книги / Прикладная статистика

Если альтернативная гипотеза имеет вид Ящ: Р] < Р2, то = -1 ,65< иэЛ11. Нельзя утверждать, что второй рабочий в среднем делает больше брака, чем первый.

Для проверки нулевой гипотезы используют случайную веЛЕ[ЧНЕ[у:

Т =

где 5], 5^ — выборочные дисперсии; 5^— исправленные вы­ борочные дисперсии.

Если нулевая гипотеза верна,то случайная величина Т имеетрас­ пределение Стыодента с числом степеней свободы г = пх + пг - 2.

8.2.3.Проверка гипотезы о значении дисперсии

Из нормально распределенной генеральной совокупности извлечена выборка объема н. На основании этой выборки тре­ буется проверить нулевую гипотезу, что дисперсия генеральной совокупности равна числу иа2.

Для проверки гипотезы используется случайная величина;

где 5* — выборочная дисперсия.

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина ^ имеет распределение у? с числом степеней свободы г = п - 1.

т

Пример, Тонкость нападки станка-автомата, производящего некоторые детали, характеризуется дисперсией длины деталей. Если эта величина больше 400 мкм2, станок останавливают для наладки. ВыборочЕсая дисперсия длины 15 случайно отобранных деталей из продукции станка оказалась рапной Д- = 680 мкм2. Нужно ли проводить наладку станка, если: а) уровень значимос­ ти а = 0,01; б) уровень значимости а = 0 ,1 ?

Решение. Требуется проверить нулевую гипотезу Н0: о1 = 400 мкм1 против альтернативной На; а- > 400 мкм2. Вели­ чина уровня значимости а определяет ширину критической об­ ласти. Чем больше а, тем шире критическая область (рнс.8.6).

По таблице распределения положив а =■ О,I и г = 14, нахо­

Вычислим

Х,‘эког - 15 х 680 = 25,5. 400

Если принять а = 0,01, нулевую гипотезу можно считать нс противоречащей опытным данным. При а - 0,1 нулевая гипоте­ за отвергается.

8.2.4.П роверка гипотезы о равенстве дисперсий двух

генеральны х совокупностей Имеются две генеральные совокупности, дисперсии которых

сг,2 и а*

172

неизвестны. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборкн объемов и, к л2 соответственно. По этнм^выборкам вы­ числены исправленные выборочные дисперсии Д2 и 5*. Для оп­ ределенности будем полагать» что 5* >5^. Требуется проверить

Если нулевая гипотеза верна» то случайная величина Г рас­ пределена по так называемому закону Фишера. График функции плотности вероятности распределения Фишера показан на рис. 8.7. Распределение Фишера зависит от двух параметров, которые обоз­ начаются ?, и г2 л называются числом степенсз! свободы большей и меньшей дисперсии соответственно. В нашем случае г, - пх - 1,

г 2 ~ п2“ ^ная у\35 гг по таблице распределения Фишера можно найти число Р н сравнить его с найденным по выборхам.

Числа в таблице Фишера больше I, поэтому критическая об­ ласть всегда правосторонняя, а при вычислении эксперименталь­ ного значения Р большую дисперсию делят на меньшую, чтобы получилось больше 1. [Р. Фишер (1890-1968) — выдающийся английский статистик, создатель дисперсионного анализа. Труды Р. Фишера способствовали развитию теории проверки статисти­

ческих гипотез и многомерного статистического анализа].

173

8.2.5. Проверка гипотезы о значении коэффициента корреляции р

Из двумерной нормально распределенной генеральной со­ вокупности извлечена двумерная пыборка объема п. Требуется проверить гипотезу о том, что коэффициент корреляции меж­ ду составляющими двумерной генеральной совокупности равен числу/10.

Для проверки гипотезы Н0: р= р0 используют следующую

статистику (преобразование Фишера): 2 = 0,51// -—- I где г — выборочный коэффициенткоррсляцш!. }

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина г имеет распределение, близкое к нормальному. Параметры этого рас­ пределения таковы:

Щ г ) = 0 , 5 0 {г ) = 1/(„ - 3 )

Чем больше объем выборки л, тем ближе распределение ста­ тистики г к нормальному распределению. Практическая реко­ мендация — п > 10.

Пример. Пусть п = 40; г = 0,8; а = 0,€5. Проверить нуле­ вую гипотезу # 0: р = 0,6 против альтернатавной И \ р > 0,6. При каких значениях п нулевая гипотеза будет принята? При каких значениях г нулевая гипотеза будет отвергнута?

Если нулевая пшотеза справедлива, то случайная величина г имеет такие математическое ожидание и дисперсию:

Тогда а{г) я 0,16.

Критическая область в нашем случае — правосторонняя, число 2 ^ определяется из условия Р(2 ^ < 2 < со) = 0,05.

174

1,65 Рения неравенство 0,69+ ^= р=^> 1,1, получаем, что 10<л< 19.

Левая граница (и < 10) указала, чтобы подчеркнуть, что гипотезу нс проверяют при малых л.

3. Чтобы нулевая гипотеза была отвергнута, должно быть

0,74 < г < 1. Правая граница (г < 1) указана, чтобы подчеркнуть, что значения выборочного коэффициента корреляции всегда нс превосходят числа 1.

Преобразование Фишера используют также дня проверю! нулсвоГтшотеэы о равенстве двух коэффициентов корреляции. Ну­ левая гипотеза Я0: р . - р 2проверяется при помощи статистики:

0.51л|

которую в случае справедливости нулевой гипотезы можно счи­ тать нормально распределенной со средним А4ЭД = 0 и дисперсией:

°(г)=^Ь+^э’'"""•г10)'

175

8.3. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Мы рассмотрим процедуры проверки следующих псларамстрнческнх гипотез: о законе распределения генеральной совокуп­ ности, об извлечении двух выборок из одной и той же генераль­ ной совокупности, о независимости двух случайных величин.

8.3.1. П роверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию К олмогорова-С мирнова (Я-критсрию)

Критерии Колмогорова-Смирнова используют только в слу­ чае непрерывно распределенных генеральных совокупностей. Кроме того, объем выборки л должен быть достаточно большим (л > 50), а значения параметров закона распределения должны быть оценены заранее (например, по параллельном выборке). Если определять параметры закона по той же выборке, по ко­ торой вычисляется экспериментальное значение критерия, он покажет хорошее согласование с теоретическим распределени­ ем, даже если это распределение подобрано неточно. Поэтому, когда вес-таки приходится использовать только одну выборку, уровень значимости а берется достаточно большим (0,1-0,2), чтобы критическая область была широкой.

С помощью критерия Колмогорова-Смирнова проверяют, совпадает ли функция распределения генеральной совокуп­ ности с предлагаемой теоретической функцией Для этого сравнивают значения функции Г(х) с вычисленными по выборке относительными накопленными частотами V ^ , где х .<— грани­ цы интервалов, по которым сгруппирована выборка. Если закон распределения генеральной совокупности указан правильно, то случайная величина:

X = т а х |/г(дг| )-У ^“ |7д при п -* т имеет функцию распределення А'(Х0) = Р (Х < Х 0)= |) ( - 1

1 7 6

Сравним число Хисп, определенное по выборке» с числом Х^, определенным по заданному значению уровня значи­ мости а. Если Х7ксп > Хкр, проверяемая гипотеза отклоняется, если Х1(сп < \ р, то считается, что указанная функция распре­ деления генеральной совокупности согласуется с опытными данными.

Пример. Вернемся к параграфу 6.3.1. Проверим гипотезу о нормальном законе распределения отклонений диаметра вала от номинального размера. Функция распределения нормального закона с параметрами а н а такова:

Л

^ = 0 ,5 + Ф

Определим теперь кжп. Вычисления сведем в табл. 8.1. Мак­ симальное значение разности | Р(х,) - V | выделено стрелкой. Напомним, что значения а л о были оценены по выборке и рав­ ны -0,03 п 0,05 соответственно:

Л=0,042*^200 = 0,6.

Положим а = 0,1, тогда А^ = 1,224. Так как А.^ > Л ^ . гипотезу о нормальном распределении отклонений диаметра вала от но­ минального размера можно считать нс противоречащей опыт­ ным данным.

177

8.3.2, Проверка гипотезы об извлечении двух выборок из одной н той же генеральной совокупности

Пусть имеются две выборки объемов и, и п2 соответственно. Требуется проверить нулсвуЕО гипотезу о том, что обе выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

9,3.2.1. Проверка по X- критерию

Предположим, что я,, пг > 50 и обе выборки сгруппированы по одним и тем же интервалам. Проверяется утверждение, что функции распределения Г }(х) и Р2(х) генеральных совокупнос­ тей, из которых извлечены выборки, тождественны. Для этого ислользуют выборочную статистику:

178

где п - пхп21 (и, + н,); уж.* |НК, уя3 и" — относительные накоплен­ ные частоты, вычисленные для границы х но первой и второй выборкам соответственно.

Если нулевая гипотеза верна, то при и —► выборочная ста­ тистика >. имеет распределение Колмогорова.

8.З.2.2. Проверкапо критерию Вилкоксана

Обозначим варианты нерпой выборки через х, г = 1,2,..., л,; варианты второй выборки — черезу.^ = 1,2,...»гг. Для проверки пулсипи гипотезы о равенстве законов распределения генераль­ ных совокупностей, из которых извлечены выборки, применя­ ется следующая процедура. Варианты выборок располагают в общую неубывающую последовательность, например,

*1 У\ У 2 -V* хз Уа х * х ь у *

гдсл^, . х6— варианты первой выборки; у х, ...,у5 — второй. Говорят, что варианты х, у{ образуют инверсию, если х >уу

В нашем примере варианта л, не образует ни одной инверсии с элементами второй выборки; варианта хг образует две инверсии (с числами у,, у2); варианты ху х4образуют потри инверсии каж­ дая ( с У з ) ; варианты х5 и лг6 образуют по четыре шверсим (с у ,, у2, ур у4). Общее число инверсий:

м = 0 + 2 + 3 + 3 + 4-1-4 = 16.

Можно показать, что при п , л2> 10 и справедливости нуле­ вой гипотезы случайная величина и — число инверсий — рас­ пределена приближенно нормально с параметрами:

М[н) = 0,5 и,и2; Щи) ~ г^п2 + п2 + 0 / 12. Критическую область в данном случае разумно выбрать

двустороннюю, так как к слишком маленькое, и слишком боль­ шое число инверсий равно свидетельствуют о несовпадении за­ конов распределения генеральных совокупностей.

Пример. Можно ли утверждать, что данные выборки извле­ чены из одной генеральной совокупности?

179

Принять а = ОД.

Решение. Воспользуемся критерием Вилкоксонл. Сольем дее наши выборки в одну, расположив варианты в порядке воз­ растать. Элементы второй выборки подчеркнем:

38,40,42,42,42,46,46,47,48, Ж 50, Д , 51, Ц 54, Ж 32,60,60,62,63,63.

Одшгаковыс варианты из разных выборок будем чередовать. Число инверсии:

.“ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 - 5 2 . Найдем и , Если # 0 верна, то Щ и) “ 0,5п(л2 = 0,5 хIОх12= 60;

Щи) « н и х ( п + и + 1}/12 = 10*12х23Л2 = 230;

Ц«) = ^230= 15,17.

Критическая область и область принятия нулевой гипотезы показаны на рис.8.8.

Границы критической области определяются из условия: Р ( \и - Щ и ) \ < г )= 1 - а = 0,9,

где в — половина ширины области принятия нулевой гипотезы.

О гсю да:2Ф |-4-г |= 2 ф [ _ 5 _ |=0,9; <?= 1,65x15,17=25;

^ с « ) ;

и'ер=<50-25 = 35; и2гр=60 + 25 = 85. Экспериментальное значение критерия н, равное 52, лежит

внутри интервала (ьг1^ и2^). Можно считать, что обе выборки извлечены из одной и тон же генеральной совокупности.

Заметим, что вследствие того, что критерий Вилкоксоиа уни­ версален, его можно применять для любых законов распределе­ ния генеральных совокупностей, он одновременно достаточно груб. Точнее говоря, велика вероятность ошибки второго рода.

180