книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Если же известны прямоугольные координаты х и у точки, ее полярные координаты определяются по формулам

к § И, гл. 1). Два знака в формуле для определения г появи­

бранный знак, и по знакам sincp и cosep установить четверть, в

которой находится полярный угол ср. Само вычисление угла ® по таблицам тригонометрических функций следует вести по фор­ муле (7, 3).

Укажем также, как следует в полярной системе координат построить точку М по ее полярным координатам г и ср. По за­ данному полярному углу ср строим ось, проходящую через полюс

совой стрелки на угол ср. На этой оси откладываем отрезок дли­

к полярной оси ОР (положительное направление указано стрел­ кой) и отложим от полюса в положительном направлении оси ОР1 отрезок ОМ, равный трем единицам масщтаба. Конец М этого отрезка и будет искомой точкой.

Задача 7, 2. Построить в полярной системе координат точку

* ( « . т )

Задача 7, 3. Построить в полярной системе координат точку М ( ~ 2,

Р е ш е н и е . Проведем через полюс О ось ОЯ, под углом те

к полярной оси (положительное направление на ней указано стрелкой на фиг. 7, 3) и отложим от полюса в отрицательном на­ правлении оси 0Рг отрезок ОМ, равный двум ед. масшт. Конец этого отрезка и будет искомой точкой.

Задача 7, 4 (для самостоятель­ ного решения). В полярной си­ стеме координат построить точку

Задача 7, 5. Прямоугольные координаты точки А (2, 3). Найти ее полярные координаты.

Р е ш е н и е . По формулам (7,2) получаем г = ±1^13. Выби­ раем по нашему усмотрению знак перед корнем, например, плюс.

Тогда г — 1/13, sintp = c°s у = у=^ • Так как sin <р > О

и coscp>0, то угол ср находится в первой четверти. На основа-

нии формулы (7, 3) tg <р= -3J ; по таблицам находим, что ср = 0,98.

А (— УТЗ, 4,12). Постройте точку по этим координатам и убе­ дитесь, что она совпала с ранее построенной.

Задача 7, 6 (для самостоятельного решения). Найти полярные координаты точки А, прямоугольные координаты которой ( ~ 1, - 1).

Задача 7, 7 (для самостоятельного решения). Прямоугольные координаты точки А (2, — 2). Найти ее полярные координаты.

Ответ . Л ^2У2, у icj или Л | — 2У 2, -|-itj.

Задача 7, 8. Найти прямоугольные координаты точки Л, по­

получаем

* = 2co sy = 2- ^ = У 2; x = V%

у = 2sin-J- = 2. iQ i = Y % у = У 2.

Задача 7, 9. Найти прямоугольные координаты точки, поляр­

ные координаты которой Л | — 3, у u j .

Р е ш е н и е .

Задача 7, 10 (для самостоятельного решения). Найти прямо­ угольные координаты точки Л, полярные координаты которой

(2. f *)*

Ответ , х — 0; у = — 2.

Задача 7,11. Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.

Р е ш е н и е . Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось сов­ местим с положительной полуосью абсцисс (фиг. 7, 4)*.

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде

XCOS а + у Sin а — р = 0.

Формулы перехода (7, 1) имеют вид

;c = rcos<p, г/ = г sin <р.

*

В этом уравнении постоянными величинами являются р и а, величины же г и ср — переменные: это текущие полярные коорди­ наты точки на прямой (последняя формула может быть получена

Теперь найдем уравнение четырехлепестковой розы в прямо­ угольной системе координат, причем напоминаем, что начало

Отсюда

± V х 2+ у2 (х2+ у2) —

— а (х2— у2).

Возводя обе части последне­ го уравнения в квадрат, полу­ чим окончательно

(х2 + У2)3 = а2 (я2 — У2)2.

Задача 7,13 (для самостоя­ тельного решения). Построить кривую

г= 4 cos Зср

инайти ее уравнение в прямоугольных координатах при условии, что начало прямоугольных координат совпадает с полюсом поляр­ ной системы координат, а положительная полуось абсцисс совпа­ дает с полярной осью.

Ук а з а н и е . Углу ср придавать значения от 0 до тс через про­

Постройте, точки с координатами (г, ср) и соедините их плавной кривой (фиг. 7, 14—7, 18). Точки кривой для значений тс < ср < 2тс (фиг. 7,16 и 7,17) совпадут с построенными на фиг. 7,14 и 7,15.

Кривая г = 4 cos Зср называется трехлепестковой розой (фиг. 7,18). Для преобразования уравнения этой кривой к прямоугольным ко­ ординатам надо выразить cos Зср через cos ср:

Уравнение кривой r = 4cos3cp перепишется теперь в виде г = 4 (4 cos2<р— 3 cos ср),

или

г = 16 cos3<р— ] 2cos ср. Применить формулы (7, 2).

Ответ , (х2+ у2)2 = 4х (х2— 3у2).

Задача 7, 14 (для самостоятельного решения).

Построить кривую r = 5sin3cp и найти ее уравнение в прямо­

уравнения, то очевидно, что кривая расположена симметрично

исследование помогло нам значительно упростить вычисления, так как теперь, вместо того, чтобы придавать полярному углу <р зна­ чения от <р = 0 до «р = 2ic, мы ограничимся значениями для ® только из первой четверти (кривая изображена на фиг. 7,20).

Задача 7,17 (для самостоятельного решения). Построить кри­ вую

Перейдем к полярной системе координат, расположив ее так, как было указано в предыдущей задаче. Используя формулы (7, 1), получим уравнение кривой в полярной системе координат

_ 2 У cos 2?

^’ cos* ср

Так как полярный радиус г может принимать только действительные значения, то cos2<p, стоящий под знаком корня в полу­ ченном уравнении, не может быть отрицательным, т. е. должно быть cos2<p>0. Эго значит, что угол 2ср должен находиться или в первой, или в четвертой четверти. Но мы уже выяснили, что достаточно построить кривую только в первой четверти, а поэтому будем рассматривать значения 2ср, удовлетворяющие условию

0 < 2<р < у . Отсюда следует, что для построения кривой в пер­ вой четверти углу ip следует придавать значения от <р= 0 до <р= = у . Эскиз кривой показан на фиг. 7, 21.

Задача 7.18 (для самостоятельного решения). Построить спи­ раль Архимеда г = аср (а > 0).