Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Подставляя в это уравнение	координаты	точки А , получим, что
D = — ЗА. Это значение D	подставим	в (17, 10) и, сокращая
на А у будем иметь окончательно х — 3 = 0.
Задача 17, 6 (для самостоятельного		решения). Найти уравне

ние плоскости, параллельной плоскости xOz и проходящей через

точку А(2,	—3,4).
О т в е т .	у + 3 = 0 .

Постройте эту плоскость.

Задача 17, 7. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и через точку А (2, 1,3).

Так как искомая плоскость проходит через ось Ох, то ее

уравнение имеет вид Ву + Сг= 0 (17,8).		Подставим в		это урав
нение координаты точки Л, через	которую		плоскость	проходит.
Получаем В + ЗС = 0, откуда В =	— 3С.	и	получаем,	сокращая
Это значение В подставляем в	(17, 8)

на С, 3у — г = 0.

Задача 17, 8 (для самостоятельного решения). Найти уравне ние плоскости, проходящей через ось Oz и точку А ( —2,4, —4).

	От в ет .	2х + У = 0.			уравне
Задача		17,9	(для самостоятельного решения). Найти
ние	плоскости,		проходящей через	точку Л (2. —5,4)	и через
ось	Оу.
	О т в е т . 2х— 2= 0.			координатных осях отсекает
Задача		17, 10.	Какие отрезки на
плоскость

2х -{- 3у — 5з 30 =		0?
Реш ени е . . У точки,	лежащей на оси Ох,		координаты у и z
равны нулю.	плоскости у =	z = 0,	получим для опре
Полагая в уравнении

деления величины отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ох, уравнение 2х + 30 = 0, или х = —15.

Для определения величины отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Оу, полагаем в уравнении плоскости х = 0 и.г = 0 и получаем Зу + 30 = 0, или у = —10. Наконец, величину отрезка, отсекаемого

на оси 02, найдем, положив в уравнении	плоскости х = 0 и у =
= 0. Получим —52 + 30 = 0 и 2 = 6.	Можно было бы посту
Этим заканчивается решение задачи.	Можно было бы посту

пить и проще, преобразовав данное уравнение к виду в отрезках на осях (17,17). Для этого перенесем в правую часть равенства свободный член. Данное уравнение запишется в виде 2х + Зу —

— 5 2 = —30.		Разделим теперь обе его части на —30 и получим
			JL. +	J L	+ i . =	1
			—15 ^	—10	^ 6	1в
Величины	отрезков,		отсекаемых		на Координатных осях, равны:
а = —15;	6=	—10;	с = 6.

Задача 17,11 (для самостоятельного решения). Найти величины отрезков, отсекаемых плоскостью х — Юу + 2 г — 12=0 на коор динатных осях.

Ответ, а = 12; b — —				и с = 6.
Задача	17, 12.		О		плоскости	2х + Зу — 4z +	24 = 0
			Уравнение
преобразовать к виду (17, 17)				в	отрезках на осях.
Р е ш е н и е .		Перенесем свободный член				24 в правую	часть
уравнения	и получим 2х+3у — 4z = —24.					Разделим теперь обе
части уравнения		на	—24 и получим
			—12 ^	—8^ 6 “ А'

Задача 17,13 (для самостоятельного решения). Уравнение плоскости Зх — 4у + 5z — 24 = 0 преобразовать к виду в отрезках

на	осях.
	Ответ. у + ^ ё + ^ = 1.			5х 4- 7у — 34г + 5 = 0
	Задача	17,14. Уравнение плоскости
привести к		нормальному виду.		уравнения	плоскости
	Р е ш е н и е . Для		приведения общего
(17,1) к нормальному			виду (17,15), надо обе его части		умножить
на	нормирующий множитель (17, 16), выбрав перед корнем знак,

противоположный знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. В нашем случае перед корнем следует выбрать знак

минус. У нас А =

В — 7;

С = —34, и для N получаем

N = ---- 1

7* +

= ;

N = -----Д = ,

52 +

(—34)а

V 1230

а уравнение принимает вид

х -'j*'

—

-----Г—

у -f-

■ z

— ■г-

/1230

Задача 17,15 (для самостоятельного решения). Привести к

нормальному

виду

уравнение

плоскости

2х + 9у — 6z + 33 = 0.

Ответ .

— jjX — у г У

+ П 2— 3 = 0 .

Задача 17,16.

Найти

длину

перпендикуляра,

опущенного из

начала координат на

плоскость

10х+ 15у — 6z — 380 = 0, и углы,

образуемые этим перпендикуляром с координатными

осями.

Р е ш е н и е . Приведем

уравнение

плоскости

нормальному

виду. По формуле (17,16)

находим, что нормирующий множитель

N = j7j. Обе

части

уравнения

данной

плоскости

умножим на

^ и получим уравнение плоскости в нормальном виде

10 .

пп

Т о *

Тэу 19 2 ^ —

из которого усматриваем, что р = 20; кбсинусы же углов, обра зуемых этим перпендикуляром с координатными осями, будут

	Ю	0	15			6
C O S а = j g >		C 0 S P = Т 9 ; C 0 S T =				— - j g .
Дроби в правых	частях	последних равенств превратим^ в деся
тичные и получим,	что
c o s a =		0,5263;		а —	58°15';
cos р =		0,7895;		0=	37°52';
cos у = —0,3158;				т = 108°25\
К о н т р о л ь: cos2а -f cos2р +			cos2т =		1	(значения углов най

дены с помощью таблиц тригонометрических функций).

Задача 17,17 (для самостоятельного решения). Привести к

нормальному

виду уравнение плоскости

Зх — Ay + 5г— 14 = 0.

„

О тв ет .

—т=1

л:-----=

г/ +

- = г -------- = 0.

Y 50

V50

Y 50

V 50

решения).

На плоскость

Задача 17,18

(для самостоятельного

Бх— t / +3 z +

12 = 0 из начала координат опущен перпендикуляр.

Найти его длину и углы, образованные им

координатными

осями, а

также

координаты

основания

этого

перпендикуляра.

О тв ет ,

cos В=

cos г =

р = -т= .;

cos а = -----7=.;

—==.;

„

И / 3 5

V 35

v / 3 5

‘

= —

36\

. Координаты основания перпендикуляра ^— у »

35>—ggj-

У к а з а н и е .

Координаты основания

перпендикуляра найдите

по формулам

хг = р cos а;

ух = р cos р; zx = р cos 7.

Задача 17, 19.

Найти

расстояние

от

точки

А (2,

—1) до

плоскости 7х — 6у — 6г + 42 = 0.

до

плоскости

определяется

Р е ш е н и е . Расстояние от точки

по формуле (17, 23), в которой следует положить А = 7;

В =

—6;

С = —6;

хх = 2 ;

г/х = 3;

гг = —1.

Подставляя

эти

значения в

формулу

(17, 23),

будем

иметь

7 • 2 +

(—6) • 3 + (—6) • (— 1) +

14 — 18 +

6 +

/7 »

+ (^6)* +

(-6)*

Задача 17,20 (для самостоятельного решения). Найти расстоя

ние от точки А (2,		—4, 2) до плоскости 2х+ Ну + Юг— 10 = 0.
О т в е т .	d = 2 .
Задача	17,21 (для самостоятельного решения). Найти расстоя
ние от точки Л (3,		+ 4 , —1) до плоскости Зх + 4у— 5 = 0.
От вет.	d = 4.

Задача 17,22, Найти расстояние между параллельными плот скостями

5.x+ 3у — 4 z + 1 5 = 0; 15х+9«/— 12z — 5 = 0.

Р е ш е н и е . Возьмем на какой-нибудь из этих плоскостей произвольную точку. Например, на первой плоскости возьмем

точку,	для которой у =		0; г = 0, и определим абсциссу х этой
точки.	Получим	5х + 3 • 0 — 4 - 0 + 1 5 =		0;	х = —3.	Итак, на
первой плоскости		взята	точка (—3, 0, 0).	Определив		ее расстоя
ние до второй плоскости			по формуле (17,23),		получим

Найденное расстояние d и будет расстоянием между данными плоскостями.

Задача 17,23 (для самостоятельного решения). Найти рас стояние между параллельными плоскостями

	2х — Зу + 6z — 14 = 0
Ответ,	2х — Зу +	6z +	28 = 0.
Ответ,	d — 6.	М (2,	3, —1) провести		плоскость,
Задача	17, 24. Через точку	М (2,	3, —1) провести		плоскость,
параллельную плоскости
	2х — Зу +	5z — 4 = 0.
Р е ш е н и е . Уравнение связки плоскостей,				проходящих		через
данную точку, имеет вид (17,18).			В нашем	случае	оно	будет
таким;	А (х — 2) + В (у — 3) +		С (z + 1) = 0.
	А (х — 2) + В (у — 3) +		С (z + 1) = 0.

Из условия (17,22) параллельности двух плоскостей получаем

Заменяя в последнем уравнении А, В н С величинами, им про порциональными, будем иметь

2k (х — 2) — 3k(y — 3) + 5 £ (z+ 1) = 0

или окончательно после упрощений

2х — 3у + 5г + 10 = 0.

Можно решить задачу и иначе: если плоскости параллельны, то их уравнения можно преобразовать так, что они будут отли чаться только свободным членом. Тогда уравнение семейства плоскостей, параллельных данной плоскости, запишется так:

2х — 3у + 5z + D = 0.

(Л)

Подставляя в это уравнение вместо текущих координат х, у и г координаты точки М (2, 3, —1), через которую проходит


плоскость,	получим уравнение,			содержащее		одно неизвестное D:
2 - 2 — 3 • 3 + 5 • (—1) +			D = О, D =		10. Это значение подставляем
в (А) и получаем то же, что и раньше:
		2х — З г / + 5 г + 1 0 = 0.
Задача	17,25	(для	самостоятельного решения). Через точку
М (—4, —1, 2) провести плоскость, параллельную плоскости
		Зх+ 4у — г — 8 = 0 .
О тв ет . З х + 4 у — z + 1 8 = 0.
Задача	17, 26	(для самостоятельного решения). Найти урав
нение плоскости,		проходящей		через	точку	(2, 5, —1) и парал
лельной плоскости		х + Зу — 4z			5 = 0.

О т в е т , х + 3у — 4г — 2 1 = 0 .

Задача 17,27 (для самостоятельного решения). Найти урав нение плоскости, проходящей через точку (1, —3, 2) параллельно плоскости

			1х — 4у -f г — 4 = 0.
О т в е т . 7х.— 4«/+z — 21 = 0.					2, 3) и N (—2, —1,	3)	про
Задача 17,28.			Через точки М (1,
вести плоскость,			перпендикулярную		плоскости
			х + 4у — 22+		5 = 0.
Р е ш е н и е .		Уравнение связки		плоскостей, проходящих			через
точку, имеет вид (17,18).				ух и гх координаты точки М,
Подставляя		в	(17,18) вместо хь
получим		А (х— 1 ) + В(у — 2) +			С ( г - 3 ) = 0.		(Л)

Определению подлежат А, В и С.						N (—2,
Так	как данная плоскость проходит и через точку
—1, 3),	то координаты этой точки должны удовлетворять урав
нению плоскости. Подставим в (А)					координаты точки N	вместо
текущих	координат и получим
откуда	А (—2— 1) + В (—1 — 2) + С (3 — 3) = 0,
		—ЗА — ЗВ = 0, или А + В = 0.					(В)

Используем теперь то, что искомая плоскость перпендику лярна данной. Условие перпендикулярности двух плоскостей

(17, 21) с	учетом того, что из данного уравнения Лх = 1, В, = 4,
С = —2,	запишется так;
	1 • Л + 4 • В — 2 • С = 0.

Соединяя (Л) и (В), получим систему двух однородных линей ных уравнений с тремя неизвестными:

Л + В = 0 \ Л + 4В — 2 С = 0/ •

Решаем эту систему по формулам (17,25) и получаем Л = —2Г, В = 2/; С = 3t.

Подставляя эти значения Л, В и С в (Л) и сокращая на t, будем иметь

—2(х — 1 ) + 2(у — 2) + 3(2 — 3) = 0.

Откроем скобки, сделаем приведение подобных членов и окон чательно получим искомое уравнение в виде

2 х — 2у — 3z + 1 1 = 0.

Задача 27,29 (для самостоятельного решения). Найти урав

нение

плоскости,

проходящей через

точки

М (—1, 2,

—3) и

N (1,

—5)

перпендикулярной

плоскости Зх-\-5у— 6г +

1 =

У к а з а н и е .

Для

определения коэффициентов

Л,

В и С

получится

система

уравнений

С = 0\

Л +

В —

ЗЛ +

5В — 6С = 0 / «

из

которой на основании формул (17, 25) Л =

— (; В = 3t\ С = 2t.

О т в ет , х — 3у — 2 г + 1 = 0.

Задача

17,30.

Найти острый

угол

меж ду двумя

плоскостями:

5х — 3y-\-Az — 4 = 0,

(1)

Зх — Ау — 2 а + 5 = 0.

(II)

Р е ш е н и е . По формуле (17,20) получим, если учесть, что на

основании

(I) А х = 5;

Вх ----- —3;

Сх =

4, а

из (II)

Л2=

3; В2=

- 4 ; С2= - 2 ,

1 5 +

12 — 8

COS (р =

19 .

У 50 • У 29

5 + 5 8 *

cos <р=

0,4990;

<р— 60с04'.

В формуле (17, 20) следует взять абсолютную величину правой части, так как надо найти острый угол между плоскостями и, значит, cos <р > 0.

Задача 17, 31 (для самостоятельного решения). Найти острый угол между плоскостями

5х — Зу + 5г + 5 = 0 и х — 2у + Зг — 5 = 0.

О т в ет , cos<р=

0,9046; <р=

25°14'.

смысл коэффициентов

А,

Задача 17, 32. Выяснить геометрический

В и С в общем

уравнении плоскости

(17,1)

Ах By -j- Cz -j- D = 0.

(A)

Р е ш е н и е .

Рассмотрим

вектор

n с проекциями

на

коор

динатные оси, соответственно равными А,

В и С, т. е. п [А,

В, С).

2. Возьмем на плоскости (Л) две произвольные точки:

М (хи

уъ

Zj)

N {х2,

у2,

z2)

и рассмотрим

вектор MN.

Этот

вектор

лежит в

плоскости

(Л).

Его

проекции

на

координатные оси со

ответственно

равны

х2 — xv

у2 — уу,

г2 — гг

{х2 —хъ

Уг

Ух, z 2

Zy).

точки

М и N лежат в плоскости

(Л),

то имеют

Так

как

место

равенства

Аху -J- Вуу -f- Czy -f- D = 0

Axj -j- By2 -f- Cz2

D = 0.

Вычитая первое уравнение из второго, получим

Л (х2 — ^i) +

В (у2 — уу) +

С (z2 — Zy) = 0.

(В)

Скалярное произведение вектора

л (Л,

В,

С,} на

вектор

MN {х2 — Ху,

у2 — уъ

z2 — Zy }

равно

А (х 2 — Ху)

В (у2 — уу) + С (Z, — Zy).

Так как на основании (В) это скалярное произведение равно


нулю, то вектор п			перпендикулярен		вектору MN, а тем самым
и к	той	плоскости,	в которой	лежит этот вектор, т. е. вектор
п{А,	В,	С} перпендикулярен		плоскости Ах + B y C z D		— 0 .
З а к л ю ч е н и е .			Геометрическое значение коэффициентов Л,
В и С в общем уравнении плоскости					(17, 1) состоит в том,	что

они являются проекциями на координатные оси Ох, Оу, Ог вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Задача 17,33. Найти следы		плоскости	Зл: -f 2у — 4 г+ 5 = 0
на координатных плоскостях.
Р е ш е н и е .	Уравнение прямой, по которой данная плоскость
пересекается с	плоскостью хОу,	мы получим	как уравнение гео

метрического места точек, координаты которых одновременно удовлетворяют уравнению данной плоскости и уравнению пло скости хОу. Так как плоскость хОу имеет уравнение z — 0, то

уравнение искомого следа получим, положив в уравнение данной плоскости z = 0.

Окончательно уравнения искомого следа данной плоскости на плоскости хОу имеют вид

Зх -(- 2у -(- 5 = 0 1

2 = 0

/•

Первое из этих уравнений изображает плоскость, параллельную оси Oz, а второе указывает на то, что на этой плоскости рас сматриваются точки, принадлежащие плоскости хОу (в плоскости хОу первое из этих уравнений определяет прямую линию).

Уравнение искомого следа на плоскости уОг получим, учи тывая, что плоскость уОг имеет уравнение х = 0. Положив в данном уравнении х = 0, получим уравнения следа плоскости на плоскости уОг

2у — 42 +	5 =	0 )
* =	0	/•

Первое из этих уравнений есть уравнение плоскости, параллель ной оси Ох, а второе указывает на то, что в этой плоскости рассматриваются только точки, принадлежащие плоскости yOz (в плоскости уОг первое из уравнений определяет прямую линию).

Наконец, след данной плоскости на плоскости xOz, уравнение которой у = 0, мы получим, положив у = 0 в уравнении данной плоскости. Уравнения этого следа

Зх — 42 -{“*5 = 01

У = 0 / ’

причем	первое из них — уравнение плоскости, параллельной оси
Оу, а второе указывает на то, что на этой плоскости рассматри
ваются	только точки, лежащие в плоскости xOz (первое уравне

ние в плоскости xOz определяет прямую				линию).
Задача 17,34 (для самостоятельного решения). Найти следы
плоскости	5 х + Зу + 2z— 12 = 0	на	координатных плоскостях и
построить	эти следы.			хОу
Ответ . Уравнение следа на		плоскости
	5;с + Зу — 12 =		0 \
	2 = 0		] ;

уравнение следа на плоскости yOz

3y + 2z— 12 = 0 \ * = 0

уравнение следа на плоскости xOz

5 J C + 2 2 — 1 2 = 0 \

У = 0 }•

Задача 17,35. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки MiO, 2, —1); М2(— 1, 0, 4); М3(—2, —1, 1).

Р е ш е н и е . На				основании		уравнения			(17,26)		можно уравне
ние искомой плоскости написать в виде
					У — 2		z + 1
					—	2		5
					—	3		2
Вычисляя этот определитель, получим
	—4 (х— 1) — 15 {у — 2) +						6(z + 1) +			15 (х— 1) +
				+ 4 (</ — 2) — 6(z +				1) = 0.
Раскрывая		скобки,		делая приведение				подобных членов и сокра
щая на	11,	получим			окончательно х — у-\-\					= 0. Это уравнение
определяет		плоскость,			параллельную оси Ог.
Задача		17,36	(для самостоятельного						решения). Найти урав
нение	плоскости,			проходящей		через		три	точки:		Мх(1, —3, 4);
М2 (0, —2,		—1);	М3(1, 1, — 1).
От ве т .		\5х — Ъу— 4z — 14 = 0.
Задача 17,37 (для самостоятельного решения). Найти урав
нение	плоскости,			проходящей		через		точки		Мг ^1, —2, — y j;
М2(2, 1, 3); М3(0,				-	1, - 1).
О т в е т . 5х + Зу — 4z — 1 = 0 .

ВОСЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Основные задачи на прямую в пространстве.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Это практическое занятие посвящается прямой линии в

пространстве. Напомним основные формулы:

пространстве,

Канонические уравнения

прямой линии

или

уравнения прямой

направляющими коэффициентами,

имею

вид

х — х0 =

у — //о = г — z0

(18, 1)

где х0, Уоу *о — координаты точки,

через

которую

проходит пря

мая,

а т , п и

р — направляющие

коэффициенты

прямой,

кото

рые

являются

проекциями

на

координатные оси

Ох,

Оу,

Ог на

правляющего

вектора прямой.

Если а, р

и у — углы

между прямой и координатными осями

Ох,

Оу и Ог, то

cos а =

± ______ т______ .

cos Р =

р2 '

т2+ я2 +

Р2

Y т2+

п2

COS у =

(18, 2)

Y т2+ п2+ р2 ’

cos a,	cos (3 й COSY	называются направляющими косинусами пря
мой.	Направляющие коэффициенты т, п и р можно рассматри
вать	как проекции	на координатные оси вектора, параллельного

прямой* причем т, п и р не могут быть одновременно равны нулю. Уравнения (18,1) могут быть записаны также в виде

	х * о _У Уо __ ^				?о e	1
	COS а “		cosp ~ ~		COS 7 ’
2.	В Параметрическом виде уравнения прямой					линии в про
странстве записываются так:
	х = х0 + mt;	y = y0 +nt;			z = z0 +pt,	(18,4)
где t — параметр.		прямой:
3.	Общие уравнения
	А\Х +	Вху + CiZ +		Di = О		(18,5)
	Л.2х	В2у	С*2z +	D<i — О

Каждое из уравнений (18,5)— уравнение плоскости, и таким образом прямая в пространстве может рассматриваться как пере сечение двух плоскостей, причем плоскости эти предполагаются Непараллельными, т. е. соотношение

А.2	__ Bi __ С\
	В2		С2
не имеет места.			прямых в пространстве:
4. Условие параллельности двух
х — х0 __ у — уо _ г — zо				(18, 6)
т	п		р*

х — ху = у		у у __ Z — Zy
ту	Пу		pi
Имеет вид	_п	__ р
т				(18, 7)
Щ	Пу		~р[*

5. Условие перпендикулярности двух прямых				(18,6) имеет
Нид			рру = 0.	(18, 8)
тту + ппг +
6. Угол между двумя прямыми (18,6) определяется по
формуле	тту + ппу +J>Pi______			(18 9)
COS со = +
	л2 +	Р2 • Y m \ + Л? + р\
V rn 2+

7.Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

A{xlt уь Zy) и B(x2i уъ г2),	запишутся в виде
х — Ху _	У — Уу __	z — Zy	(18,	10)
Хг — Ху	у2 — У\	22 — zi

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2117 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги