книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfг |
Ч 'Ч Ч Ч ' |
п*о A{0)i |
|
* 0 |
' '44 |
< ’ [ 4 V * ? V 4 ] ( « , ' * ^ O t [ / i ' V ^ V 4 ] V ' ] « *
Ш+1
( ^ [ ^ ( - T - î O . ^ r t * / / J « Г ]
(3.17)
2л+7
<£>. Z * Г ‘ " ‘ « 1 ‘ |
*.w - < v < 4 . |
||
Д м вывода уравнений колебания трансверсально-изотропной плас |
|||
тинки необходимо обратить по |
левые части выраждний в системе |
||
(3.17). Левая часть третьего |
выражения |
обращается легко» как и д м |
|
одучм изотропного тела» а левые части |
первых двух непосредственно |
||
не обращаются» так как невозможно непосредственно обратить величннм «/, о</ Однако с учетом теоремы Виета обращаются величины
оС* ♦ |
* |
* У 2 ; о(* оС* * |
У4 |
(3.10) |
; |
1 г |
4*>о |
|
oCf + cCt [ < Ч ”] " [ 4 4 V 4 V ) ] *
V a * 4?)"] î
(3.19)
*, 4* [/*£' Au ] [А<?(*‘*r t v * ’j [ - O * '* **> ♦ 4 ]
|
В выражениях |
(3.17) и (3.16) встречаются такие комбинация |
от |
||||||
« ! • «? ^ |
|
|
< |
вп” ■ « Г * **. « Г - |
• |
|
|||
Таким образом, |
в е л и ч и н н о м |
необходимо выразить через |
|
(3.18) |
|||||
или (3.19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\4 |
В табл. I и 2 показаны зависимости 0^о) и |
Г„(0)от величин |
У . |
и |
|||||
|
|
|
|
п |
п |
о цо |
|
||
я 2JQ |
Как следует из табл. I, и 2, |
/р\ |
/ » |
|
п |
|
|||
|
величины Q „ " Т'п 'при любом |
|
|||||||
выражаются через ^ |
и |
f которые обращаются по к, Ц ,р . |
Следо |
||||||
вательно, для |
Uj, |
V , |
Wf после |
обращения имеем |
|
|
|
||
и’ - ïA V * * |
|
|
« Л и - |
|
- AZ (А* гА" ) м * |
Я |
; |
||
, |
оо |
(П) |
ь |
2п |
V = |
ZT |
Л 2 V |
------ |
|
|
|
|
(2/?; / |
|
(3.20)
-4 |
! I |
2 |
+ [< U +*44 (AnA ~Pjïî) Qn\W \ (2п+Г)!
Здеоь
Л1)_ |
(2) |
Ц |
д* |
|
Тп~ Т < " ; |
э<°>. |
|
|
*n |
» |
|
Так как
du. ôv, |
d% |
где и ., % - главные части перемещений и, v , то, полагая
п
0
1
2
3
4
5
6
Т а б л и ц а |
I |
Q<°>
«; ; *;
0
1
«Г- с о < Х ) Ч ' «'
(<*f+ы1 )*
*î ]
Qs>mt ô + * l f * x[04 + о*?/- 3d.* o(*] +
к * **v*
-4** Ot?] + 3ccj cCj }
Л,0 ’ / 2,0
0
1
9l
0f,0
4_ P4
0f,0 f 2,0
4 ~ |
г.® |
$ifl ^$i,o$t,0 + $2,0
d<f. |
|
d<f |
dy> |
|
u,= —— |
+ -T— |
dy |
â x |
' |
â x |
ou |
|
|
|
подучаем |
|
|
|
|
|
U- A f ; |
V B~Ap |
|
(3.21) |
Обращая систему алгебраических уравнений |
(3.17) |
по k t q ,p , вы |
||
водим точные уравнения поперечного колебания трансверсально-изотроп ной вязкоупругой пластинки:
2 , { [ |
л |
|
л |
',! , ( f |
^ |
|
|
л ) |
- л ,, |
/ С |
|
а „ ) ’, |
|
« [ 4 |
|
|
( я ^ - И . л ) ■ . ( / . £ ■- и , л ) * ] О |
||||||||||
-/^44 (<4в + /444) |
£ А п О^А + А ^ А ^ |
(Аа + А 44 ) |
Q n+t + |
||||||||||
+ 4 » М , |
о 4 ** )' |
|
|
р Л |
|
J |
|
л ‘\ |
Л ; |
||||
|
|
ГЫ.о ^4. АУ |
F |
d t* ) « » ] |
|
(гя)/ |
(3.22) |
||||||
П*0 |
А ^ |
|
|
|
|
|
- А„1 |
|
|||||
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ А |
. ( |
р — - - M ) « |
|
|
|
- ■ V |
Я |
] |
|
||||
|
г дгг |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-А |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
А*"*' |
- |
|
Я |
^<*«+,+ ( г & |
- |
|
|
) « . ] |
и/) |
|
А |
|
||||
|
|
|
i |
|
Г2яЛ;/ |
|
|||||||
|
|
|
( ° к |
i t |
ду |
), |
|
|
|
|
(3.23) |
||
|
|
|
44 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
||
СО |
. (п+1) |
л |
л * * " , |
К |
| |
«Кг* |
|
(3.24) |
|||||
Г |
Л 8 |
|
А у |
|
|
■ *9 |
|
)• |
|
|
|||
ПшО |
|
|
(2п*Г)! |
|
|
|
|
|
|
||||
Ив уравнений (3.22) и (3.23) моино подучить и разделенные урав |
|||||||||||||
нения относительно потенциала |
< |
и главной части поперечного смеще |
|||||||||||
ния IV, а потенциал |
у удовлетворяет уравнение |
(3.24). |
|
|
|||||||||
Черев величины |
р, </>, |
IV м о т о |
найти все |
составляющие |
тензора |
||||||||
напряжений в каждой |
точке пластинки |
в зависимости от времени t . |
|||||||||||
Из (3.22) - (3.24) вытекают приближенные уравнения типа клас сических, описывающих продольное колебание. Если в них ограничиться первыми слагаемыми в суммах и внешние усилия положить равными нулю» то для потенциалов у и (р и главной части смещения W записываем уравнения [29]
(3.25)
Из (3.22) - (3.24) нетрудно вывести и другие приближенные урав нения» содержащие производные по времени и координатам более высоко го порядка и учитывающие влияние геометрической дисперсии,т.е.влия ние толщины пластинки, на распространение продольных волн.
Для приближенных уравнений (3.25) аналогично выписываются при ближенные выражения для перемещений:
(3.26)
Приближенные выражения для напряжений àCj- через 1/г |
и |
Vn W, |
определяемых по формулам (3.26), можно получить исходя |
из |
формул |
(3. 1).
В формулах (3.26) и уравнениях (3.25) смещение W выражается через потенциал у исходя, например, из второго уравнения (3.23) при ближенно. Поэтому продольное колебание трансверсально-изотропной ул-
ругой пластинки описывается двумя независимыми потенциалами р и <f), как и в случае плоского деформированного состояния, однако эти по тенциалы удовлетворяют более сложным уравнениям (3.22) - (3.24) или получаемым из них приближенным.
|
|
|
|
|
|
5 3. |
Поперечные колебания |
|
|
||||||
|
|
трансверсально-изотропной пластинки |
|
|
|||||||||||
Поперечные колебания вызываются внешними усилиями, |
когда |
Fz = |
|||||||||||||
m~Fz s fx |
'> |
Fxz |
= F* z |
|
|
& Ç |
mfv* • a постоянные |
интегрирова |
|||||||
ния Д, » А г- Bj-O. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для |
U/"! |
V f! |
|
имеем представления |
в виде рядов |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 2п + 1 |
|
|
|
|
vf> = |
£ |
( с гс с Г * |
* |
/ |
" |
— |
7 7 ; |
|
|
|||||
|
1 |
|
п-0 |
\ |
1 |
1 |
|
(2п-+ п / |
|
|
|||||
|
|
|
vf(9>- |
£ |
|
вг/ 2п + 1 |
, 2n*t |
|
|
|
(3.27) |
||||
|
|
|
|
(2л+1)! |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
ПиО |
|
|
|
|
|
|
|||
|
,(») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2л){ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ввеоти главные части величин |
|
|
|
|
|
||||||||||
I |
<*t |
+ С2 оС2 ; |
к |
= ? В г ; |
И/0 ж 4 |
Ч |
+ |
* |
(3.28) |
||||||
то правые части |
(3.27) |
примут вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||
u f ' - |
|
|
|
.(•) |
|
K l (?+%*)*PP* |
п(л) |
ч |
|
|
|||||
£ |
|
{ |
[< |
П+1 |
|
|
|
|
|
г ] |
|
|
|||
1 |
п»0 |
I L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
* |
|
 f lS 1 |
||
|
|
00 |
Л |
„2л+7 |
|
' |
Г |
р |
к |
|
я»оJ |
(2n+t)! ’ |
||
|
|
"•o' |
||
.(•) - |
f |
a « |
г.м |
|
«<Г |
IV*> |
|||
" 5 » |
Г ( * * Ч * ) ( Л « + >4«) 1 > |
|||
» К 1 < г л > » ! ’
(3.29)
_
*iU
- (и * + ос* ) + A%* ( к *+ q*)+ р р г ] U0 +
|
* S |
|
P ? û<0> |
r W |
|
|
||
|
|
AO |
|
|
|
'n b } < ü |
|
|
Подставляя представления (3.29) в граничные условия (3.4), по |
||||||||
сле преобразований, аналогичных |
в ш о д н е н н ш |
в предыдущей параграфе, |
||||||
подучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ [ * : ’ ( « |
|
A(S |
(**+ 9*)+J>P* |
|
|||
Г |
- |
|
|
|
Q(*) |
|
||
п*0 |
|
|
|
|
AS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
*2 Q%, |
|
/AS Г |
|
в |
Л |
||
(ьЧ*)(аР+ л£ ) |
\*£ I ^ (и+Ч )+РР\ ~ |
|||||||
|
~A(ï l |
(* * + А ) |
+ А„ ( * г+ q i) + p p zf) ] К + |
|||||
♦ | ф | <*’* «“ic-C* >«2 >[ |
л р ‘] & |
|||||||
К ! |
|
|
гп* 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(•) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2п + 1)! |
Г Г ; |
|
|
|
||
|
I Г |
|
|
|
|
|
||
- |
A S |
я М |
A S { к г+ д*)+ р р г |
|
||||
n - o [ L ^ + x w w " |
|
|
А2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r.w |
- |
|
л W |
Д ^ (Л**Я*)+ЯР2n<»>1 у |
|||
|
яо |
я*» ~ |
гг:— |
775 ” “» J |
||||
A S + A ™ п |
Д£>+ Д « |
|
|
дг*дг |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
« л * |
Ю |
,(•) |
|
|
|
|
|
]•»}■ |
г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Zn |
|
|
|
|
|
(э-м> |
|
|
(2п)! |
|
[ * Х Г ( Ч £ ч р Ъ |
||||
г |
а,я К |
(2л)! |
л-0 |
J |
Обращая |
(3.29) по |
к, q ,p , имеем |
|
|
|
и* я £ о |
|
( Р п * - А« л ) * " ] и ‘ |
|||
~л (^зз |
(А гз*А *4 ^ ( fâ t * ~ ^ 44 |
(2„+ i)i ' |
|||
|
Vf=1 |
п=0 4"’(V)(2n + î)! |
|
||
|
|
|
И |
,2п+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.31) |
W. |
{" ^ |
®я(^» + ^44 ) [Л * |
( р f o l |
~ ^44 ^ “ |
|
't= |
|||||
-А ♦4(•) К ° + я
г е»
+ № ( ? & - * « w }
(2п)1
Дня определения U,V,W после обращения (3.30) по к, Ц, р подучим сиотецу интегродифференциальных уравнений
|
к |
{ К |
а» ( г 0 ~ Л» лЖ |
|
||
~^зз(Аа * А ^ ) QHfJ |
|
|
( P â t1 ~ |
) _ |
||
|
|
~ ^44 |
à + р |
-jp - |
^ + |
|
+ |
[“ |
( А » ^4*) А |
|
^44 ) ^РÿjT'AtyA ^ ^Л+ |
||
+ (flit* |
~ ^ |
4 ) ^ 44 |
^л+/ + |
|
~Р Л 7 )^")] |
|
|
|
h 2" *1 |
|
|
|
|
“ (5^7)7 |
tt-æ) |
ZT
п=о
^п~^1з(^)з+^ ^ ) @п+1~
-(/4М + Aw T 'Q n iP jjb -Afi à)]A < p -
-4 [И,3Qn(A33А ^) (/^2-'4<М(,4)+Л22<?я]И/|ч«
„ h*” - л~1 ( dfxi- л df**\ |
(3.33) |
Щ Г ~ А* * { ~ ^ r + ~ à y j ' |
|
где U м V заменены потенциалами </,(}> по формуле (3.21). Уравнения (3.32) и являются точными уравнениями поперечного колебания транс версально-изотропной вязкоупругой пластинки. Значения операторов Qnf
Тп иа выражений (3.31) |
и (3.32) |
приведены |
в табл. I и 2.Зная |
(3.31) |
ДДД величин Uu V19 Wu по формулам |
(3.1) подучаем выражения для ве |
|||
личин всех напряжений в |
точках пластинки. Из |
системы уравнений |
|
|
(3.32) нетрудно вывести приближенные уравнения типа уравнений Тимо шенко для упругой пластинки.
Следует отметить» что прогиб W |
и потенциал <р связаны мевду |
||
ообой одним из уравнений (3.32). |
|
|
|
Примечание. В практике возникают задачи» когда |
на |
пластинку |
|
действуют внешние усилия |
|
|
|
&XZ~^1X Z ’ |
( z ~h)9 |
|
(3.34) |
|
|
|
|
0Zz= 0x z = 0yz=O |
( z = - h ) . |
|
|
Уравнения колебания пластинки в атом случае более сложные, чем |
|||
при чисто поперечных колебаниях. Задачи с условиями |
(3.34) решают- |
||
оя на оонове уравнений» подучающихся из суммы уравнений» |
выведенных |
||
из точных уравнений |
чисто продольного и чисто поперечного колебаний, |
|
приведенных в 5 I и |
2 настоящей главы. Подробнее об атом сказано в |
|
первых параграфах гл.2 при выводе уравнений колебания |
изотропной |
|
вязкоупругой пластинки» т.е. пластинки» обладающей простейшей ани зотропией* Более сложным видом анизотропии является ортотропная. Ис следование ортотропной пластинки сопряжено с громоздкими математи ческими выкладками» поэтому в следующем параграфе рассмотрим ортотропцув пластинку в плоской постановке» т.е. когда внешние усилия* приложенные к ее поверхности» не зависят от одной из координат.
§4* Колебания ортотропной пластинки
Вслучае ортотропной вязкоупругой пластинки зависимости G ~ £ содержат уже девять вязких операторов:
|
|
ia(€zz) > |
буу ~А i2(^xx ) |
)+A23(szz ) ; |
|
|
|
(3.35) |
^zz=^ 1 |
3 я )+ ^ 2 3 |
У+^33^zz )> |
6 y z - A " ( ey Z)i |
àx z=As s (ex z ); бХу=А66(€Xy). |
|
Уравнения движения для пластинки как для трехмерного тела в пе ремещениях приводятся к системе
+ И t3+As s ) ( £ ^ ) +(Az3+A+*