книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfгде а |
и ГЬ— координаты |
центра окружности, а г — радиус ок |
||
|
ружности. |
|
|
|
Если |
же центр окружности находится в начале координат, |
то ее |
||
Уравнение имеет вид |
+ Уг = |
г \ |
|
|
|
|
(Ю, 2> |
||
2. |
Эллипс. Эллипсом |
называется |
геометрическое место |
точек, |
для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же по стоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).
Простейшее уравнение эллипса
|
|
|
|
|
|
*2 , У_г _ |
, |
|
|
|
|
(10,3) |
|
|
|
|
|
|
а2"Г 6г ~ |
1’ |
|
|
|
|
|
где с — большая |
полуось эллипса, |
|
|
|
|
|
|
|||||
b — малая |
полуось эллипса. |
|
|
то между а, |
Ь и с (если |
|||||||
Если |
2с — расстояние между фокусами, |
|||||||||||
а > Ь) |
существует |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
а2 — Ьг = с2. |
|
|
|
(10,4) |
||
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния |
||||||||||||
между фокусами этого эллипса к длине его большой |
оси |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
е = 1а• |
|
|
|
|
|
(10,5) |
У эллипса эксцентриситет е < 1 |
(так |
как с < |
а), а его фокусы |
|||||||||
лежат на большой оси. |
|
|
окружности |
с центром в |
||||||||
Задача |
10, |
1. |
Написать уравнение |
|||||||||
точке С (2, —3) и радиусом, равным 6. |
|
в нем а = 2, b — |
||||||||||
Р ешен ие . |
|
По уравнению (10,1), |
полагая |
|||||||||
= —3, г = 6, сразу имеем (х — 2)а + |
{у -f- З)2= |
36, или |
||||||||||
Задача |
10, |
2 |
|
х2 + у2— 4х + 6у — 23 = 0. |
|
|
||||||
(для самостоятельного решения). Написать урав |
||||||||||||
нение окружности с центром в точке |
(—4,7) |
и радиусом, рав |
||||||||||
ным 7. |
(х + |
|
4)2+ |
(у — 7)2= 49, |
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
х2 |
у2-{“ 8х — 14t/ |
|
16 = 0, |
|
|
||
Задача |
10, 3. |
|
|
|
||||||||
Показать, что |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
х2+ у2+ 4х — 6у —3 = 0 |
|
|
|||||
есть уравнение Окружности. Найти ее центр и радиус. |
||||||||||||
Р е ш е н и е . |
Заданное уравнение |
преобразуем к |
виду (10,1). |
|||||||||
Выпишем |
члены, |
содержащие только |
х, и |
члены, |
содержащие |
|||||||
только у. Легко |
проверить (сделайте |
это!), |
что |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
х2+ 4х = (х + 2)2— 4, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
У2— 6у = (у — З)2— 9. |
|
|
|
Левая часть уравнения |
(у— З)2 — 9 — 3 = 0 |
|
(х + 2)2 — 4 + |
|
|
х2 + 4х |
у 2—6у |
|
или отсюда |
(i/ ■—З)2= 16. |
(А) |
(•* + 2)а + |
Сравнивая уравнение (Л) с (10, 1), заключаем, что это уравнение определяет окружность, центр которой имеет координаты С( — 2,3), г2 — 16, а г = 4.
Задача 10, 4. Найти координаты центра и радиус окружности
хг + у2 — х + 2у — 1 = 0. Решение. Преобразуем уравнение к виду (10, 1).
Соберем члены, содержащие только х |
и только у: |
|||
|
|
У2 + 2у = (У + I)2— 1. |
||
Заданное уравнение перепишется |
в виде |
|
||
или |
х2— х |
уг + 2у |
|
|
|
|
|
||
|
|
( * - т ) 2 + ( г / + 1 ) 2 - т = 0’ |
||
и окончательно в |
виде |
|
|
|
|
|
— т )г+ ^ + 1)2= Т » |
||
|
Следовательно, из сравнения с уравнением (10, 1) заключаем, |
|||
что |
центр окружности находится |
в точке ^ , —1j , а радиус ра- |
||
вен |
3 |
|
|
|
|
Задача 10, 5 (для самостоятельного решения). Найти коорди |
|||
наты центра и радиус окружности |
|
|||
|
|
х2 + у2+ Зх — 7у — |
== 0. |
|
|
Ответ. ( — |
т ) ’ г = 4. |
|
|
|
Задача 10, 6 (для самостоятельного решения). Найти коорди |
|||
наты центра и радиус окружности |
|
|||
|
|
х2 + у2 + х — у = 0. |
||
|
Ответ. ( —4 |
» т ) . '■= НГ* |
|
|
Задача 10, |
7. Найти точки пересечения окружности (х — 1)2+ |
-f (у — 2)2= 4 |
и прямой у = 2х. |
Р е ш е н и е . |
Координаты точек пересечения должны удовле |
творять обоим |
указанным уравнениям, так как эти точки нахо: |
Дятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему урав нений
|
|
( х - 1 ) 2 + ( у - 2 ) 2 = 4\ |
|
|
||||
|
|
|
У = 2х |
|
Г |
|
|
|
Подставляя в первое уравнение 2х вместо у и раскрывая скобки, |
||||||||
получим |
|
х2— 2х + |
1 -f 4х2— 8х + 4 = 4, |
|
|
|||
или |
|
|
|
|||||
|
5л;2 — Юл: -f- 1 = 0, |
|
|
|||||
а отсюда |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 V 5" |
|
5 — 2 V~5 |
|
|
||
|
|
Х1 = - ^ ~ В----- , *2= |
------5----- . |
у = 2л:, получим |
||||
Подставляя |
эти |
значения |
во второе |
уравнение |
||||
|
|
1 0 ^ 4 /Т |
|
10 — 4 / 1 |
|
|
||
|
У \ — |
5 |
> Уг — |
5 |
|
|
||
Искомыми точками пересечения будут А (хг ,Ут), |
В {хг, г/л), |
|||||||
А |
|
i » ± f O ) „ |
|
» = j £ l ) . |
||||
Задача |
10, 8. Написать уравнение окружности, |
проходящей |
||||||
через три точки: (0, 1); (2, 0); |
3 ,—1). |
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . Искомое уравнение имеет вид (д: — а)а + (у — b)2= |
||||||||
= г2. Поскольку |
окружность |
проходит |
через указанные точки, |
|||||
координаты |
каждой из |
этих |
точек |
удовлетворяют |
уравнению |
|||
окружности. Подставляя |
поочередно |
в |
искомое уравнение коор |
|||||
динаты данных точек, получим три уравнения |
для |
определения |
||||||
а, Ь и г. Вот эти уравнения: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
а2+ (1 — Ь)2 = г2 |
-I |
|
|
|||
|
|
(2— а)2 -{-Ь2 — г2 |
|
|
|
(3 — а)2+ (—1 —Ь)2— г2 J
Возьмем уравнения первое и второе, а потом первое и третье. Правые части этих уравнений между собой равны, значит, равны и левые их части, и мы получаем
a2 (1 — Ь)2 = (2 — а)2+ |
b2 |
i |
а2+ (1 — Ь)2 = ( 3 а)2+ (—1 |
—b)2 j* |
Раскрывая скобки и упрощая, будем иметь 4а — 2b = 3 I
6а — 4Ь = 9 ) *
|
3 |
9 |
|
эти |
значения |
а |
и & в |
|||
Отсюда а = — j , |
6 = —у . Подставляя |
|||||||||
первое из уравнений системы, получим г1 — у . |
Искомое |
уравне |
||||||||
ние имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х + т )2 + (у + 1 ) |
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ’ |
|
|
|
|
|
||
или после упрощений х2-f- у2+ Зх + 9у — 10 = 0. |
|
|
|
|||||||
|
|
Задача |
10, 9. Найти |
уравнение окруж |
||||||
|
|
ности, |
касающейся |
|
оси |
Ох в |
начале |
|||
|
|
координат и пересекающей ось Оу в |
||||||||
|
|
точке А (0, 10) (фиг. 10, |
1). |
|
диаметр |
|||||
|
|
Р е ш е н и е . |
Известно, что |
|||||||
|
|
окружности, проведенный в точку ка |
||||||||
|
|
сания, |
перпендикулярен |
касательной. |
||||||
|
|
Это значит, что |
диаметр |
ОА окружно |
||||||
|
|
сти направлен по оси Оу, |
центр |
окруж |
||||||
|
|
ности |
находится |
в |
точке |
С(0,5), а |
||||
|
|
радиус окружности г = 5. Искомое урав |
||||||||
|
|
нение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||
х2+ |
(у — 5)2= 25, или х2+ у2— 10у = 0. |
|
|
|||||||
Задача 10, 10 |
(для самостоятельного |
решения). |
Найти |
уравне |
||||||
ние окружности, |
касающейся оси Оу в начале координат |
и пере |
||||||||
секающей ось |
Ох в точке (—12, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т , х2 -{■ У2 + 12х = 0.
Задача 10, 11. Составить простейшее уравнение эллипса, зная,
что: |
а) полуоси его |
а — 6, 6 = |
4; |
б) |
расстояние между фокусами |
|||||||
2с = |
10, |
а большая |
ось 2а = 16; |
в) |
малая полуось 6= |
4, и |
рас |
|||||
стояние между фокусами 2с = |
10; г) большая |
полуось |
а = |
12, a |
||||||||
эксцентриситет е = |
0,5; д) малая полуось 6 = |
8, а эксцентриситет |
||||||||||
е = 0,6; е) сумма |
полуосей, а + |
6 = |
12, а расстояние между фоку |
|||||||||
сами 2с = 6 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е , |
а). Простейшее |
уравнение эллипса |
имеет вид |
|||||||||
^ + |
fa = |
1- Подставляя сюда а = |
6, |
b = 4, получим |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Х_ , |
Г |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
16 |
|
|
|
|
|
б) У |
нас |
2с = |
10; |
с = 5; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2а = |
16; |
а — 8. |
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую по |
||||||||||||
луось 6. Между |
величинами а, 6 и с у эллипса существует зави |
|||||||||||
симость |
а2— 62= с2, |
или 62= а2— с2. В нашем случае 62 = 64 — |
||||||||||
— 25 = |
39, |
и уравнение эллипса будет иметь вид |
|
|
в) |
Решите самостоятельно. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
у2 |
|.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ- 4 Г + Т £ = |
!• |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
а = |
12; |
е = |
0,5; |
известно, что е = |
|
в этой |
формуле не |
||||
известно с. Для |
его определения получаем уравнение |
|
|||||||||||
|
|
|
0,5 = |
отсюда с = 6. |
|
|
|
||||||
Теперь, зная, |
что а = |
12, с = |
6, пользуясь соотношением а2— |
||||||||||
— с2= 62, |
найдем, что 62= |
144 — 36 = 108; |
а2= |
144. |
|
||||||||
Уравнение будет щ + |
щ |
= |
1- |
|
|
|
|
||||||
д) |
6= |
8; е = |
0,6; е = |
^ |
; отсюда-^- — 0,6, |
с = 0,6а. |
Напишем |
||||||
соотношение |
а2— с2 =Ь2 и подставим в него |
с = 0,6а; 6 = 8. |
|||||||||||
Получим |
а2 — 0,36а2 = 64; |
0,64а2 = |
64; а2= 100. |
|
|||||||||
Уравнение эллипса будет иметь вид |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
у2 |
i |
у2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
± |
- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
100 ~ |
64 |
|
|
|
|
||
е) |
а + |
6 = |
12, 2(7= 61^2. |
|
|
|
|
|
и 6. Нам |
||||
Для определения |
уравнения |
эллипса надо знать а |
|||||||||||
известно, |
что с = 3|^2; с2= 18; |
а2— Ь2 = с2. |
сюда а 4- 6= 12, |
||||||||||
Поэтому (а + 6) • (а — 6) = |
18. |
Подставляя |
|||||||||||
найдём, что а —6 = |
1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решая |
систему уравнений |
|
|
12 | |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а + b = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
а — 6= |
1,5J’ |
|
|
|
получим, что а = 6,75, 6 = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде
I _у^__1
6,752 'г 5,252 —
Задача 10, 12. Найти длины осей, координаты фокусов и экс центриситет эллипса
4л;2 + 9у 2 = 144.
Решение. Преобразуем это уравнение к простейшему виду
~ - f - |! = 1. Разделив обе части заданного уравнения на 144, по-
лучим.ЩГ + Tg = L |
|
|
Значит, а — 6, 2а = |
|
Отсюда заключаем, что а2=36, 62= 16. |
||||
= 12; 6 = 4; 26 = 8. Таким образом, длины |
осей равны соответ |
|||
ственно 12 и 8. Зная а и 6, |
из |
соотношения а2— с2 = |
Ь2 най |
|
дем с. Подставим а = 6; 6= 4 |
и |
получим, |
что с = 2 У5. |
Коор- |
динаты фокусов будут (2 ] / 5, 0) и (—2 V 5, 0). Эксцентриситет эллипса
|
|
2 / б _ / |
б . |
|
V 5 |
' |
|
|
|
|
|
~ б |
з |
' |
|
3 |
|
|
|
Задача 10, 13 (для самостоятельного решения). Найти длины |
|||||||||
осей, координаты фокусов и экцентриситет эллипса |
|
|
|||||||
|
16хг + 9у2 = 144. |
|
|
|
|
|
|||
У к а з а н и е . |
Фокусы |
эллипса |
|
лежат |
на |
его |
большой оси. |
||
Большая ось заданного эллипса лежит на |
оси Оу, |
как вы легко |
|||||||
|
|
усмотрите, получив простейшее урав |
|||||||
|
|
нение эллипса. |
|
|
ось равна |
8, |
|||
|
|
О т в е т . |
Большая |
||||||
|
|
малая 6. Координаты фокусов |
|
||||||
|
|
Ft (0, |
/ |
7), |
Л ( 0,- V I ) , е= |
|
|||
|
|
Задача 10, 14. Отрезок ВС дли |
|||||||
|
|
ны / |
движется |
своими |
концами |
по |
|||
|
|
сторонам прямого |
угла |
ВОС. |
|
||||
|
|
Какую линию опишет на этом |
|||||||
|
|
отрезке |
точка |
А, |
разделяющая |
его |
|||
|
|
в отношении X |
X |
|
|||||
Р е ш е н и е . |
Стороны |
прямого |
угла, |
о |
котором идет речь в |
задаче, примем за оси прямоугольной системы координат (фиг. 10, 2).
Если мы обозначим |
через |
т и п |
отрезки, |
отсекаемые отрезком |
||||
ВС соответственно |
на координатных осях Ох и Оу, то во все вре |
|||||||
мя движения |
будет сохраняться равенство |
|
|
|||||
|
|
т 2+ п2= /2. |
|
|
||||
Координаты |
точек |
В и С |
будут В (0, n), |
С (т, 0). Координаты |
||||
точки А обозначим |
через х |
и |
у. |
Тогда по |
формулам (2, 1) для |
|||
определения |
координат точки, |
делящей отрезок |
в данном отно |
|||||
шении, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Xm |
X/7z e |
Ti |
X • 0 |
|
п |
|
* = T i r r = т £ т : у = 1+ х |
Т4Т ’ |
|||||||
|
|
X |
1 + |
|
У = |
п |
|
|
|
|
и |
|
14- *’ |
|
|
||
Возведем обе части |
каждого из |
этих |
равенств |
в квадрат и по |
||||
членно их сложим. Получим |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Xi + l/2= |
m2-f n2 |
|
|
|||
|
|
(1 + |
Xj2 ’ |
|
|
вспоминая, что тг+ пг = /2, имеем
x z |
p |
т>+ У2 |
(14-Х)1* |
а отсюда, деля обе части этого уравнения на его правую часть,
запишем |
искомое уравнение в |
виде |
||
, |
(1 + |
|
X)* |
(1 + X)* |
Искомым геометрическим |
местом является эллипс с полуосями |
|||
|
а = 1 |
и А, |
Ь = 1 |
ОДИННАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а н и е : Кривые второго порядка: гипербола, парабола.
Основные сведения из теории
Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная вели чина.
Предполагается, что эта постоянная |
величина не |
равна нулю |
|||
и меньше, чем расстояние между фокусами. |
|
||||
Простейшее |
уравнение гиперболы |
|
|
||
|
|
* _ J £ = I |
|
( Н . 1) |
|
|
|
аг |
Ь* |
|
|
Здесь |
а — действительная полуось |
гиперболы, |
Ъ— мнимая |
||
полуось |
гиперболы. |
|
|
|
|
Если 2с — расстояние между фокусами гиперболы, то между |
|||||
а, Ь и с существует соотношение |
|
(11, 2) |
|||
|
Ъ= а |
а2 + Ь2 = с2. |
|
||
При |
гипербола |
называется равносторонней. Уравнение |
|||
равносторонней |
гиперболы |
имеет вид |
|
(11, 3) |
|
|
|
Х2 _у2 = а2' |
|
Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния
между фокусами этой гиперболы к длине |
ее действительной оси |
е = ± |
(П.4) |
а
Асимптоты гиперболы — две прямые, определяемые уравне ниями
Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной
точки и от заданной фиксированной |
прямой. |
Точка, о которой |
||
идет |
речь в определении |
называется |
фокусом |
параболы, а пря |
мая |
ее — директрисой. |
параболы |
|
|
Простейшее уравнение |
|
(11, 6) |
||
|
|
у2 = 2рх. |
|
Входящая в это уравнение величина р называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.
Координаты фокуса F параболы (11,6) |
o j. Уравнение |
||||||
директрисы параболы |
(11,16) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
х = - \ . |
|
(11,7) |
|
Эксцентриситет параболы е = 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
Гипербола |
|
|
|
Задача |
11, 1. Составить простейшее |
уравнение гиперболы, если |
|||||
расстояние между вершинами |
ее равно 20, |
а расстояние между |
|||||
фокусами |
30. |
Вершины |
гиперболы лежат |
на ее действительной |
|||
Р е ш е н и е . |
|||||||
оси. По |
условию |
2а = |
20; |
2с = 30. |
Значит, а = 1 0 ; с =15; |
||
а2 = 100; |
с2= 225. |
|
гиперболы связаны |
соотношением (11,2) |
|||
Величины а, |
b и с у |
а2+ Ь2 = с2;
отсюда Ь2= с2— а2= 225 — 100; Ь2= 125. Значит, уравнение гиперболы будет
i l _ lL - Г
100 125 •
Задача 11, 2. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет е=1 ,4 . Найти уравнение гиперболы.
Решение . |
У нас а = 5, а2 =25; |
е = — = 1,4; с = 1,4а — |
||
= 1,4- 5 = 7, с2 = 49; 62= с2— а2= 49 — 25 = 24, 62= 24; |
иско |
|||
мым уравнением |
будет |
|
|
|
Задача 11,3. Гипербола проходит |
через |
точки ^3, ~^ 15| и |
||
(—21/5, 3). Найти уравнение гиперболы. |
может быть |
запи |
||
Р е ш е н и е . |
Уравнение гиперболы |
(11, 1) |
||
сано так: |
|
|
|
|
|
Ь2х2— а2у2 = а2Ь2. |
|
(11. 8) |
Определению подлежат а2 и Ь2. Подставим в это уравнение ко ординаты первой точки и получим
4562 — 12а2= Ъа2Ь2.
Подставляя в уравнение гиперболы (11, 8) координаты второй точки, получим
20Ь2 — 9а2 = а2Ь2.
Решим систему уравнений
2062 — 9а2 = а2Ь2 \
45Ь2— 12а2 = 5а2Ь2\‘
Умножая первое уравнение на 4, а второе на 3 и вычитая из второго первое, получим а2 = 5. Подставим а2 = 5 в первое урав нение и получим 2062 — 45 = 5Ь2, откуда Ь2 = 3. Подставляя найденные значения а2 и Ь2 в (11, 8), получим, что искомое урав нение имеет вид
Зх2— 5у2 = |
15. |
|
||
Задача 11,4. Найти уравнение асимптот гиперболы |
||||
2х2— 3у2 = 6. |
|
|||
Решение . У гиперболы две |
асимптоты, определяемые урав |
|||
нениями (11,5). Следует найти |
а |
и Ь. |
|
|
Приведем уравнение гиперболы к |
простейшему виду, разде |
|||
лив обе его части на б. Получим |
|
|
|
|
f! |
2 |
— 1 |
|
|
з |
|
1 |
|
|
Отсюда заключаем, что а2 = 3, |
а = 1/3; |
Ъ2= 2, b = 1/2. Подстав |
||
ляя эти значения а и b в уравнения |
асимптот (11,5), получаем |
]/2 х — У~Зу = 0 и У 2 х + У 3 у = 0.