книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Р е ш е н и е . Вычислим прежде всего определитель системы

уже вычислен. Он равен — 48. Вычисляем определители, стоящие в числителях этих дробей:

О т в е т . Xi = — 1; х2 = — 2; х3 = — 4.

Задача 15, 15 (для самостоятельного решения). Решить си­ стемы уравнений:

Это обстоятельство указывает на то, что третья строка опре­ делителя является линейной комбинацией двух первых. И дей­ ствительно, если элементы первой строки умножить на 2, а вто­ рой— на 3 и сложить, то получатся элементы третьей строки (проверьте!).

Вычислим теперь определители Dx, Dy и Dz, и если окажется, что хотя бы один из них не равен нулю, то из этого будет следовать, что система не имеет решений, т. е. она несовместна, или противоречива.

5 3 —4

Dx = 11 —3 6 = — 132.

21 —3 10

Таким образом, по пункту 2 (стр. 127) правил исследования системы уравнений получается, что система несовместна. Если умножить левую часть первого уравнения на 2, а второго — на 3 и полученные произведения сложить,, то получим левую часть третьего уравнения

2(х + Зу — 4z) + 3 (2х — Зу + 6г) = 8* — Зу + Юг.

Отсюда заключаем, что она является линейной комбинацией ле­ вых частей первого и второго уравнений. Но если правую часть первого уравнения умножить на 2, а второго — на 3, то полу­ чится 2 . 5 + 3- 11 = 43, тогда как правая часть третьего урав­ нения не 43, а 21. Отсюда и произошла противоречивость си­

стемы.

Итак, предложенная система уравнений решений не имеет.

Давая неизвестному х3 произвольные значения, будем полу­ чать соответствующие значения для хг и х2. Предложенная си­ стема уравнений имеет решения, и этих решений бесконечное множество.

Задача 15,19. Решить систему уравнений

Давая неизвестному г произвольные значения, будем полу­ чать соответствующие значения х и у. Предложенная система уравнений имеет решения, и этих решений бесконечное множество.

Задача 15, 21. Решить систему уравнений

Из этого следует, что коэффициенты при соответствующих неизвестных первого и второго уравнений пропорциональны. Оказывается, что и

Это показывает, что соответствующие коэффициенты при не­ известных в первом и третьем уравнениях также пропорцио­ нальны.

Определитель

3 —2 1

D.5 —4 2 = 0.

9 —6 3

Минор же этого определителя

Таким образом, определитель системы D и все его миноры равны нулю, один из коэффициентов при неизвестных нулю не равен; оказалось, что и один из миноров определителя Dx не равен нулю. На основании пункта 4 (стр. 127) заключаем, что система несовместна (противоречива) и, значит, решений не имеет.

Всего этого исследования можно было бы и не производить, если заметить, что коэффициенты при неизвестных во втором уравнении получаются из коэффициентов при неизвестных в пер­ вом уравнении умножением на 2, а свободный член второго уравнения не получается из свободного члена первого уравнения умножением его на 2. Отсюда сразу можно было сделать заклю­ чение о противоречивости системы.

Задача 15, 22. Решить систему уравнений

х — 4t/ + Зг = 5 ) 2 х — 8у + 6г = 10 }

Зх — 1 2 у + 9г = 15 )

Р е ш е н и е . Определитель системы

1 — 4 3

D = 2 — 8 6 = 0,

3 —12 9

поскольку имеет место пропорциональность соответствующих элементов, например, первого и второго столбцов (свойство 2).

5 — 4 3

Dx 10 — 8 6 = 0, 15 — 12

так как легко усмотреть пропорциональность соответствующих элементов, например, первой и второй строки (свойство 2).

Легко проверить, что все миноры определителей D, Dx, Dy, Dz также равны нулю. И так как один из коэффициентов при неизвестных нулю не равен, то система неопределенна, имеет решения, и решений будет бесконечное множество (см. пункт 5 на стр. 127).

первого, а потому решения первого уравнения удовлетворяют второму и третьему.

Значит, система трех уравнений в нашем случае приводится к одному первому уравнению

х — 4г/+3г = 5,

откуда

* = 5 + 4у — 3z.

Давая у и z произвольные значения, получим соответствую­ щие значения х. Система имеет бесконечное множество решений.

Задача 15, 23 (для самостоятельного решения). Решить системы уравнений:

4) Система неопределенна. Она допускает бесконечное мно­ жество решений: х = 7 — 2г; у = — 3 + 5z.

5) Система неопределенна. Она допускает бесконечное мно-

жество решении: х = 2 — у У + у г.

ШЕСТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Векторная алгебра.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Это занятие посвящается векторной алгебре, имеющей очень большое значение для механики, электротехники и других техни­ ческих дисциплин. Напомним основные сведения из векторной алгебры.

Различают два рода величин: скалярные и векторные.

ных величин могут служить масса, плотность, работа, сила тока, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление,, возведение в сте­ пень и т. д.

2. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее

вой, только без черточки над ней, т. е. а. Модуль вектора а

4.Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.

5.Два вектора а и Ъназываются равными, если 1) равны их мо­ дули, 2) они параллельны и 3) направлены, в одну и ту же сторону.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных

приведенных к общему началу, есть третий вектор с, длина которого равна длине диагонали параллелограмма, построенного на век­

Фиг. 16,3.

7. Сумму нескольких векторов, например а, Ь, с и 5, стр°ят так: берут произвольную точку О плоскости и Из нее строят

По такому же правилу строится и сумма любого числа век­ торов.

8. Разностью двух векторов а и b называется_такой третий вектор с, который равен сумме векторов а и — b (фиг. 16,4).

Вектор — Ь параллелен вектору Ъ, равен ему по модулю, но противоположно направлен:

с = а — Ъ = а + (— Ъ) = ОС.

Фиг. 16,5.

9.При умножении вектора а на скаляр k получается вектор

А'В', заключенного между проекциями начала и конца вектора

на эту ось. Этой длине приписывается знак плюс, если направ­ ление отрезка А'В' совпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (фиг. 16, 5).