книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

циями 3 {7,2, —1} и Ъ {1, 2, —3}.

Найти

скалярное произведение

этих векторов и угол между ними.

Р е ш е н и е . По формуле (16,20)

а -Ъ — ахЪх +

ОуЬу +

агЬг\

подставляя сюда проекции данных векторов, получим

а - Ъ =

14;

по формуле -(16, 18)

а • Ъ — ab cos 0,

откуда

COS 0 =

а •Ь

ab

а = V a l+ ау+ al;

Ь = V b t+ b l+

b\\

отсюда

a = V 54;

а =

7,348;

Ь = VTi; Ь =

3,742;

получаем,

что

; 14

cos 6=

' 27,496’

COS0 = 0,509; 0 =

59°24\

Задача

16,16

(для самостоятельного решения). Векторы А В

и

CD заданы координатами

своих

концов

Л ( 1 , - 3 , - 4 ) ; В{—1, 0,2);

С (2, - 4 , - 6};

£>{1,

1,

1).

Определить

угол

между этими

векторами.

О т в е т .

cos0 = 0,973;

0 =

13°2Г.

У к а з а н и е .

(А В )Х=

—2;

{А В)У — 3; (ЛВ)г =

6;

(CD)* = - 1 ; (CD)y = 5; (CD)Z = 7;

A B = 7;

CD =

8,660

Задача 16,17.

Определить

угол между векторами

а

и Ъ,

за­

данными своими

проекциями а (2, 1, —2}, Ъ (1, —4, 2}.

О т в е т , а • Ъ = —10; 2) cos0= —0,248; 0 = 104°21.

3) аь = —1,336.

Задача 16,19 (для самостоятельного

решения).

Два

вектора

а и Ъ определены своими

проекциями а (4, — 1, —2}

и b {2, 1, 2);

Определить: 1) скалярное

произведение

этих векторов;

2) угол

между ними;

3) проекцию аь вектора а на направление вектора Ь;

4)

проекцию

Ьа вектора Ъ на

направление

вектора а.

Ответ.

1) а • Ъ = 3;

2) 0 = 7Г24'; ab = 1;

Ьа = 0,655.

на

Задача 16, 20. Найти

площадь параллелограмма, построенного

векторах

а = Ы— 4/ + 7k,

Ъ = t +

/ — 2 k.

Р е ш е н и е . По

определению векторного

произведения

двух

векторов модуль векторного

произведения

равен площади

парал­

лелограмма,

построенного на этих

векторах. Поэтому для

реше­

ния

задачи найдем сначала

векторное произведение а х Ъ,

а по­

том

его модуль. Согласно (16, 28)

имеем

i

j

k

а х

b =

5 — 4

7

= 7 +

17/ + 96,

1

1 —2

а

модуль

|а х

Ь\ = V l * +

172 + 9Г =

]/37Т;

\а х

Ь\ =

19,26.

Искомая площадь параллелограмма

S =

19,26

кв.

ед.

З а м е ч а н и е . Векторное

произведение а x b

можно

было

сразу определить по формуле (16,27),

в

которой

следует

взять

dx ~ 5,

ау

--

4,

аг

7,

Ьх — \;

Ьу = I;

bz = —2 .

Ответ, a x b

— —4i +

4/ — Зк; |а х

Ъ\ = 6,4.

Задача 16,23.

Векторы Л В и

CD определены координатами

своих концов: А (2, 4, 5);

В (—1, —3, —2);

С (4, 1, 7);

D (—2, 3,

10). Найти: 1)

векторное

произведение АВ х CD; 2) его модуль;

3) направляющие косинусы векторного произведения.'

__ Р еш ен и е .

1)

Найдем

прежде всего

проекции

векторов

АВ и CD на координатные

оси по формулам (16, 6):

(АВ)Х= - 3 ;

( Щ х =

-

6;

(АВ)у = - 7;

(CD)у =

2;

(АВ)г =

—7;

(Щ г = 3.

Итак, А В { —3, —7, —7);

CD {—6, 2, 3}.

Тогда по формуле (16, 27)

АВ X CD =

[—7 • 3—(—7) • 2] ? + [—7

(—6) — (—3) • 3]/ +

+ [—3 • 2 — (—7) • (—6)] k.

2)

Модуль векторного произведения

по его известным проек­

циям найдем по формуле (16, 4):

\АВ X CD \ = У (—7)2+ 512 +

(—48)2;

\А В Х CD\ = 1/4954 = 70,3847.

3)

Направляющие косинусы

векторного произведения найдем

по

формулам (16, 13):

—7 . С

51

—48

cos а — 70,3847’ C0S Р ~

70,3847’

C0S Т ~~ 70,3847’

cos а = —0,099; cos р = 0,724;

cos у = —0,682.

го на векторах АВ и АС. Площадь

параллелограмма,

построен­

ного на векторах А В и АС,

есть

модуль

векторного

произве­

дения АВ х АС, а

потому

площадь треугольника

АВС есть

S A B C

=

^ \ A B

х АС\.

Найдем векторное

произведение АВ X АС,

а потому

половину

его модуля.

Проекции векторов А В и АС на

координатные оси найдем по

формулам (16, 6):

(АВ)Х= 5; (АС)Х = 3;

(АВ)У= —4;

(АС)у = —\1

(АВ)г = 2; jZ C )2= 7.

AB = V 45;

АВ = 6,708;

ЛС = 1/59;

Л С = 7,681.

По формуле (16, 27) для векторного

произведения

векторов най­

дем, что

А В х А С = —261 — 29/ + 76.

Модуль вектора АВ х АС найдем по формуле

(ИЗ, 4):

\А В Х ЛС| =

]Л566; \АВ X А С | =

39,573;

S A B O = у

|

АВ х АС |= у

• 39,573;

S A B O

= 19,787 кв.

ед.

Задача 16, 25. Дана сила F (3, 4, —2} и точка

ее приложения

А (2, —1, 3). Найти момент силы относительно

начала координат

и углы, составляемые им с координатными осями.

координат ра­

Р е ш е н и е . Момент силы относительно начала

+ [ 2 . 4 - ( - 1) . 3] k;

т0 (F) = —10? + 13/ + 1 Ik.

Отсюда

тх -- —10; ту = 13;

тг =

11;

и модуль момента

т = V п и +

ту + ml = Y (—Ю)2+

132 +

II2; т = У 390;

т = 19,748.

Направляющие косинусы вектора

т0 (F)

равны

C0S а =

БЩ 8= —l°>506;

cos Р =

Щ48 = ° '658’

К о н т р о л ь :

должно быть cos2а +

cos2p +

cos2y =

1.

У нас

cos2а +

cos2р +

cos2у =

0,999.

Задача 16,26

(для самостоятельного

решения). Найти

момент

i

/

k

тв (F) =

1

1

1 tnx — —13; ttiy — 12; ttiz — 1;

5

6

—7

cosy = __l_

m = V 314;

cos a

13 cos p =

17

~ / 3 l 4 ’

m *

/ 3 l 4 ‘

Ах -f* By Cz -|- D = 0.

(17, 1)

Ах -f- Ну -I- Cz =

0.

(17, 2)

При С =

0 уравнение (17,1)

примет вид

Ах +

By +

D =

0,

(17, 3)

и плоскость

параллельна оси

Ог.

При

В = 0

уравнение

(17,1)

запишется

в

виде

Ax + Cz + D = 0.

(17,4)

В этом случае плоскость параллельна оси Оу,

а при А = 0 урав­

нение (17, 1)

приобретает вид

By + Cz + D = 0,

(17,5)

и плоскость параллельна оси Ох.

плоскость

параллельна

Вообще следует запомнить,

что если

какой-нибудь координатной оси,

то в

ее

уравнении

отсутствует

член, содержащий координату,

одноименную с этой

осью.

Если

в уравнениях (17, 3), (17, 4)

и

(17, 5) окажется,

что D = 0,

то эти

уравнения

имеют вид

А х + В у = 0;

(17,6)

Ах + Cz = 0;

(17, 7)

By +

Cz = 0.

(17, 8)

Уравнение

(17,6) — уравнение плоскости,

проходящей через

коор­

динатную ось Oz\ (17, 7) — уравнение плоскости,

проходящей через

ось Оу,

а

(17, 8) — уравнение плоскости, проходящей через ось Ох.

Если в

уравнении (17, 1) А — 0 и В = 0, то оно приобретет вид

Cz + D = 0,

(17, 9)

и

плоскость параллельна координатной плоскости хОу. При В = 0

и

С = 0 уравнение (17, 1) запишется в виде

Ax + D = 0,

(17,10)

уОг. При Л = 0 и С = 0 получаем из

(17, 1)

By + D = 0,

(17,11)

и плоскость

(17, 11)

параллельна

координатной

плоскости

xOz.

Если

окажется,

что в

уравнениях

(17,9),

(17,10)

и

(17,11)

D = 0, то эти уравнения

примут вид

2

=

0,

(17,12)

х =

0,

(17, 13)

У = 0

(17,14)

и будут

уравнениями

самих

координатных

плоскостей,

соответ­

ственно хОу, уОг и xOz.

виде

2. Уравнение плоскости в нормальном

x c o s a +

cos р +

ZCOS7— р = 0,

(17,15)

где а, (3 и у — углы между

координатными

осями

Ох,

Оу

и Ог

и перпендикуляром,

опущенным из

начала

координат

на

плос­

кость,

а

р — длина этого

перпендикуляра.

нор­

3.

Для приведения

общего уравнения плоскости (17, 1) к

мальному виду (17, 15) обе его части следует

умножить на

нор­

мирующий множитель

______ 1______

N =

(17, 16)

±

У А 2 +

В 2 +

С2’

выбрав перед корнем знак,

противоположный

знаку

свободного

члена в уравнении (17, 1).

на

осях

4.

Уравнение в плоскости в отрезках

£ + £ + £ =

1

(17, 17)

а

^

Ь

^

с

где а,

б и с — величины отрезков, отсекаемых плоскостью

на коор­

динатных

осях.

5.

Уравнение

связки

плоскостей,

проходящей

через

точку

М { х ъ

у ъ

г , ) ,

имеет вид

A { x - x 1) + B

(

y - y 1)

+ C ( z - z 1) = 0.

(17, 18)

Давая коэффициентам А, В и С в

уравнении

(17, 18)

различные

значения,

мы получим

различные

плоскости,

проходящие

через

точку

М (хи уъ гх).

6.

Угол

между двумя

плоскостями

А,х + В^у -f- Qz-f- Di =

0 и А гх +

В$у -f- C$z -f* D%=

0.

(17, 19)

определяется

по формуле

cos <f>= ±

Ах/4д -f- $1^2 4“ C\C*

(17, 20)

y f A \

}/" A

\ +

B \

+

c f

+

B \

+

Cj

7.

Условие

перпендикулярности двух плоскостей

(17, 19) имее

вид

А,А2 4- В,В2 4* С,С2 =

8.

0.

(17,21)

Условие параллельности

двух плоскостей

(17, 19) имеет вид

_

Вх _ Cj

(17, 22)

А2

В2

С2

9.

Расстояние от точки N (хъ уъ г,)

до

плоскости

Ах-\-Ву-\-

4- Сг + D = 0 определяется

по формуле

d =

Ахх +

By, -|- Сг 1+ D

(17,23)

/

у42 +

5 2 +

С2

10. Нам часто придется решать систему двух линейных одно­

родных уравнений с тремя

неизвестными

ах +

by +

cz — 0)

а,х +

Ь,у +

с,г =

0|

^

В учебнике Привалова решение этой системы

подробно разо­

брано (см. ч. I, гл. VI).

Мы же для ссылок приведем относящиеся сюда формулы:

X =

b с

• t\

у

=

с а

• /;

г =

а b

t,

(17, 25)

Ьг сг

Ci а.

а,Ь,

где t — произвольное число,

а,

по

крайней

мере,

один из опре­

делителей, входящих в (17, 25),

не равен нулю.

И. Уравнение

плоскости,

проходящей через три данные точки

A to,

у„

гх), В (х2, у2, г2),

С to ,

у3, г3) имеет вид

х — X! у — У, Z — 2 ,

= 0.

Х2 — Х,

у 2 — У , Z2 —

2 ,

(17, 26)

* 3 — * 1 У 3 — У 1 «2 — Z1

Прежде всего

решим ряд

задач,

связанных

с исследованием

общего уравнения

плоскости.

плоскости,

параллельной оси

Задача 17,1. Найти уравнение

Ог и проходящей

через точки А (2, 3, —1)

и В (—1, 2, 4).

Р е ш е н и е . Уравнение плоскости,

параллельной оси Ог, имеет

вид (17,3)

А х + B y + D = 0

(так как плоскость по условию

задачи

параллельна

оси

Ог, то

в ее уравнении отсутствует координата г).

то

координаты этой

Если

плоскость

проходит через

точку,

точки

удовлетворяют уравнению

плоскости.

Подставляя

коорди­

наты точек Л и В в уравнение

(17, 3),

получим

два

уравнения:

2Л +

3B + D = 0j

3

1

1

2

2 3

А

2

1

• t; В = 1

—1

■t\ D = —1 2 t;

A =t; В = —3/; D = 7t.

Подставляя

найденные значения

А, В и С в (17, 3), получим

tx — 3ty + It = 0.

нение плоскости,

проходящей через точки А (2, — 3,2) и

Задача 17,3

(для

самостоятельного решения). Найти уравне­

ние плоскости,

параллельной оси Оу и проходящей через точки

Л (2, 1, - 2 ) и

В ( - 7 ,

- 2 , 1).

кости хОу и проходящей через

точку Л (1, 2,—4).

плоскости

Р е ш е н и е .

Уравнение

плоскости,

параллельной

хОу,

имеет вид

(17,9):

C z + D

= 0.

точки

Л,

получим —4С +

Подставляя

в него

координаты

+ D = 0, или D =

4С. Подставляя это значение в (17, 9), получим

Cz +

4 C = 0 ,

а сокращая

на С,

будем иметь

окончательно

z +

4 = 0.

Задача

17,5.

Составить уравнение плоскости,

перпендикуляр­

ной оси Ох и проходящей через точку

Л (3, 7, —1).

оси

Ох, то

Р е ш е н и е .

Так как плоскость

перпендикулярна

она

параллельна плоскости

уОг, а

потому

ее

уравнение

имеет

вид

(17, 10)