

fffW

- г н

dW

+

С*

â i2

â z * '

ь§

■1(2+h ) â z

+

r0 k0 ctf

â £W

-,

0

(5.51)

Z

~tf

âzât J ~

Последнее

для окружапцей винхлеровокой среды

имеет

вид

1

д*\V

дгу/

2

+1о х о 1ПГ ~ 0

х - const .

(5.52)

С*

d i *

9 z 2

Здесь

С0 -

скорость волны сжатия в стержне при отсутствии

окружав-

цей среды.

В уравнении

(5.51)

коэффициенты

З а £

- 4b £

<*0

-)]

-/

(5.53)

V

1 ^

З а § - Ш

а окорость

волны сжатия отличаетоя от

С0 ;

O f - O il

1 + K oto(3cto-‘ib£')-1

(5.54)

f+kQb§C3с(§-4Ь§У*

Уравнение

(5.51)

отличается от

(5.52)

наличием смешанной вто­

рой производной

от W

по

i

и Z Даже из уравнения

(5.51)

видно,

циенты от параметров стержня и среды, а также от радиуса

стержня га .

Из уравнения (5J50) нетрудно вывести уравнения более высокого

по­

рядка по производным и более точно оценить влияние окружающей

орады.

J 6. Уравнения продольного колебания стержня

о учетом температуры

Влияние температурных напряжений оказывается существенным

во

.многих прикладных задачах по расчету колебания стержней. Однако

в

литературе мало теоретических работ, посвященных продольному

коле­

банию вязкоупругих стержней с учетом влияния температуры

(связная

теория) и конечной скорости ее распространения.