книги / Прикладная статистика

зрения принятия выдвинутой гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X произошло достоверное событие. Гипотеза считается не противоречащей опытным данным и принимается. Если же оказывается, что > Х2^* то выдви­ нутая гипотеза отвергается, считается, что она противоречит опытным данным.

В пашем случае к = 11, г - 11-1 -1 = 9 (по выборке был опреде­ лен один параметр— X). Если положить р =0,95 ( а =0,05 — наибо­ лее употребительное значение уровня значимости), то по табли­ це распределения х1накодим, что = 16,92. Между тем = = 2,45 < х7,р- Так что мы можем считать, что случайная величина X имеет показательное распределение с параметром X = 0,00115. Если бы мы объединили три последних интервала в одци, то имс-

X2был предложен Карлом Пирсоном в 1900 г. До этого времени совпадение экспериментальных результатов с теоретический оценивалось по тому, как онн выглядят на графике.

Мам осталось ответить на вопросы, поставленные в пункте 6.1. Мы считаем справедливым показательный закон с парамет­ ром X = 0,00] 15. Следовательно, ЩХ) = /А » 870 (ч).

р{Х> 1000) = е-х"|™ - е <- = <г,-,3»0,32; р(Х< 200) - е° - = I - «0,21.

6 . 3 . Д Р У Г И Е П Р И М Е Р Ы

6.3.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Заказчику необходимы валы с допустимым отклонением диаметра от номинального размера ±0,1 мкм. Прежде чем по­ купать партию из 1000 валов, он приобрел партию из 200 валов, чтобы оценить ожидаемую долю неподходящих ему изделий. Результаты измерений представлены в табл. 6.4.

111

Таблица 6.4

200откл<тстЬ| диаметрадала от номинального размера (мкм)

имеет нормальное распределение. Функция плотности нормально­ го закона зависит от двух параметров — аист:

Как известно, М(Х) = а9а(Х) = с . Для определения а и о по­

112

Значения функции плотности вероятности на границах ин­ тервалов таковы (табл. 1.5):

График функции плотности вероятности показан на рис. 6.3. Вычислим теоретические вероятности попадания в интер­ валы. Формула вычисления вероятности попадания в интервал л,) нормально распределенной случайной вел™ ош X такова:

/>(т,_1 < Х < л ,) = ~<»^А/ д - " ]-

где Ф(х) — функция Лапласа.

Значения функции Лапласа приведены в приложении 1. От­ сюда:

/>|(-0,15<*< "

=-0,477 -(-0,492)^0,0] 5;

= -0,445-(-0,477) = 0,032

Дальнейшие вычисления приведены в табл. 6.6.

Из-за того, что значение параметра я случайно совпало

113

с одной из границ» значения вероятностейр4оказались симметрич­ ныотносительно интервала (-0,05; -0,01). Двапоследних интервала [0,09; 0,11) н [0,11; 0,13) объединены ввиду их малочисленности.

Положим а = 0,05. Число степеней свободы г - 13 - 2 - I - = 10, х2^ = 18,3 > х 2^ = 8,06. Нет оснований отвергнуть выдви­ нутую нами гипотезу о нормальном законе распределения от­ клонений диаметра вала от номинального значения.

Оценим долю валов, подходящих заказчику. Вероятность того, что диаметр вала соответствует требованиям заказчика равна/?(—0,1 <Х<0,1) =

= Ф{2,6)+Ф(1,4)=0,495+0.419=0,914.

114

В среднем около 9% валов окажутся непригодными для за­ казчика.

6,3.2. Проверка гипотезы о равномерном законе распределения

В точение 10 часов регистрировали время прибытия машин к бензоколонке (табл. 6.7).

Таблица 6.7

При уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том, что время прибытия машин — случайная величина, имеющая равнодIсрнос распределенне.

Построим гистограмму. Так как п = 200, /г = 1, то высоты гистограммы таковы:

*, = 2?0 =0,П;/'2=^ =0Д5;Ал =0,11;/' ^ 0,С>8;

Л3 = 0,14; Л, = 0,065; А, - 0,085; ЬЙ= 0,1; Н9= 0,085; = 0,075.

Гистограмма приведена на рис. 6.4.

Если мы считаем, что время прибытия машин имеет равно­ мерное распределение, мы должны определить два параметра (я и Ь) равномерного закона. Как известно, функция плотности вероятности/(х) равномерного закона такова:

1

(■Ь - а )

0,дг«(<х,6)

И 5

Рис. 6.4.

При этап щ х ) = Е ± Ь ; 0 ( х ) = ! ^ А - 1 ф ) = ~ ^ -

Так что для определения а и Ь можно записать два уравне­

ния:

я + 6 —

2 = а*;

Ь- а

2 Л

откуда а = х - 5л/3; Ь = х + з4 Ъ .

Но мы поступил! проще и разумнее. Ноша выборка расположе­ на на интервале (в,18), поэтому положим: а ~ 8, Ь = 18,Дх) = 0,1

(*е(8,18)).

График функции плотности вероятности /(х) также показан на рис. 6.4. Все теоретические вероятностир, одинаковы и равны

— - — = 0,1. Дальнейшие расчеты представлены в табл. 6.8.

116

Итак, = 14. Найдем ^ . Мы ис определяли по выбор­ ке параметров закона — ирсмя работы бензоколонки задано за­

При уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу о том» что монеты правильные.

Если вес монеты правильные, то вероятность выпадения гер­ ба длл каждой из них равнар = 0,5. Тогда случайная величина X — число выпавших гербов при бросании семи монет — име­ ет биномиальное распределение с параметрами п = 1 н р = 0,5. Биномиальное распределение дискретно, поэтому нужно вы­ числить теоретические вероятности р, каждого из 8 возможных значении случайной величины X. Эти вероятности считают по формуле Бернулли:

117

ЯЙГ= 0)^С 7У ^ = 0,57= 0,0078; Р{Х=\) = С *р> < ?= 7x0,57 = 0,055; Р(Х= 2)= су< ? = 21x0,5'=0,164;

7 ^ = 3 ) = С7У<? =35x0,57=0,273; ДАГ= 4 )= С /рУ = 35x0,5* = 0,273; Р(Х= 5) = С /р У =21x0,57=0,164;

7x0,5'= 0,055; /ф Г = 7)= С /дУ = 0,5’= 0,0078. Теперь можно вычислить математические ожидания чисел появлении каждого из значений случайной величины Л’при. 1536 бросаниях семи монет, сравшггь их с экспериментальными дан­

подсчете г вместо числа интервалов берут число различных зна­ чений лгг В нашем случае г - 8 - 1 = 7 , так как ни одного пара­ метра по выборке мы не находим. Тогда %^ = 14,1> х*пгн= 10,32. Ист оснований опровергнуть гипотезу о правильности монет.

6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона

В таблице приведены числа п} участков равной площади (0,25 км2) южной части Лондона, на каждый из которых при­ ходилось по х{ попадании самолетов-снарядов во время второй мировой войны (табл. 6.11).

118

Всего и - 576 участков. При уровне значимости а =* 0,05 про­ верить гипотезу о том, что случайная величина А"— число са­ молетов-снарядов, попавших на участок, имеет раслрсдслеЕше Пуассона.

Вероятность того, что случайная величина Х> имеющая рас­

119

Два последних значения п4и пр пр4и пр5 объединены, что­ бы обеспечить выполнение условия лр. > 5. Таким образом, ос­ талось 5 разных значении случайной величины: 0,1, 2, 3 и вес, «по больше или равно 4. Число степеней свобода равно г = 5 -1 - I = 3, так как по выборке было определено значение параметра X. Тог­ да = 7,8 > хажп “ 0,96. И в этом случае можно считать спра­ ведливой выдвинутую гипотезу.

6.3.5. Последний пример

Согласно закону Геллпна, предложенному им в 1655 г., веро­ ятности рождения двоен, троен и четверней есть соответственно р, р \ р \ где р ■— число, постоянное для данной группы населе­ ния. На основании приведенных ниже данных проверить, вы­ полняется ли закон Геллина для многоплодных рождений среди японцев н белого населения США. В табл. 6.13 через у, обозначены относительные частоты рождений двоен, троен и четверней соответственно за указанные периоды.

Прежде всего оценим ло нашим выборкам неизвестные зна­ чения р . Положим, что сумма частот у2 + у, + V, равна сумме

120