книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

В более удобной форме условие,

при котором три точки лежат

на одной прямой, можно записать так:

x i — * 3 __ У\

Уз

/ 2 5)

х г — х3 ~~уа — У з’

' ’

Подставляя сюда координаты данных точек,

получим, что левая

часть (2, 5) будет

равна

*1 —*з

5.

Хг — х3

2 ’

а правая часть

у\— Уз _

J L

Уз — Уз

2 *

Требование (2, 5)

выполнено:

_5

_ _ 5

2

— 2 '

y = kx + b,

(3,1)

где k — угловой

коэффициент

прямой,

т. е.

тангенс

того угла,

который прямая

образует с положительным направлением оси

Ох, причем этот угол отсчитывается

от

оси

Ох к прямой против

часовой стрелки,

b — величина отрезка, отсекаемого. прямой на

оси ординат. При 6 = 0 уравнение

(3,1)

имеет вид

у = kx, и

соответствующая

ему прямая

проходит

через начало

координат.

положительными, так и отрицательными, правая

часть уравнения

равна

единице.

4.

Нормальное уравнение прямой

х cos а + Уsin а — р = 0.

(3,4)

Здесь

р — длина перпендикуляра, опущенного

из начала коор­

динат

на прямую, измеренная в ед. масштаба,

а а — угол, ко­

к нормальному виду обе его части надо умножить на

нормиру­

ющий множитель.

N =

±

1

(3,5)

У А24- В2'

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ЕЕ УРАВНЕНИЮ

Прямая вполне • определена,

если известны две принадлежа­

щие ей

точки. Для того, чтобы

построить прямую по ее урав­

нению,

надо, пользуясь этим уравнением, найти координаты двух

Пример. Прямая 2х + у — 6 =

0 пересекает ось Ох в точке

{3, 0). Действительно, взяв в этом

уравнении у = 0, получим для

определения х уравнение 2х — 6 =

0, откуда х = 3.

задают произвольно,

а, ординату у находят из уравнения

прямой.

Пример. Прямая

2х — Ау = 0 проходит через

начало

коорди­

нат.

Вторую

точку

прямой

определим, взяв,

например, х = 2.

Тогда

для

определения у

получаем

уравнение

2 - 2 — Ау = 0;

Ау = А; у = 1.

Итак,

прямая 2х — Ау = 0 проходит через точки

(0, 0)

и (2,

1).

уравнением

(3,1) с

угловым

коэффи­

2.

Если

прямая задана

отсекаемого прямой на

оси орд'инат, и для построения

прямой

остается определить координаты еще только одной точки,

принад­

лежащей этой прямой.

Если в уравнении (3,1^ k Ф 0 и

Ь Ф 0,

ветствующее этому

значению х.

Пример. Прямая у = у х проходит

чер^б Ч^йчало координат и

точку (2,1),

так как при х = 2

из

ее

уравнения

у = у

• 2 = 1,

Построение прямых, параллельных координатным осям, за­

труднений не вызывает.

Теперь будем строить прямые по их уравнениям.

б) 2х —

Задача 3.1. Построить прямые:

а)

х + 2 у — 4 = 0;

— Зу + 6 =

0; в)

у = Зх -J- 2;

г)

у = — 2х; д)

2х 4- Зу = 0;

e) f + f

=

1; ж) т — т

==1; 3) T ' v' “ T y — 4 =

0:

и}

y = 2:

к) x -f- 3

=

0.

2у — 4 = 0 с коор­

а)

Определим точки пересечения прямой х +

динатными осями. Взяв

в этом уравнении сначала

у =

0,

найдем

имеет ординату у = 2.

Координаты точки

В (0,2). Построив

эти

точки,

соединим

их прямой (фиг.

3, 1а).

Эта

прямая и

соответствует данному

уравнению.

б) Определим точки пересечения пря­

мой 2х — З у + 6 = 0 с координатными ося­

ми: при

у = 0

получаем

2х + 6 = 0, х =

= —3.

Точка

А

пересечения

прямой с

осью

Ох

имеет

координаты (—3, 0); при

х = 0 имеет. —3у + 6 = 0; у =

2, и прямая

пересекает ось Оу в точке В (0, 2). Построим

эти точки,

соединим их

прямой

и полу­

чим

прямую,

соответствующую

данному

уравнению (фиг.

3, 1 б).

задана

уравнением с угловым коэффи­

в) Прямая у = З х + 2

мой. Как указано выше,

легче всего определить точку пересече­

ния прямой с осью Ох.

Взяв в уравнении прямой у равным ну-

лю, получим 0 = Зх -Ь 2,

а х = — ^ , и точка В пересечения пря­

г) Прямая

у =

—2х проходит через

начало координат (6 = 0),

а поэтому для

ее

построения достаточно найти еще только одну

точку, принадлежащую ей.

что у — —2 • (—1) = 2

Взяв

х = —1,

получим,

и,

значит,

точка А (—1,2) принадлежит

прямой.

Проведя

прямую

через

начало координат и точку

(—1,2), мы получим

прямую,

соответ­

ствующую

данному

уравнению (фиг. 3, За).

д) Прямая 2х

Зу =

= 0 проходит через на­

чало

координат,

так

как

ее

уравнение не

содержит

свободного

члена.

Найдем

еще од­

ну точку,

принадлежа­

щую

прямой.

Возьмем,

точку с

абсциссой

х = 2.

Подставляя

например,

На

прямой

в уравнение

прямой

х =

= 2, получим для

определения

ординаты этой

точки уравнение

2 • 2 + Зу = 0; Зу = —4; у =

— i .

= 1— уравнение прямой в

отрезок

на

осях.

Из

него

сразу

усматриваем,

осях

Ох

и Оу

отрезки,

величины

что

прямая

отсекает на

которых а =

4, 6 = 5

(фиг,

3, 4а).

ж)

Уравнение

| —

Т ~ '

пРе°бразуем

к виду

(3,3).

Запом­

ните,

что

в

уравнении

прямой,

в

отрезках

на осях в

левой

тогда

а = 2, а Ь =

—4.

Прямая, соответствующая этому урав'

нению,

показана на

фиг.

3,46.

з)

Для

построения прямой

— 4 = 0 . Определим точ­

ки пересечения ее с координатными

осями.

Положив

в ее урав-

нении у

_ 'i

найдем,

3

20

я

= 0,

что -g- х — 4 = 0 , а отсюда х = -д-, и точка А

пересечения прямой с осью абсцисс имеет координаты

Взяв

в

уравнении прямой х = 0,

найдем, что у =

—5 и точ­

ка В пересечения прямой с осью Оу име­

ет координаты В (0,

—5). Проводим

через

эти точки прямую. Она и соответствует

данному уравнению (фиг. 3, 5).

и)

Уравнение

у = 2

определяет

пря­

мую, у которой все точки имеют ордина­

ту, равную

2 ед.

масштаба. Эта прямая,

очевидно, параллельна оси Ох, находится

над ней и проходит через точку

(0,

2)

(фиг.

3, 6).

х + 3 = 0 перепишем

в

к) Уравнение

виде

х = —3. Это

уравнение определяет

прямую, у которой все точки имеют абс-

Фиг.

3,5.

оси Оу,

циссы,

равные —3.

Ясно, что это

прямая

параллельна

находится слева от нее на расстоянии 3 ед. масштаба

и про­

ходит

через

точку

(—3,

0) (фиг. 3, 7).

Я

у

(-т _

о

X

2

Фиг.

3,6.

Фиг. 3,7.

Задача

3, 2.

Общее уравнение прямой 4х — Зу +

12 = 0 пред­

ставить, в

виде:

1) с угловым коэффициентом; 2) в

отрезках на

осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.

Р е ш е н и е .

1) Уравнение (3,1)

прямой с угловом коэффици­

коэффициент при х на коэффициент

при. у и взять полученное

А*

частное с обратным знаком k = — -g-.

2) В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид (3,3)

Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной

прямой 4х — Зу + 12 = 0,

поступим так: в уравнении прямой по­

ложим у = 0. Получаем 4 х + 1 2 = 0,

а х = —3.

Значит, наша

прямая пересекает ось Ох

в точке с координатами

(—3, 0), и в

уравнении (3, 3) величина

отрезка а — —3.

/ 1 = 4 , В = —3,

то

N = —

----- ;

N = - 4 - .

УЧ2 + (—з)2.

5

Умножая на — -g- обе части уравнения

4х — Зу + 12 = 0,

приведем его к

нормальному виду

4

. 3

12

Л

~ Т А' + т У — Т = °-

* В дальнейшем вместо фразы «возьмем прямую с уравнением, например

Ах-\-Ву +

С = 0»

мы будем употреблять

более

короткую:

«возьмем прямую

Ах -j- By +

С = 0».

Мы обращаем на это

внимание потому,

что Ах + Ву-\-

+ С = 0 есть уравнение прямой,

но не сама прямая.

3

, 15

Задача

3, 4 (для самостоятельного

решения).

Те же требова­

ния, что и в задаче 3,3 для прямой

12л; — 5у +

26 = 0.

Ответ. у

у J

Н®•

— JL JL

1

5

5 ’

12 +

26

1‘

Задача

3, 5.

Под

каким углом

прямая

у = х -f- 2

пересекает

ось Ох?

коэффици­

Р е ш е н и е . Прямая задана уравнением с угловым

ентом в виде

(3, 1). Сравнивая

данное

уравнение с

уравнением

y = kx+ b , получаем,

что k =

1.

Нам

известно,

что k — угловой

коэффициент

прямой,

т. е. k — это тангенс того угла,

который

прямая составляет с положительным

направлением оси

Ох. Этот

угол мы обозцаИим буквой <р. Значит,

k =

tg ср. У

нас b = 1, т. е.

tgcp = l;

следовательно,

<р= 45°.

Этим

заканчивается

решение

задачи.

3, § (для самостоятельного решения). Под каким углом

Задача

прямая у = 2* Jr 3 пересекает ось

Ох?

У к а з а н и е .

При

решении

задачи воспользуйтесь таблицами

тригонометрнчеСких функций.

О т в е т ,

tg (р = 2;

<р =

63°26'.

Задача 3, 7. Найти уравнение

биссектрисы

первого и третьего

координатных углов.

Р е ш е н и е . Уравнение прямой с угловым коэффициентом в том

случае, когда прямая проходит через начало

координат, имеет

вид

У =

kx,

(3, 6)

Величина k в

уравнении

(3, 1)

есть тангенс этого угла, т.

е. k =

= tg 45° =

1.

Подставляя это

значение в уравнение (3,6),

полу­

чим у = X.

Это и есть уравнение биссектрисы первого и третьего

коорди­

натных углов,

его следует запомнить. Оно может быть

записано

также в виде х — у = 0.

Задача

3, 8 (для самостоятельного решения). Найти уравнение

биссектрисы второго и четвертого координатных углов.

Отв ет ,

у = — х, или х + у = 0.

Задача

3, 9.

Прямая

проходит через точку (2, —3) и отсекает

на оси ординат отрезок

6 = 3.

Найти ее уравнение.

(3,1) с

Р е ш е н и е .

Будем искать

уравнение прямой в виде

угловым коэффициентом.

Это целесообразно сделать потому, что

в задаче задан

отрезок,

отсекаемый прямой на оси ординат, а в

в него это значение и получим

у = kx + 3.

(Л)

ния k : —3 = 2£ + 3.

Решая

уравнение,

находим, что

k = —3.

Подставляя это значение k

в (Л), получим искомое уравнение

прямой у = —Зх + 3.

Задача 3.10 (для

самостоятельного решения). Найти

уравне­

ние прямой, проходящей через точку (—1,

—3) и отсекающей на

оси ординат отрезок

6 = 4 .

Эта задача

решается так

же, как

и 3,9.

О т в е т , у = 7х + 4.