книги / Прикладная статистика

С = 1 -2(0,057^0,0007 + 0,202*0,0163 * 0,172*0>052 + 0,201 х хО,13+0,112x0,1992 + 0,143x0,343 + 0,067x0,4732 + 0,046x1) +

+СО,057x0,0007 + 0,202x0,0156 + 0,172x0,0357 + 0,201x0,078 +

+0,112x0,0692 + 0,143x0,1438 + 0,067x0,1302 + 0,046x0,5268) =

=0,7113(71,13%).

Другой коэффициент, оценивающий степень концентра­ ции, называется коэффициентом Лоренца. Рассмотрим сумму:

Число 2 получается в пределе, если практически 100% ресур­ сов сосредоточены у бесконечно малой доли владельцев. Поэто­ му, чем ближе к 2 эта сумма, тем выше концентрация ресурсов, тем неравномернее они распределены.

Коэффициент Лоренца определяется так:

Для нашего случал получаем:

Ь = (1/2)х(|0,057 - 0,00071 + |0,202 - 0,015б| + 110,172 - -0,03571 +|0,201 -0.07001 + 10,112 - 0,06921 4-10,143 - 0,14381+

+(0,067 - 0,1302| +|0,04б - 0,52681 )х 100%=54,5%, Полученные значения коэффициентов Джннк и Лоренца гово­

рят о высокой степени концентрации земли на крупных фермах.

31

2 .3 , ЗА Д А Ч И

1. Как изменятся выборочное среднее, мода, медиана и выбо­ рочная дисперсия, если каждый член выборки:

а) увеличить (уменьшить) на число Ш б) увелнч1ггь (уменьшить) в к раз?

В задачах 2-13 нужно представить выборку графически и

5. В «Северных прериях» Э. Сетон-Томпсон рассказывает, что из окна вагона поезда канадской Тихоокеанской железной дороги в районе Альберты он видел 26 стад антилоп. В книге указывается количество животных в каждом стаде:

6. Пятьюдесятью абитуриентами на вступительных экзаме­ нах получены следующие баллы (из 20 возможных):

32

7. Результаты исследодажш прочности 200 образцов бетона

9.Распределение частот барометрического давления воздуха

агороде Ташкенте с мая по август 1897 г.:_____ _____________

11. Длины початков кукурузы в дюймах (сточностью до по­ ловины дюйма):

33

12. При подсчете количества простых чисел в восьмом мил­ лионе весь интервал был разбит на 2000 групп по 500 последова­ тельных чисел в каждой группе. Пусть X — количество простых чисел в группе, N (х) — число групп, в которых ло X простых чисел. В результате подсчетов получилась таблица

Показать, что, сели бы простые числа были расположены случайно, днслерсия была бы значительно больше.

13, Приведенные ниже числа представляЕот собой затраты в долларах на питаннс бб семей, каждая из которых состоит из 4 человек (данные конца 1960-х годов).

34

а) Нс производя вычислений, на глаз, сравнить следующие

и 5Л; и 5б; Зби $г в) Вычислить стандартные отклонения.

15. Преподаватели А иВ ведут разные курсы у одних и тех же студентов. Преподаватель Л, оценивая знания студентов, пред­ лагает им письменные работы и подсчитывает баллы, набран­ ные студентами за ответы на допросы в работах. Преподаватель В поступает так: всего нужно посетить 24 занятия, за каждое по­ сещение начисляется 2 очка. Баллы, полученЕсые пятью студен­ тами у этих преподавателей, таковы:

Вычислить коэффициент вариации баллов у каждого пре­ подавателя. Почему оценкам преподавателя В нс следует дове­ рять?

16. Следующие баллы получены пятью студентами у препо­ давателей Х„ У\ 2, ведущих три смежных дисциплины:

Вычислить коэффициенты вариации оценок. Можно ли ут­ верждать, что системы оценок сходны по своим принципам?

17. Варианты выборки называют стандартизированными, если они: преобразуются по следующему правилу:

х ‘=(х{-х)/5 %

где хй— старое значение варианты; х ' — новое значение варианты;

35

х, 8 — выборочное среднее н стандартное отклонение исход­

ной выборки.

а) Показать, что выборочное среднее преобразованной вы­ борки равно 0, а стандартное отклонение равно 1.

б) Стандартизировать баллы студентов из задачи 15 и срав­ нить успеваемость каждого студента по каждой дисциплине.

13. В приведенной ниже таблице фермы США сгруппирова­ ны по величине занимаемых площадей:

а) Почему пришлось прибегнуть к интервалам разной ширины? б) Какие изменения произошли в фермерском хозяйстве США?

]9, Ниже приводятся распределения возрастных групп насе­ ления США и острова Самоа в 1960 г.:

36

а) Найти (}у х, &л в каждом случае и объяснить результаты. б) Определить долю населения старше 55 лег в каждой стране.

20. |1иже приводятся два следующих распределения. Годо­ вой денежный доход лид, окончивших только среднюю школу, и лиц, имеющих высшее образование (4-годнчкый колледж). Данные налоговых деклараций за 1967 год.

а) Найти лг, ()тдля каждой выборки и объяснить резуль­ таты.

б) Подобрать разумные правые границы для последних ин­ тервалов, вычислить .г и ^ для каждой выборки и объяснить ре­ зультаты.

21. Построить кривую Лоренца н найти коэффициент Джини для следующих данных:

Группы пред­ [1-500) [500-1000) [1000-5000) [5000-10000) 210000 приятий по чис­ ленности заня­ тых чел.

нятых, мл к чел.

22. Построить кривую Лоренца н найти коэффициент Джини для следующих данных:

37

Глава III

ОБ Р А Б О Т К А Р Е З У Л Ь Т А Т О В

НА Б Л Ю Д Е Н И Й П О М Е Т О Д У

НА И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В

Музыку я разъял, кпхлгруп. Поверил я алгеброй гармонию.

А. Пушкин. Моцарт и Сальери

3 . 1 . Д В У М Е Р Н Ы Е В Ы Б О Р К И

До сих пор мы считали, что генеральная совокупность А'— од­ номерная случайная величина. В результате эксперимента такая случайная величина принимает одно значение ■— х. Но генераль­ ная совокупность может быть н многомерной случайной величи­ ной. Здесь мы ограничимся случаем двумерных случайных ве­ личин (АГ, У). Составляющие двумерного вектора — случайные величины X л У— могутбыть как зависимыми, так и независимы­ ми. Значения двумерной случайной величины (А', У) — это упо­ рядоченные пары чисел (дг, у), Выборка объема п на двумерной генеральной совокупное™ — это набор из и упорядоченных пар (*,> У^> *= I. 2 Такие выборки называются двумерными. Рас­ смотрим несколько примеров.

1. Генеральная совокупность (Х> У) — это множество пред­ ложений русского языка. Случайная величина А’— число слов в предложении. Случайная величина У— число букв в предложе­ нии. Ниже приводится текст из 10 предложений — отрывок из рассхаза А.П. Чехова «Анна на шее». После каждого предложе­ ния в скобках указано количество слов (к() и количество букв (у) в данном предложении. Пробелы здесь нс учитываются.

39

«Поехали на бал. (3, 12) йоги дворянское собрание, и подъезд со швеГщаром. (8,41) Передняя с вешалками, шубы, снующие ла­ кеи л декольтированные дамы, закрывающиеся веерами от сквоз­ ного ветра; пахнет светильным газом и солдатами. (19,122) Когда Аня, идя вверх по лестнице под руху с мужем, услышала музыку и увидела в фомадном зеркале всю себя, освещенную множеством огнен, то в душе ее проснулась радость и то самое предчувствие счастья, какое испытывала она в лунный вечер на полустанке. (41,203) Она шла гордая, самоуверенная, в первый раз чувствуя себя не девочкой, а дамой, и невольно походкою н манерами под­ ражая своей покойной матери. (22,106) И в первый раз в жизни она чувствовала себя богатой н свободной. (12,52) Даже присут­ ствие мужа не стесняло ее, так как, перейдя порог собрания, она уже угадала инстинктом, что близость старого мужа нисколько не унижает ее, а, наоборот, кладет на нее печать пикантной таин­ ственности, которая так нравится мужчинам. (35,197) В большом зале уже гремел оркестр, л начались танцы. (9,42) После казенной квартиры, охваченная впсчатлсЕшями света, пестроты, музыки, шума, Аня окинула взглядом залу и подумала: «Ах, как хоро­ шо!» и сразу отличила в толпе всех своих знакомых, всех, кого она раньше отличала на вечерах и гуляньях, всех этих офицеров, учителей, адвокатов, чиновников, помещиков, его сиятельство, Аргунова и дам высшего общества, разодетых, сильно декольти­ рованных, красивых и безобразных, которые уже занимали свои позиции в избушках и павильонах благотворительного базара, чтобы начать торговлю в пользу бедных. (72,43) Громадный офи­ цер в эполетах — она познакомилась с ним на Старо-Киевской улице, когда была гимназисткой, а теперь не помнила его фами­ лии — точно нз-под земли вырос и пригласил ее на вальс, и она отлетела от мужа, и ей уже казалось, будто она плыла на парусной лодке в сильную бурю, д муж остался далеко на берегу». (53,247)

В табличном виде выборка выглядит так:

40