Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

У хг х,

Задача	14, 7. Упростить уравнение линии
		34х2 — 12ху + 18уг + 24л: — 72у — 504 = 0.
Найти в первоначальной			системе координат уравнения осей
Симметрии.		Кривая — эллипс.		Его	каноническое	уравнение
О т в е т .
х 2 и2		(фиг. 14,8). Уравнение осей симметрии
~i + -j\| = l
		Зх — у “I- 2 =		х + Зу — 6 = 0.
Задача	14, 8. Упростить		уравнение		линии
		Оху + 8у2— 12х — 26у + 1 1 = 0 .
О т в е т .		Кривая — гипербола. Ее			каноническое	уравнение
у — ^- = 1		(фиг. 14,9).

ПЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Определители и системы линейных алгебраических уравнений.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Вычисление определителей основывается на их известных свой

ствах, которые относятся к определителям	всех порядков. Вот
эти свойства:	столбца)	определи
1. Если переставить две строки (или два
теля, то определитель изменит знак.	столбцов	(или двух
2. Если соответствующие элементы двух

строк) определителя равны или пропорциональны, то определи тель равен нулю.

3.Значение определителя не изменится, если поменять ме стами строки и столбцы/ сохранив их порядок.

4.Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют

общий множитель, то его можно						вынести за		знак определителя.
5. Значение		определителя			не	изменится,		если	к элементам
одной строки	(или столбца) прибавить соответствующие элементы
другой строки	(или столбца), умноженные на одно и то же число.
Для определителей			третьего		порядка		это свойство		может быть
записано, например,			так:
	CL\	Ь-±	Сj	а, +	ka2 bx+ kb2 сх+ kc2
	#2 ^2 ^2 =			а2		bо	с2
	а3	^3	С3	а3		Ь3	с3

6. Определитель второго порядка вычисляется по формуле

= а А - а А -

(15,1)

7. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

6^1	Cj	а2&3С! + а3Ьгс2— a3&2cL—
^2 ^2 ^2 = аА са +		а2&3С! + а3Ьгс2— a3&2cL—	(15, 2)
^3	^3 Сз	аф1^з

Фиг. 15,2.

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего

порядка (см. фиг. 15,1 и фиг. 15,2).			произведения соединен
По схеме, приведенной на фиг. 15, 1,
ных элементов берутся со своим знаком,			а	по схеме фиг. 15,2 —
с обратным. Величина определителя равна				алгебраической сумме
полученных шести	произведений.				дополнением эле
В определителе порядка п алгебраическим
мента, стоящего на	пересечении	£-го столбца			и /-й строки, на
зывается определитель порядка		(п — 1),	получаемый из данного
вычеркиванием в нем строки и столбца,			на	пересечении которых

стоит этот элемент, причем к этому определителю присоединяется множитель (—l)k+ly где (k + /) — сумма номеров вычеркнутой строки и столбца. Алгебраическое дополнение элемента, рассмат риваемое без множителя (—l)k+l9 называется минором этого эле мента.

Пример. В определителе 5-го порядка

	bi Ci	d\
D *= а3	^2 С2	^2 ^2		(15, 3)
D *= а3	b3с3	d3	е3	(15, 3)
(Z4	^ 4	£ 4 d 4	£ 4
	с5	d3	е5

алгебраическим дополнением, соответствующим элементу d3, будет определитель 4-го порядка

CL1 Ьj Ci С| (->Л)3+4 do Ь2 ^2 ^2

Д4 ^4 С4 ^4

#5 ^5 г5 е5

Здесь в показателе степени у (—1) три—номер строки, че" тыре—номер столбца, на пересечении которых стоит элемент d3.

8. Определитель равен сумме произведений каждого элемента некоторой строки (или столбца) на его алгебраическое дополнение.

Условимся обозначать элементы определителя маленькими буквами, а их алгебраические дополнения—соответствующими большими буквами с теми же индексами. Так, алгебраическое дополнение элемента а3 будем обозначать через Л3, алгебраи ческое дополнение элемента d4— через D4 и т. д. На основании свойства (8) определитель (15,3) может быть представлен, напри мер, в таком виде:

D — #3^3 Ч~ Ь3В3 -Г- с3С3

d3D3-Ь в3Е3.

Это равенство

представляет

собой

разложение

определителя по

элементам третьей

строки. По

свойству

8 вычисление

определи

теля

порядка п сводится к

вычислению

определителей

порядка

( я -

1).

9. Если все элементы какого-нибудь ряда определителя, кро

ме одного, равны нулю, то

определитель равен этому не равному

нулю элементу,

умноженному на его алгебраическое дополнение.

С помощью указанных свойств можно вычислить определитель

любого порядка.

Задача

15,1.

Вычислить

определители

1 2

4 l | ; 2) 0 1 » 3) —1 6

Р е ш е н и е .

По формуле (15,1)

имеем

1) 4 i I = 2 - 1 - 4 - 7 = - 2 6 ,

1 - 0 - 2 = 1.

6 1 = 1

Задача

15, 2 (для

самостоятельного

решения).

Вычислить определители

2 —71

1—

;

—2 —3

1) | —4 —2| ; 2)

2—

2 •

О тв ет .

—32;

2) 3; 3)

Задача

15, 3.

Вычислить

определители

1 3 5

2 4 —1

2 1

1) 0 2 1 ; 2) 7 3

2 ; з) 3 2 1

1 —2

—3

Р е ш е н и е . С помощью формулы (15, 2) получаем

	1	3	5
	0 2 1 = 1 • 2 • 2 + 0 • 1 • 5 + 4 • 3 • 1 — 4 • 2 • 5 — 0 3 - 2 —
	4 1		2	—1 1		1 = 4 + 0 +			12 — 40 — 0 — 1 =				— 25.
	2 4 —1
2)	7 3		2 = 2 - 3 - (—2) + 7 1 - (—1) + 3 - 4 • 2 — 3 - 3 (—1) —
	3 1 —2				— 7 - 4 - ( —2) — 2- 1 -2 = — 12 — 7 + 2 4 + 9 +
	2	1	1			+	56 — 4 = 66.

3)	3 2		1 = 2 - 2			(—3) +	3 - 4 - 1 + 1			1- 1 — 1 - 2 - 1 — З х
	1 4—3 х1				(—3) — 2 • 4 • 1 = — 12 +						12 + 1— 2 + 9 — 8= 0.
	Задача 15,4 (для самостоятельного решения).
Вычислить определители												1 —2
				2 4 — 1			4 7		1		3
			1) —4 2			1 ; 2) 2 3 —4 ; 3)					1 2 —3
				3	1	5	8 1		3		2	—1	4
	На каждом из этих определителей проверить, что сумма
произведений элементов какого-нибудь										ряда		на алгебраические
дополнения,				соответствующие				элементам			параллельного ряда,
равна		нулю.		1)	120;	2) —236;		3)	15.
	О т в е т .

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид

<V +	M =	<M	(15,4>
а2х +	Ъ2у =	с2)

Определителем этой системы называется определитель, со ставленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определи тель

аг

		й2	Ь2			(15, 5)
будем обозначать буквой	D.					(15, 4)
1. Если определитель системы не равен нулю, то система						(15, 4)
имеет единственное решение, которое находится по формулам
Cl	bi			а1	Cl
Сч	Ъг	•	11--	а.2	Сг	(15, 6)
аг	bi	>	у —	+	Ьх	(15, 6)
а2	b2			й2	Ьг

В этом случае говорят, что система — совместная или опреде ленная.

Определители, стоящие в числителях этих дробей, будем обозначать соответственно через Dx и Du.

Итак, значение неизвестного системы (15,4) равно дроби, знаменатель которой есть определитель системы, а числитель есть определитель, получающийся из определителя системы заменой в нем столбца из коэффициентов при определяемом не известном столбцом свободных членов.

2. Если же определитель системы D равен нулю, но, по крайней мере, один из определителей Dx и Dy в числителях формул (15,6) не равен нулю, то система решений не имеет. В этом случае говорят, что она противоречива, или несовместна.

3. Если же равен нулю не только определитель системы, но и определители Dx и Dy, а хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то одно из уравнений системы яв ляется следствием другого, и система (15,4) двух линейных уравнений с двумя неизвестными приводится к одному уравне нию, всякое решение которого является одновременно и реше нием второго уравнения. В этом случае система допускает бесконечное множество решений, и о ней говорят, что она не определенная.

II. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет

вид
aLx +	Ьгу -f Cjz = dx'
а2х +	b2y-f-cs? = d2	(15,7)
а3х +	Ъъу + c3z = d3 .

Щ bx Сх

Определитель	D = и2 bo с2	(15, 8)
	Щ bо Со

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется

определителем системы.							то система (15, 7) имеет
1. Если определитель системы D Ф 0,							то система (15, 7) имеет
решение,	и притом		единственное.		Это		решение			находится по
формулам
	dy by Су			dy dy Су				аЛ bx dx
	d% Ьгу	С2		d3 d<2	С<у			u2	b2	d2
х =	d3 b3	с3	и —	- аз d3	с3	•	у ---	a3	b3	d3	(15, 9)
х =	dy by Су		> у —	dy by с{		i	c	dy by CyI			(15, 9)
	d% ^2 ^2			CL%Ь<2 С<2				d2 Ь>2 C3j
	а3 Ь3	с3		a3 b3	c3			<h	b3	c31

Из эпюго заключаем, что значение неизвестного системы (15, 7) равно дроби, знаменатель которой есть определитель системы,

а числитель есть определитель, получающийся из определителя системы заменой в нем столбца из коэффициентов при опреде ляемом неизвестном столбцом свободных членов.


	Определители, стоящие в числителях дробей									(15,9), мы будем
обозначать			соответственно через Dx, Dy, Dz.							из	его миноров,
	2. Если D = 0, но,				по	крайней		мере,	один
и хотя бы один из				определителей				Dx, Dy и Dz не			равен нулю,
то	система		(15, 7) решений			не имеет. В этом случае говорят, что
она	противоречива,			или несовместна.
	3.	Если	D = 0 и		все	определители,			стоящие в числителях
дробей		(15,9), — Dx, Dy, Dz — равны нулю, т. е. если
				D = Dх = Dy = Dz =					О,
но хотя бы один из				миноров в			определителе D не равен нулю,
то одно уравнение системы						(15,7)		является следствием двух дру
гих, и система трех				уравнений			(15,9) приводится				к двум урав

нениям, причем решения этих двух уравнений удовлетворяют


третьему. В этом случае система				(15,9) имеет бесконечное мно
жество решений и называется неопределенной.
4.	Если же все миноры в определителе D равны нулю, но хотя
бы один		из	миноров в каком-нибудь		из	определителей Dx, Dy,
Dz не равен			нулю, и хотя бы один		из	коэффициентов			при	не
известных		не	равен нулю, то система		несовместна и решений					не
имеет.	Если в		определителях D, Dx, Dy, Dz все				миноры		равны
5.
нулю,	но	хотя бы один из коэффициентов при неизвестных
нулю не равен, то два уравнения системы являются								следствием
третьего,		и система трех уравнений приводится					к одному урав
нению, является неопределенной и имеет бесконечное								множество
решений,		причем решения этого		третьего		уравнения		удовлетво
ряют первому и второму уравнениям.
Задача		15, 5. Решить систему		уравнений
			х + 2у = 8]

За: —у = 3

Р е ш е н и е . Прежде всего вычисляем определитель D системы, стоящий в знаменателях дробей формул (15,6):

D =	1	2	7.
	3 —1

Так как D =£ О, то заданная система — совместная и опре деленная, т. е. допускает единственное решение. Формулы для определения х и у запишем по (15,6) так:

8	2				1	8	Dx =	8	2	- 1 4 ;
3 —1		- •	//	--	3	3	Dx =	3 —1		- 1 4 ;
1	2	»	У		1	2	’ Dy =	1	8	= — 21.
3 —1					3 —1		’ Dy =	3	3	= — 21.

Определитель, стоящий в знаменателях двух дробей, уже вычис лен и равен D = — 7;

х	£*	14 = 2; х = 2;
	D
		3.

Задача 15, 6. Решить систему уравнений

х — у = 3 1

Зх — 2у = 1 )

Р е ш е н и е . Вычисляем определитель системы

1 —1

D = 3 —2 = 1;

так как £>=£0, то система — совместная и определенная, т. е. допускает единственное решение. Неизвестные х и у найдутся по формулам

3	—1			1	3		Dx =	3	—1
1	—2	•	11--	3	1		Dx =	1	—2
1	—1 - >		у —	1	—1	’	^ =	1	3
3	—2			3	—2	’	^ =	3	1

Знаменатель этих дробей D — 1				был вычислен		раньше:
		Y = — 5; х = — 5;
		р =	-	8; у = — 8.
Задача 15,7 (для самостоятельного решения).
Решить систему уравнений
		х + Зу = — 21
		Зх — у =		7]'
О т в е т ,	х = 1,9;	у = — 1,3.
Задача	15, 8 (для	самостоятельного решения). Решить системы
уравнений:
1) * + 4у = 12 1		2) 13* — 12у = —			91 3)	3* + 5г/ =	121
3* — 2у — — 6 )»		2х+	Зу=		18/*	2* + 7 у =	191-
О т в ет . 1) * = 0; у = 3; 2) * = 3; у = 4; 3) * = — 1; у = 3.
Задача	15, 9. Решить систему		уравнений
		2х + Зу =		51
		4х + 6у = 7/•

Р е ш е н и е . Составляем	определитель системы D =	12 3	= 0.
		4 6
Так как D = 0, то система	или несовместная, или неопределен

ная. Составляем определители, стоящие в числителях дробей формул (15, 6):

5 3

Dx = 7 6 = 9 ф 0.

Так как D = 0, a Dx Ф 0, то система несовместна, т. е. решений не имеет. Геометрический смысл нашего заключения состоит в том, что уравнения, входящие в систему, есть уравнения двух параллельных прямых, а так как параллельные прямые не пере

секаются, то решений предложенная система не	имеет (прямые
2х + 3у — 5 = 0 и 4х + 6у — 7 = 0 параллельны,	так как коэф

фициенты при соответствующих текущих координатах пропорцио-

Нальны:	j2- = -3И\ .
Задача	15, 10. Решить систему уравнений
	Зх — 4у = 5 \
	6х — 8у = Ю Г
Решение. Составляем определитель системы
	D = 3	— 4 = 0.
	6	— 8

Так как определитель системы равен нулю, то может ока заться, что система или вовсе не имеет решений, т. е. несо вместна, или является неопределенной, т. е. допускает бесчис ленное множество решений (напоминаем, что система уравнений называется совместной и определенной, когда она имеет решение, и притом единственное). В нашем случае D = 0. Вычислим

Dx и Dy\

Dx =	5 — 4		= — 4 0 + 4 0 = 0; Dx = 0;
	10 — 8
Dy =	3	5	= 30 — 30 = 0; Dy = 0.
	6	10

Таким образом, D = 0, О, = 0 и D„ = 0. Это значит, что система неопределенная. Действительно, если обе части второго уравне ния разделить на 2, то получится первое уравнение, и система двух уравнений сводится к одному уравнению с двумя неизвест ными, а именно:

Зх — 4у = 5

и имеет бесчисленное множество решений, заключающихся в фор муле

Давая произвольные значения неизвестному х, получим со

ответствующие значения

у.

Задача

15, 11 (для самостоятельного решения). Решить системы

уравнений:

1) 15х— у =

\ .

2) Зх —

51/ =

П .

3) 2х+3«/ =

17\

12х +

\Ъу =

25 J ’

6х — 10«/ =

5} ’

4х +

6г/ =

34 j '

О т в ет .

х =

</ =

система несовместна;

3) система

яв

ляется неопределенной.

уравнений

Задача

15,12.

Решить систему

~ Ь 2х г

Хд —

3 1

2хг -f- Зх2-{- х3 =

1 г.

хг— х2— х3 =

3 I

Р е ш е н и е .

Составляем

вычисляем

определитель

системы:

D =

2 —1

= 9;

D Ф 0.

1 —1 —1

Это значит,

что. система

совместна

и определенна, т. е. имеет

решение, и притом единственное. Формулы (15, 9) для

определе

ния неизвестных

дают

—3 2 — 1

1 —3 — 1

1 2 — 3

— 1

2 — 1

3 — 1

1 — 1 — 1 • V —

3 — 1 . • у = - 1 — 1

2 — 1

«*2

2 — 1

Л3 —

2 — 1

1 — 1 — 1

Определитель,

стоящий

знаменателях этих

дробей

нами

уже вычислен. Он равен 9.

Dx =

18;

Dy = — 18;

Dz =

Задача 15,13. Решить систему уравнений

Зх+ ( / + ? = — 2	1
5х— у — г = 10	L

х — у + 5г = —12 *

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги