Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Обозначим через X и Y текущие координаты точки на бис сектрисе и рассмотрим отклонения этой точки от сторон угла. Для биссектрисы одного угла эти отклонения равны, а для бис сектрисы смежного угла они равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Пусть уравнения сторон угла имеют вид

AiX -f- Вуу + С х = 0 и А 2х 4~ В^у 4 “ С 2 = 0.

Приведем эти уравнения к нормальному виду, и тогда, для слу

чая, когда Ьг =	82, уравнение	биссектрисы будет иметь вид
	± У " Ц Т ^ ~ ± У а * + в* ’		^
Для случая	же 83= — 84 уравнение биссектрисы		получим в
виде		_ А2Х -{- B2Y -\|- С2
А\Х -}- B-\Y -{-Ci			(В)
~ ± у а '\± в\		~ ~ ~ Ц 7 аf T W *

Замечание. При решении задачи нет надобности обозначать текущие координаты точки на биссектрисе через X и К. Их мож но обозначить через х н у , так как это не меняет этих уравне ний.

Объединяя уравнения (А) и (В) и используя только что сде ланное замечание, будем иметь уравнения двух биссектрис в виде

А\Х 4~ Вгу 4 “Ci =			±	А&-!г В гу-$-С
				1/	^	i l
Теперь решение нашей задачи не составит труда.
Для нашего	случая уравнения				биссектрис запишутся так:
	12л + 9у — 17 _		+	Зл -f Ay +			11
или		“		W +			42
	12л -ф- 9// — 17			Зл + 4у^ 11
			= +
	15

	12л + 9р — 17 _			Ъх +		4 у + 11
	15		—
Окончательно	уравнения	биссектрис				получаем в виде
	21x +	21i/ +		16=0,

Зх — 3у — 50 = 0.

Легко проверить, что найденные две биссектрисы перпендику лярны. Действительно, условие перпендикулярности двух пря мых А 1А2 + В1Вг = 0 выполняется (проверьте!)*.

* На атом примере мы получили подтверждение известной из геометрии теоремы: биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.

Задача 6, 2 (для самостоятельного решения). Найти уравнение биссектрисы угла между прямыми


	4х + 2у + 7 = 0 и 2х — 4у +					15 = 0.
О т в е т .	Уравнение	биссектрис		получаем в виде
	4x +	2 f / 4 - 7 ___ . 2х—				15
	/20		~ ±	/20
После упрощений получаем уравнения биссектрис в виде
		х -f- 3у — 4 =			0,
		Зх-----{-1 1 =		0.
Задача 6, 3 (для самостоятельного решения). Найти уравнения
		биссектрис внутренних углов треугольни
		ка,	заданного		вершинами
			Л (0, 0);		В(3,	- 1 ) ; С(4,	7).
		У к а з а н и е . Найдите сначала уравне
		ния сторон треугольника. Получите та
		кие	уравнения:
			(АВ)х + Зу = 0,			(АС) 7х — 4у = 0,
			(ВС) 8х — у — 25 = 0.
			Уравнение		биссектрисы		угла А:
		(7 / 1 0 —/6 5 ) х — (4 / 1 0 + 3 /6 5 ) у = 0.
Уравнение биссектрисы			угла В: (8/ 1 0 -+- /6 5 ) х +				(3 / 6 5 —
— /1 0 )^ — 2 5 /1 0 = 0.			угла С: Зх — у — 5 = 0.
Уравнение биссектрисы
Задача	6, 4. Даны две		смежные	вершины квадрата			Л (1, 4) и

В(4, 5). Найти две другие (фиг. 6, 2).

Ре ше н и е 2. Очевидно, что задача допускает два решения, так как искомые вершины могут находиться по разные стороны отрезка АВ. Уравнение Стороны квадрата А В будет таким: х— 3i/+ 11 =0, а

ее длина равна /1 0 . Теперь через точки Л (1, 4) и 5(4, 5) проведем прямые, перпендикулярные А В, и на каждой из этих прямых опреде

лим по две точки, расстояние которых от АВ равно /1 0	(у квадрата
все стороны равны). Координаты этих точек и будут искомыми.
Уравнения прямых, перпендикулярных к А В и	проходящих

через концы отрезка А В, будут такими:
	(AD) Зх-{- у — 7 = 0, (ВС)Зх + у — 17	= 0.
На	каждой из этих прямых_найдем две точки,	находящиеся от
АВ на	расстоянии, равном/ 10, причем для одной из точек откло

нение от АВ будет положительным, для другой— отрицательным.

Обозначим координаты точки D через х, и ух. Так как эта точка лежит на прямой AD, то ее координаты удовлетворяют Уравнению этой прямой, т. е. имеет место уравнение

3*1 + Ух— 7 = 0.

(Л)

Второе уравнение, связывающее хх и уъ найдем, определяя отклонение этой точки от прямой АВ. Приведя уравнение АВ к

нормальному виду и взяв отклонение равным ± Т^ТО, получим

+ / 1о = *1~ ? у; ± 11,

— Vio

аотсюда будем иметь два уравнения:

xi— Зг/Х+ 1 = 0 и хх— Зух + 21 = 0.

Объединяя каждое из этих уравнений с уравнением (Л), по лучим две системы уравнений:

3*i + Уг— 7 = 01 Зхх + Ух— 7 = 01

*i — 3f/j + 1 = 0 J			Хх— 3Ух + 21 = 0 J
Из первой системы уравнений хг = 2;' уг = 1; из второй —хх =
= 0; ух = 7. Таким образом,			вершина	D может иметь		координа
ты (0,7) или (2, 1).					вершина С квадрата мо
Точно так же найдем, что четвертая
жет иметь координаты (5, 2) или (3, 8).
Эту задачу	можно	решить и иначе.			Используйте	указания,
которые даются	ниже,	и самостоятельно решите задачу другим
способом:
1) Найдите длину d стороны АВ.
2) Диагональ квадрата BD будет				равна d V 2.

3)Напишите формулу для определения расстояния от точки D до точки Л и от точки D до точки В. Вы получите два урав нения, из которых и определятся координаты точки D.

4)Найдите координаты средины диагонали BD.

5)Зная координаты этой точки и координаты точки Л, поль зуясь формулами для определения координат точки, делящей

отрезок пополам, определите и координаты точки С.

Задача 6, 5. Найти уравнение прямой, параллельной прямой

2х + оу + 6 = 0

и отсекающей от координатного угла треугольник, площадь которого

равна 3 кв. единицам.		отсекаемые	искомой прямой
Р е ш е н и е . Обозначим отрезки,		отсекаемые	искомой прямой
на координатных осях Ох и Оу,	соответственно через а и Ь. Тогда
имеем
3 = -^ ab,	или	аЬ = 6.	(Л)

Уравнение семейства прямых, параллельных данной, запишет

ся в	виде 2х +	Зу + С =	0. Отрезки, отсекаемые этой прямой Ч&
осях	координат,	равны
		а =	С_
		а =	3 *
			3 *
Подставляя а и b в (Л),			получим

Н ) Н И

откуда

§ =

6, С2 =

36,

Cj =

С2=

— 6,

и искомая прямая

имеет

уравнение

2х +

Зу +

6 = 0,

или 2х 4-

3у — 6 = 0.

Среди

только что

найденных

прямых

есть данная:

2x-f 3t/+ 6 = 0.

Таким

образом,

данная

прямая

удовлетворяет

требованию

задачи;

этому требо

ванию удовлетворяет также и най

денная

прямая

2х -\-Ъу — 6= 0.

Задача 6, 6.

Даны

уравнения

двух сторон параллелограмма

х + 2# - f

1 = 0

(АВ),

2х + у — 3 = 0

(AD)

и точка пересечения его диаго

налей

N (1, 2). Найти

уравнения

двух других сторон

этого парал

лелограмма (фиг. 6, 3).

При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма

не параллельны, будем следовать такому плану:

найдем координаты

точки

пересечения

данных сторон;

2) зная координаты точек А

и N,

найдем

координаты точки

С, что мы легко сможем сделать

по формуле

определения коор

динат

средины отрезка;

через найденную точку С проведем сначала прямую, парал-

/ лельную AD, а потом прямую,

параллельную АВ.

4) Определим координаты точки Л, как точки пересечения

прямых АВ и AD,

и получим, что

Ха =

УА =

т. е.

Т ’

"з »

A {

i ’

- т ) -

5) Формулы для определения координат				средины	отрезка в
данном случае запишутся	так:
ХА 4“ х с		» Ум =	у А -ф- у а	•
%N —	2		2
По этим формулам получим
*С	1	I Ус —	17
	0		0 *
Итак, точка
6) Через точку С проведем прямую,			параллельную		AD, и по
лучим, что уравнение стороны		ВС будет таким:
Уравнение стороны CD	2х+ у — 5 = 0.

x + 2 y — U = 0 .
Задача 6, 7. Найти координаты точки Р,				равноудаленной от
точек М г(4,—3) и М2 (2,	—1) и отстоящей от прямой 2х + у —
— 1 = 0 на расстоянии, равном		2 ед. масштаба.
У к а з а н и е . Обозначим координаты искомой точки Р через
xi и yi, из. условия, что	MiP = М2Р,		получаем
	х1 — у1 = Ь.
Это первая зависимость между хг и уг. Вторую же зависимость

между ними найдем из условия, что искомая точка находится на

расстоянии	2 ед. масштаба от прямой 2х + у — 1 = 0; получим
	о _2*1 Ч~ У1— 1
	± / 5	*
Отсюда два	уравнения, связывающие	хх и уъ имеют вид

2*1 + Ух — 1 — 2 V^ = 0,

или

2xi + i/i — 1 + 2ф^5 = 0.

Каждое из этих уравнений следует решать совместно с ранее

полученным уравнением х1— ух = 5.			Задача допускает два реше
ния:
*1 =	2+	\| К	5 ;
^ = -	3 +	\| К 5 ,
ИЛИ

хх = 2 - | К 5 ; r/i = - 3 - | ] / 5 .

Задача 6, 8. Даны		уравнения высот			треугольника					2х — Зу +
+ 1 =	0 и х + у = 0	и координаты одной				из его вершин А (1,2).
Найти	уравнения сторон треугольника.
Р е ш е н и е . Точка Л (1, 2) не.принадлежит данным в условии
высотам треугольника, так как ее координаты							не удовлетворяют
их уравнениям: 2-1 — 3- 2 + 1 + 0 и				1 +		2 +	0. Отсюда следует,
что высоты, данные в задаче,			проведены из двух других вершин
треугольника В и С (фиг. 6,4).
Назовем их CD и BE, CD ± АВ, BE j_ АС. Пусть высота CD
имеет уравнение х +		у = 0, а	уравнение			высоты		BE		2х — Зу +
		+	1 = 0. Так			как АС JL BE, то урав
		нение АС мы				найдем		из		уравнения
		семейства			прямых,			перпендикуляр
		ных BE,		приняв			во	внимание,			что
		искомая прямая проходит через дан
		ную точку			Л (1, 2).					уравнение
			Сторона		АС		имеет
		Зх + 2у — 7 = 0.					Уравнение прямой
		АВ найдем, как уравнение прямой,
	Фиг. 6.4.	проходящей через точку Л (1, 2) пер-
		пендикулярно				CD. Оно			имеет		вид
					х — У + 1 =				0.
Теперь следует найти		координаты точек В и С:
		хв = — 2; ув = — 1;
		хс = 7;	ус = — 7.
Уравнение стороны ВС 2х+ Зу +				7 = 0.

Таким образом, уравнения всех трех сторон треугольника най дены.

Задача 6, 9 (для самостоятельного решения). Даны две верши ны треугольника Л (2, 1) и Б (4, 9) и точка пересечения его высот N (3, 4). Найти уравнение сторон треугольника.

(АВ) 4х — у — 7 = 0,

(ВС) х + 3у — 31 = 0, (АС) х + 5у — 7 = 0.

Задача 6.10 (для самостоятельного решения). Даны координа ты средин сторон треугольника — Л (1, 2), В (7, 4), С (3, — 4). Най ти уравнения сторон треугольника (фиг. 6,5).

О т в е т . 1) 2х — у = 0;	3) х — 3у — 15 = 0.
2) Зх + у — 25 = 0;

Задача 6,11. Даны уравнения сторон треугольника х + у —

— 1 = 0 (ЛВ) и у + 1 = 0 (ВС)ги точка N (— 1,0) пересечения его медиан. Найти уравнение третьей стороны АС (фиг. 6, 6).

О т в е т , х — «/ + 3 = 0.

Решение задач, которыми заканчиваются упражнения по теме «Прямая линия», связано с уравнением пучка прямых. Перед ре шением этих задач следует изучить § 23 из учебника Н. В. Ефи мова или § 11 главы III учебника И. И. Привалова.

Задача 6,12. Найти уравнение прямой, проходящей через точ

ку пересечения прямых х —у — 1 = 0 и	х + 2у — 2 = 0 и	точку
М (— 1, 1),	не находя точки	пересе
чения данных прямых.


	Р е ш е н и е . Уравнение пучка прямых,			Фиг. 6,6.
	Р е ш е н и е . Уравнение пучка прямых,			проходящих через точ
ку	пересечения данных прямых А х+ By + С — 0 и				Л1х + 5 1г/ +
+	Ci = 0, записывается	так:
	Ах + By +	С + X(A iX + Biy + Cj) = 0;			(6, 1)
в нашем случае оно будет			иметь вид
	* — у — 1+		Х(* + 2«/ — 2)	= 0 .	(А)

Из этого пучка надо выделить прямую, проходящую через точку

М (— 1,1). Подставляя в уравнение (А) координаты точки			М
вместо текущих координат,	получим Х= — 3.	будем иметь
Подставив это значение	X в уравнение (Л),
X — у — 1 — 3 {х + 2у — 2) = 0.		членов,	на
Раскрывая скобки и делая приведение подобных
ходим уравнение искомой прямой
2х +	7у — 5 = 0.

Задача 6, 13. Найти уравнение прямой, которая проходит че рез точку пересечения прямых х +«/ — 1 = 0 и х + 2«/ + 1 = 0 и отсекает на отрицательной части оси Оу отрезок в 2 ед. мас штаба.

Решение . Уравнение пучка прямых, проходящих через точ ку пересечения данных прямых, имеет вид (6, 1).

В нашем случае оно запишется так:
х-\-у — 1 + X(х + 2у + 1) = 0.	(5)

Так как прямая на отрицательной части оси Оу отсекает отрезок в 2 ед. масштаба, то прямая проходит через точку (0, — 2).

Подставляя координаты этой точки вместо текущих					координат в
(В), получим X= — 1, а уравнение искомой				прямой будет иметь
вид
	У + 2 = 0.
Задача 6, 14. Найти уравнение прямой, проходящей через точ
ку пересечения прямых	х + 2у — 1 1 = 0			и 2х — у — 2 = 0 на
расстоянии 5 ед. масштаба	от начала		координат.
Р е ш е н и е . Уравнение пучка		прямых с центром пучка в точ
ке пересечения данных прямых		имеет	вид х + 2 у — 1 1 -}-Х(2х —
— У— 2) = 0,
или	(2 — X) у — (11 4* 2Х) = 0.				(А)
(1 + 2Х) х +
Нормирующий множитель равен
N = —	—-		----- .
±	/ ( 1 + 2Х)2 + (2 _ Х )2

Умножая на нормирующий множитель уравнение (А) и принимая во внимание, что в нормальном уравнении прямой абсолютная величина свободного члена равна расстоянию прямой от начала координат, для определения X получаем уравнение

			П + 2X1		е	откуда
				' ----- = 5.
		V ( \ 4 - 2 V P 4-
	Искомое уравнение: Зх + 4у — 25 = 0.									Найти уравне
	Задача 6, 15 (для самостоятельного						решения).
ние прямой, проходящей через					точку		пересечения			прямых 2х +
+	5t/ + 8 = 0 и Зх — 4у — 7 = 0 под					углом		в 45° к прямой			у =
=	4х + 3.					115х + 69у + 99 = 0.
	О т в е т . 69х— 115у — 199 = 0 и
	Задача	6, 16	(для	самостоятельного решения).						Через точку
М (1, — 1) провести прямую так,					чтобы средина				ее отрезка		меж
ду параллельными прямыми х +					2у — 1 = 0			(I)	и х + 2у — 3 = 0
(II) лежала на прямой х —у — 1 = 0							(фиг. 6, 7).
	Ответ . 4х — у — 5 = 0.
	Задача 6, 17 (для самостоятельного решения). Луч света, про
ходящий		через	точку	С (2,3),	отражается			от		прямой	(А В)
х + у + 1 = 0 и проходит после					этого		через	точку		(1, 1). Найти
уравнения		падающего и отраженного лучей (фиг. 6, 8).
	О т в е т . Уравнение			падающего луча
				5х — 4у + 2 = 0;


уравнение отраженного			луча
			4л: — 5у -f 1 = 0.
З а д а ч а	6 , 18	(для самостоятельного решения). Луч света, про
ходящий	через	точку	С (1,2),		отражается от прямой (АВ)
х + 5г/ + 1 = 0 и		проходит		через	точку F (— 1,3).
Найти уравнение луча				падающего и отраженного.

Фиг. 6,7.

Фиг. 6,8.

Ответ . Уравнение отраженного луча

73х + 14у + 31 = 0;

уравнение падающего луча 62* — 41#+ 20 = 0.

Этим мы заканчиваем упражнения, связанные с теорией пря мой линии на плоскости.

СЕДЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой урав нением в полярных координатах.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Это практическое занятие посвящается полярной системе ко ординат, упражнениям на переход от декартовой системы коорди нат к полярной и обратно, а также на построение кривой по ее уравнению в полярных координатах.

В полярной системе координат основными постоянными эле ментами, по отношению к которым определяется положение точ ки на плоскости, являются точка О — полюс и ось ОР, которая называется полярной осью.

Если М — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом О, то ее положение на плоскости вполне определено заданием двух чисел: г — ее расстояния от полюса, выраженного в ед. масштаба, и ср — угла, на который следует повернуть по лярную ось против часовой стрелки, чтобы она совпадала с лучом

ОМ. Числа г и ср называются			пблярными координатами точки М*
Из	них первой	координатой	считается г, а второй ср; Координа
та	г называется	полярным радиусом точки М (иногда радиусом-
вектором точки		М), а координата ср — ее полярным углом*. По

лярные координаты точки записываются в скобках справа от обозначения ее, причем на первом месте в скобках записывается координата г, а на втором — координата ср, например, М (г, ср). Полярный угол ср считается положительным, если он отсчитыва ется от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке.

В определенной таким образом полярной системе						координат
полярный		радиус		г — всегда величина положительная		или рав
ная	нулю	(г >	0),	так как под г	понимается расстояние от полю
са О	до точки		М,	а расстояние,	как и всякая длина,	не может

быть отрицательным.

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус г может при нимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус г может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется

обобщенной

системой полярных

координат. Этой

системой

мы

и будем пользоваться.

г и

ср:

(+ г,

ср),

то

Если точка М имеет координаты

она

имеет

также

и координаты

— г

и ср +

тг;

М (-*- г,

ср +

тс),

так

как угол

ср +

тс характеризует направление полярного радиу

са,

прямо противоположное

тому,

которое соответствует

углу ср

(см.

задачи

7, 3

7, 4).

из этих двух систем

полярных

коор

Отметим,

что

какой бы

динат мы ни пользовались, всегда паре чисел г и ср соответствует на плоскости единственная точка.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ох

совпадает с полярной осью,	ось же Оу	перпендикулярна	оси	Ох
и направлена так, что ей	соответствует	полярный угол	<р =	у ,

то по известным полярным координатам точки ее прямоугольные

координаты х и у вычисляются	из формул
x = r cosep,	y = rsincp**	(7,1)

*Полярный угол измеряется в радианах.

**Везде в дальнейшем, если не будет оговорено, предполагается именно

такое расположение полярной и прямоугольной систем координат.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги