Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

жение вектора а по трем координатным осям выражается фор мулой

а — axi + ayj +	azk,	(16, 10)
где ах, ау и аг— проекции вектора	а на координатные оси Ох,
Оу и Oz.
Величины ах, ау и аг— проекции вектора а на		координатные

оси — называются координатами вектора*. Если вектор а имеет начало в начале координат, а его конец А имеет координаты х, у и г, то тогда его проекции на координатные оси равны координа там его конца:

ах = х; ау = у, аг ~ г.

В этом случае вектор а			назы
вается радиусом-вектором точки А .
Радиус-вектор точки обозначается
обыкновенно через г (фиг.			16,6)
r = xi + y~j + zk,			(16,11)
а модуль	радиуса-вектора		точки
А (х, у, г) вычисляется по фор
муле							Фиг. 16,6.
r = J/r> + */2+ z2.			(16,12)				Фиг. 16,6.
r = J/r> + */2+ z2.			(16,12)
15.	У г л ы , образуемые			вектором	а	с	координатными осями
Ох, Оу и Ог, определяются			из	формул	(16, 3)		и (16, 4):
	cos ос =	— =
		а		V al + al + ai ’
				V al + al + ai ’
	cosf =	-^ =		А ...		= ;	(16, 13)

аV ai + ai + ai

cosT = ^ =

А - .....

а1f al + al + al

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются на

правляющими косинусами вектора а.				имеет место формула
	Для направляющих косинусов вектора			имеет место формула
		cos2a -f cos2р -f cos2т =		1,		(16, 14)
т.	е. сумма квадратов косинусов углов,			образуемых		вектором
с	тремя	взаимно-перпендикулярными	осями,		равна	единице.
	* Если	вектор а имеет координаты ах, ау,	аг,	то это	обозначается так:

« К V °г}-

Е с л и | а | = 1 ,

т.

е.

если

а — единичный вектор, обозначаемый

обыкновенно

через

а0,

то

его проекции на

координатные оси

вы

числяются

по формулам

ах = 1

•

cos а;

а°у

= 1

cos (3;

а°2 =

1 ■cos 7,

(16, 15)

т.

е.

проекции

единичного

вектора

а0

на

оси

прямоугольной

системы координат

Ох, Оу и Oz равны соответственно

направ

a cosв = ah

ляющим косинусам этого вектора. Имеет

место

формула

а0 =

i • cos а +

j cos p + k • cos 7 .

(16,

16)

16.

Если

даны два

а = ах - i +

ау - j+ аг• k,

b — bx • i -f- by *j + b2 • ky

a ± b = (ax + bx) i + (fly ± btJ) j +

Фиг. 16,7ь

(flz ± b2)k

{a + b)x = ax ±

bx,

[a ±

b)y =

ay ±

by\ (a ± b)z =

az ±

bz.

(16,

17)

17.

Скалярным произведением двух

векторов а и

называет

ся

число, равное произведению их модулей

на косинус

угла между

ними. Скалярное

произведение

векторов

а и

Ъобозначается сим

волом а * Ъ. Если

обозначить

угол

между

векторами

а и Ъ через

для

скалярного

произведения

будем иметь

a - b =

ab cos 6.

(16,

18)

И з

формулы

(16, 18) следует,

что скалярное произведение двух

векторов

а и

Ъ— это

произведение

модуля

одного

из

них

на

проекцию

второго

на направление

первого

вектора

(фиг.

16, 7):

~Ъ= а •

ba = b • аь,

(16,

19)

откуда

пр-£ =

J пръа =

Скалярное

произведение двух

перпендикулярны х векторов равно нулю, так как в этом случае

cos (a, b) = cos — = 0 .

Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свой ствам произведений чисел:

а*Ъ = Ь - а

(переместительное свойство умножения);

(а + ^ ) • с = а • с + b • с

(распределительное, _или дистрибутивное свойство произведения).

Если векторы а и b заданы проекциями на		координатные оси
а =	axi -f ayj + ajt,
b =	bxi + b~i -f bzk,
то их скалярное произведение вычисляется по формуле
a - b ~	axbx + ацЬу + агЬг,	(16, 20)

а косинус угла 0 между этими векторами определяется по формуле

cos 0==	ахЬх + ауЬу + агЬг	(16,21)
	ab

Если углы, образуемые вектором а с координатными осями,

обозначить через а, р и т, а углы, образуемые вектором Ъ с ко ординатными осями, —- ■через ах, (Зх и fi, то косинус угла 0

между векторами а и b определяется по формуле

cos 0= cos а • cos <xj -)- cos p • cos pi + cos 7 • cos YJ.

(16,22)

Если векторы а и b перпендикулярны, то их скалярное произ ведение равно нулю, и тогда

			axbx + ayby -f azb2 = 0,						(16, 23)
или							cos 7 • cos YX=
	cos а • cos а! -f cos р • cos рх +						cos 7 • cos YX=	0.	(16, 24)
18.	Векторным произведением						векторов а и Ъ называется век
тор с,	который определяется следующими условиями:								вектора
1) Его модуль равен ab-sincp,						где <р— угол между			вектора
ми а и Ь.		_
2)	Вектор с перпендикулярен к плоскости, определяемой пе
ремножаемыми векторами				а и Ь.
3)	Вектор с		направлен	так,	что		наблюдателю,	смотрящему
с его	конца	на	перемножаемые		векторы а и Ь, кажется, что для
кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый
сомножитель нужно вращать против часовой стрелки								(фиг. 16, 8).
Векторное		произведение		векторов		а и Ъ обозначается			символом
a xb :
			\|с \| = \а X Ъ\ =		а • bsin {a,~b),				(16,25)
или
			\а х	Ь\| =	пл.	ОАВС.			(16,26)

Основные свойства векторного произведения:

_ 1)_ Векторное произведение а X Ъ			равно нулю, если векторы
а и Ъ коллинеарны или какой-либо			из перемножаемых векторов
является нулевым.
2)	При перестановке местами		векторов сомножителей вектор
ное произведение меняет знак		на противоположный (фиг. 16,9):
	a х Ъ =	— Ъ х а

Фиг. 16,8.

Фиг. 16,9.

Векторное произведение не обладает свойством переместитель ности.

3) (а + 6) х с = а х с + Ь х с (распределительное свойство). Выражение векторного произведения а х b через проекции векторов а и b на координатные оси прямоугольной системы ко

ординат дается формулой

а х b = (ciybz — azby) i -}- (azbx — Oxbz) j -f- (axby				ciybx) k,	(16, 27)
которою можно записать с помощью			определителя
	i	j	'k		(16, 28)
	а х b — CLX	CLy	CLz		(16, 28)
	bx by bz
Проекции	векторного произведения		на оси	прямоугольной си>
стемы координат вычисляются по		формулам
	(с X Ь)х —aubz — oJ)y "j
	(а X b)u = агЪх— Oxbz \|*1				(16, 29)
	(а X Ь)г = охЬу — ауЬх '
и тогда на	основании (16,4)
\| а х Ъ\| = У (ОуЬг— Ozbyf + (агЬх — ахЬг)г + (ахЬу — ахЬх)2.					(16, 30)

Механический	смысл векторного	произведения	состоит в сле
дующем: если	вектор F — сила, а	вектор г есть	радиус-вектор

точки приложения силы, имеющий свое _начало в точке О, то момент силы F относительно точки 0 т0 [F) есть вектор, равный

векторному произведению		радиуса-вектора г				точки	приложения
силы на	силу F, т. е.
	т0 (?) = г х F.
19.	Векторно-скалярное		произведение			трех	векторов а, b и с
или смешанное их произведение вычисляется по формуле
			йх	CLy	йг
	а •[b	X с)	= Ьх	Ьу	bz		(16,31)
			Сх	Су	Cz

Абсолютная величина векторно-скалярного произведения равна

объему параллелепипеда, построенного на	векторах а, Ъ и с.
Объем пирамиды, построенной на векторах а,	б и с , получим по
формуле

Vп и р	ах	йу	аг
Vп и р	Ьх	by	Ьг	(16, 32)
	Сх	си	Cz


причем	знак		перед определителем должен					быть	выбран		так,
чтобы объем V был положительным*.
20.	Три		вектора		а,	Ъ н с	называются	компланарными, если
они лежат в одной плоскости или							параллельны одной и той				же
плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны,											не
обходимо и достаточно, чтобы их							смешанное	произведение		было
равно нулю.
Задача		16,1.		Найти		равнодействующую		двух	сил Л	и F2,
модули	которых равны				F1	= 5, F2 = 7, угол между			ними 0 = 60°.
Определить также				углы	а и р ,		образуемые	равнодействующей
с силами ? х		и F2		(фиг.	16,10).		находим
Решение. По формуле (16,1)

R = Уъ2 + 72+ 2 • 5 • 7 • cos бб5,

или

R = ] / 2 5 + 49 + 35^10,44.

Углы а и р находим из треугольника АВС, пользуясь теоремой синусов (0= а + р):

Л	F 2	R
sin ft	sin а	sin (180°— b)’

Предполагается, что векторы а, b и с не лежат в одной плоскости.

sin (180° — 6) = sin 0,

и тогда

sin а =	F2 • sin 0	’ 10,44
	R	’ 10,44
sin(3 =	Fx • sin а	5 • 0,581
	F2	7

=0,581; a = 35°30';

=0,415; p = 24°30'.

К о н т р о л ь : ( a + p = 60°).

Фиг. 16,10.

Фиг.

16,11.

Задача

16,2

(для

самостоятельного

решения).

Найти

равно

действующую R сил

F 1

также

углы

р,

составляе

мые равнодействующей

с силами_Л и Ft,

если |Л

| =

15;

l/^ l55*

= 10;

угол

между силами F\

и Р2

0 =

45°,

О т в е т .

R = 23,173; a = 17°46';

р =

27°14\

С — средины век

Задача 16,3. Определить координаты точки

тора

а по

известным

радиусам-векторам

его

концов

(фиг.

16, 11).

радиусы-векторы точек А и В соответ

Р е ш е н и е .

Пусть

ственно равны г± и г2. Средина отрезка

А В

будет

находиться

на

пересечении диагоналей

параллелограмма,

построенного

на век

торах гх и г2, и

тогда

точка

определится

радиусом-векто

ром г, который

равен полусумме

векторов

гх и г2, т. е.

Г =

(16. 33)

Координаты точки А обозначим через xlt уг и гъ координаты

точки В — через х2,

у2

и z2,

координаты

точки С — через х,

у и г .

Спроектируем векторное равенство (16,33)				на		оси	координат
по формулам	(16, 9).	Так как	векторы г, г\	и гг являются ради
усами-векторами точек А и В,			то их проекции		на	координатные
оси будут равны
Гх =	х\ Гу =	у ; гг = z;	rlx = хх; rly =	t/x;	ru	=	zx;

Г2х — X%, Г2у — У%\ T2z =

Тогда векторное равенство (16,33) заменится такими тремя скалярными равенствами, определяющими координаты средины отрезка по известным координатам его концов:

* 1 ~Ь * 2 . у _ Hi

У2 .

г 2

(16, 34)

; г = -А

Задача

16,4 (для самостоятельного решения).

Вектор

задан

координатами

своих .концов А{2,4—3)

В (—4,4—5).

Найти координаты средины отрезка АВ.

О т в ет ,

х — —1;

у ~ 4;

z = —4.

Задача

16,5

(для

самостоятельного

решения).

Три

вектора

а, Ъ и с

расположены в одной и той

же

плоскости.

Даны

их

длины:

| а | = 3;

| Ь| =

2; | с \ — 2.

Известно,

что

векторы Ъ и с

составляют с вектором а углы в 60°. Определить

угол

между

векторами

b и с и длину суммы s = а +

Ъ+

с.

О тв ет .

а = 0

или а =

120°. В

первом

случае

|s | =

]/37,

во

втором

| s | = 5.

Задача

16, 6 (для

самостоятельного

решения).

Три вектора а,

б и с попарно взаимно-перпендикулярны,

а длина их соответствен

но равна 2, 3 и 6.

Найти

длину

суммы s этих

векторов

и направляющие

косинусы

вектора

(фиг. 16, 12).

О т в ет .

I s J=

7; cos (s^a) = у ;

cos ( О )

у!

cos ( С с )

у .

Задача

16, 7.

Даны дВа вектора:

Фиг.

16,12.

0 = 2*+ 3/ -—4А и Ь = —3i + 2/ + bk.

Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Р е ш е н и е .

Составим сумму и разность этих

векторов:

и + 6 = (2— 3) i -{- (3 + 2) j -}- (- 4 + 5) k.

a — b = (2 + 3 ) 7 + ( 3 — 2 ) 7 + (—4 — 5)~k.

О т в е т ,

a + 6 = — i +

5j+ k ;

a — 6 = 5t +

/ — 9k;

( 5+ b)x =

—1;

( a + b)y = 5 ;

( a + b)z =

(a — b)x — 5; (a — 6)„ =

1; (a — 6)z =

—9.

При решении

задачи

можно

было

сразу воспользоваться

фор

мулами (16,17).

самостоятельного

решения). Найти

сумму и

Задача

16, 8 (для

разность векторов

а = 2» + 3/ — 4k и 6 = 3/ — 4j + 6k,

а также проекции а + 6 и а — 6 на координатные

оси.

О т в ет .

a + 6 = 5t — / + 2k;

а — 6 = —1 + 7/ — 10k;

(а + b)x = 5;

(а +

Ь)у = —1; (а + 6)2=

(а — 6)* = —1; (а — Ь)у = 7;

(5 — 6)г = — 10.

Задача

16, 9. Вектор а задан координатами своих

концов

А и

В: А (2, 1—4);

В (1, 3, 2).

Найти проекции вектора а на координатные оси и

его

направ

ляющие косинусы.

Р е ш е н и е .

Проекции

вектора а на

координатные оси

нахо

дим по формулам (16,6): ах =

—1; ау = 2; аг = 6;

a = ] /( —I)2+ 22+ 6г = /4 1 .

Направляющие косинусы определяем по формулам

(16, 13):

„

cos a = -----т=.; cos В=

-7= ; cos ■

К4Г

У 41

V 41

Задача 16,10 (для самостоятельного решения). Проекции век

тора а на координатные		оси равны: ах = 2; ау = 3; аг = —4. Найти
направляющие косинусы		вектора а.
л	2	„	з	cos г	4
О т в е т , cos a =	-7= ;	cos В =	^ = ;	cos г	-----— .
	Y 29	г	У 29	1	У 29
Задача 16,11. Найти проекцию вектора
	а = axi + ayj + a2k
на ось L, которая	составляет с координатными осями углы X, (л

ИV .

Р еш ен и е . Обозначим через <р угол между			положительными
направлениями вектора а и оси проекций L, а через а,				(3 и	у —
углы, составляемые вектором а с координатными осями Ох,					Оу и
Ог. Тогда по формуле (16,22), учитывая, что по			условию ось L
составляет с теми же координатными осями		углы X, \|а		и V ,	мож
но написать, что
cos ю =	cos л - cos X+ cos р • cos (а+	cos у • cos v,		(16, 35)
По формуле	(16, 2) проекция
	al = a cos <р.
Подставляя сюда значение cos ср из (16,35),		получим

aL = a (cos а • cos X+ cos р • cos JJ. + cos у • cos v).

Раскрывая

в правой

части

этого

равенства скобки

и замечая,

что

acos a =

ах; acos (3 =

ау; a cos у =

аг,

получим окончательно для проекции

аь

вектора на ось

выраже

ние

ац = ах cos X+

ау cos ;л +

о*cos v.

(16, 36)

Задача

16,12.

Дан

вектор

а = 2/ + 5 /+ Ъ. Найти

его

проек

цию aL на ось L,

составляющую с координатными

осями равные

острые углы.

проек

Р е ш е н и е . По условию направляющие косинусы оси

ций между собою

равны:

COS X— COS |A=

cos v.

Но сумма

квадратов направляющих

косинусов

какого-либо

на

правления

равна

1, а

потому

cos2X-f cos2р +

cos2v = 1,

и так как

в этой сумме все

слагаемые между

собой

равны,

то

3cos2X= 1; cos2X= 4-;

cos X=

тогда

У з

cos X= cos и. =

cos v = 4=

/ з

(знак плюс перед корнем взят потому,

что по

условию

углы X,

р. и v—острые, а значит, косинусы

их положительны). Так

как

по условию а* = 2; ау =

5, аг = \ , то

по

формуле

(16,36)

полу

чаем

“ = 2 - y t + 5 - f f + '

Задача 16.13. На точку действуют три силы: Fit F2 и F3, проекции которых на оси прямоугольной системы координат таковы,

		Fy		F2			Fz
	X	2		4		—5
	У	1		—3			4
	Z	5		1			2
Найти величину и направление			равнодействующей.
Р е ш е н и е . Равнодействующая R = Fi						F2 + F3.			Обозначим
проекции	равнодействующей через			X, Y,		Z,	а	проекции		сил
Л, ^ 2. т ,— соответственно через X lt Yъ					1	Ъ	Х 2,	Y 2,	Z2 и	Х 3,
Уз, 23.
По формулам (16, 9) имеем
	X = X t + X t + X 8; Х = 1 ,
	Y = Y 1 + Y 2 + Y 3; Y = 2 ,
	Z = Z±-f- Z2 -f- Z3,			Z =	8.
По формуле (16,4)		величина	равнодействующей					#_будет рав
на корню квадратному из суммы квадратов проекций R на коор
динатные	оси:
R = V X 2 + Y 2 + Z2 = У 1г +				22+	82, R = У 69.
По формулам (16, 13)		находим	направляющие				косинусы равно
действующей
cos (R~x) = p L ;		cos (R ~y) =		cos ( * Л )				=

Задача 16, 14 (для самостоятельного решения). На точку дей

ствуют четыре силы: Flt ~F2, F3, Fit проекции которых на коор динатные оси прямоугольной системы координат даны в таблице:

	Fy	F2	F3	Fy
X	1	—5	4	— 1
У	2	3	4	5
Z	1	—2	—3	4
Найти величину и направление равнодействующей.
О тв ет . R = ]/Т 97; cosa =		— р 4 = ;	cos р =	cosT = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2115 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги