книги / Прикладная статистика

Г лаваГ У ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Порвалась дней связующая тть, Какмне обрывы их соединить!

В. Шекспир, (пер. Б. Пастернака)

4 .1 . ЧТО ТАКОЕ ВРЕМЕННОЙ РЯД

Временной ряд — это последовательность данных, отнесен­ ных к определенным промежуткам (или моментам) времени: го­ дам, месяцам, дням и т л. Промежутки времени обычно имеют одшгакоиую ширину, их нумеруют натуральными числами, на­ чиная с нуля. Соответственно элементы временного ряда обоз­

71

промежуток времени (год). Достаточно распространены данные

идругого типа — значения некоторою процесса, определенные

вфиксированные моменты времени.

4.2. ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Анализ временных рядов проводится с целью понять и опи­ сать механизм, порождающий значение ряда, а затем попытать­ ся предсказать поведение ряда хота бы в ближайшем будущем.

Методы анализа временных рядов разрабатывались (и про­ должают разрабатываться) высокопрофессиональны мм матема­ тиками. Чтобы познакомиться с ними подробно, нужно иметь уровень математической подготовки, намного превосходящии тот, на хоторый рассчитано данное учебное пособие. Мы отме­ тим только самые простые методы изучения поведения времен­ ного ряда.

4.2.1,0 значениях временного рядл

В общем случае значения временного ряда представляют в виде суммы четырех компонент:

а) тренда или долгосрочного движения (английское слово «Нгепё» переводится как «тенденция»);

б) сезонной компоненты; в) колебаний относительно тренда, которые можно хотя бы

приближенно считать регулярными; г) остатка или случайной компоненты.

Первые три слагаемых относятся к так называемым детер­ минированным (определенным, закономерным) составляющим временного ряда. Их поведение предсказуемо, их значения мо­ гут быть вычислены при каждом ( как некоторая функция мо­ мента времени /.

Случайная компонента не является определенной функци­ ей времени. Ее поведение во времени описывается при помощи подходящих вероятностных моделей.

76

4.2.2. Тренды временных рядов

Под трендом временного руда будем понимать гладкую функцию, описывающую долгосрочное поведение временного ряда.

Рассмотрим три простейших уравнения тренда.

1.Линейная функция у(() = л/ +■Ь.

2.Полиномвторого порядка (парабола)у(1) = а(2 + Ы +с.

3.Показательная функцияу(1) = Ьл*.

Подходящее уравнение тренда часто можно подобрать уже по графику временного ряда. Так, график роста населения США почти не отличается от прямой. Наличие линейного тренда про­ сматривается в ряде безработицы в США, хотя отклонения от тренда значении этого ряда гораздо сильнее, чем на рис. 4.1. Глядя на рис. 4.3, можно предположить, что в ряде индекса вы­ пуска оборудования для частнопредпринимательского сектора США присутствует параболический тренд. А рис. 4.4 наводит на мысль о наличии показательного тренда в ряде душевого пот­ ребления хлопка в США.

Тренд используют при прогнозировании поведения ряда в будущем. Чтобы прогноз оказался достаточно точным, нужно уметь описывать н отклонения значений ряда от тренда. Вследс­ твие того, что рассмотрение моделей случайной компоненты временных рядов требует использования достаточно серьезной математики, мы вынуждены отказаться от изложения этих мо­ делей.

Для получения уравнения тренда чаще всего используют метод наименьших квадратов, который был изложен в главе 3. Время I рассматривается как независимая переменная, а значе­ ния временного ряда полагают функцией времени. При этом вычисления несколько упрощаются из-за того, что значения аргумента / — натуральные числа. Если в ряде п значений, то Г- 0,1,2,..., я -1 . В дальнейшем будут использованы хорошо из­ вестные формулы сумм целых степеней последовательных на­ туральных чисел:

77

4.2.2,1, Линейны й шренд

Пустьу{1)=а^Ь, тогда

а = !3 * \ ь = у - ш ,

при этом

;Ф - 1 ) _ Д ~ 1 . с»

2п 2 ' ‘ ч . 2 12

Пример. Рассчитаем коэффициенты а и Ълинейного уравне­ ния тренда для ряда роста населения США (табл. 4 .1).

5(у = 74,42; у = 215,255; я = 2,24; Ь = 193,9 = 194.

Уравнение тренда получилось таким: у - 2,24/ + 194.

Эта прямая настолько хорошо сливается с графиком вре­ менного ряда, что на рнс. 4.1 она не показана. Если рассчитать трендовые значения в 1964 (/ = -1) и в 1985 (/ = 20) годах, по­

Когда ряд так хорошо себя ведет, коэффициенты а и Ь очень точно можно оценить просто «на глаз», выбрав пару подходя­ щих точек на графике. Возьмем / = 0 н / =10 (ус=[ 94,3,у^= 216). Получаем следующую систему для определения чисел а и Ь;

[4 = 194,3; ||0 а + 4 = 216,

Отсюда а = 2,17, Ь = 194,3.

78

ПримерПостроим уравнение линейного пренда для безра­ ботицы в США. Этот ряд сильно колеблется, но линейный тренд всс-такн достаточно хорошо виден. Сначала оценим коэффици­ енты а и Ь приближенно. Возьмем г= 2 (у2= 3,0) и /= 15 (у2=7,б). Имеем спетому:

Г2л+$ = 3;

[15л+Ь = 7,6.

Отсюда а = 0,35; Ь = 2,3.

Проведем расчеты по методу наименьших квадратов. В дан­ ном случае:

я = 20, Г = Я 5; Л,2 = 33,25; > - 5 .795; 5^= 12,72; я = 0,38; Ь = 2,2.

Уравнение тренда: >=0,38 (+ 2,2.

В 1964 году безработица в США равнялась 3,8 млн. чсл., а в 1985 г. — 8,3 млн. чсл. Эти значения сильно отличаются от трен­ довых, особенно первое из них, так как у(-1) = 1,78; >(20) = 9,8-

Прямая у - 0,38/ + 2,2 построена на рис. 4.2.

4 X 2 .2 . Параболический т ренд

Рассмотрим уравнениеу(1) - а[?+ Ы + с.

Составим систему уравнений относительно неизвестных па­ раметров а, Ь, с, получающуюся по методу наименьших квадра­ тов:

аЁ <,+6Ё ,г+сЁ '=Ё ^

йЕ1г+&Бт,с=1 Х

Эту систему проще всего решать методом исключения неиз­ вестных.

79

Пример. Рассчитаем коэффициенты а, А, с для параболичес­ кого тренда ряда из табл. 4.3 (индекс выпуска оборудования для частнопредпринимательского сектора США в 1948-1971 гг.).

ОЙ О

2>\>\ = 375898,2-

ь

Система линейных уравнении

1431244а + 761766 + 4324с = 375898,2; 76176а+43246+276с = 22234,8; 4324а + 2766 + 24с = 1700.

имеет следующее решение: а - 0,179; Ь - -1,79; с = 59,1.

График функцииу(1) = 0,179/2-1,79^ + 59,1 показан на рис. 4.3. Попробуем оценить значения параметров а, Ь, с приближен­

но. Положим с = у й = 57,9. Визуально координата / вершины параболы равна 6.

Тогда Ы(2а) = -6, Ь = -12а. Осталось выбрать подходящую точку на графике временно] » ряда, которая не слишком силь­ но, по нашему мнению, отклоняется от тренда. Возьмем / = 5, у ,= 52,8.

52,8 = 2 5 а -6 0 а + 57,9 = > а = 0,146; Ь * -1 .75.

Приближенные оценки неплохо совпали с рассчитанны­ ми, Значения параметра а вычислялись с тремя знаками после запятой, значения параметра Ь — с двумя, а значения параметра с — только с одним из-за того, что а умножается на Ь умножа­ ется на /, а с — просто свободный член.

80