книги / Прикладная статистика

Доверительный интервал (х - /а Н п %х + изНп) содержит чис­ ло л с вероятностью {3.

Приведем значения г для наиболее часто встречающнхея зна­ чений вероятности 0:______________________________________

Пример. У ста случайно отобранных двадцатилетию* юно­ шей измерили рост. Оказалось, что средний ростх =1,73 м, а ис­ правленная выборочная днсперсия5*= 0,00245 м1. Построить до­ верительный интервал среднего всей совокупности, если/?-0,99.

Решение. Подразумевается, что случайная величина X — рост юноши — имеет нормальное распределение с неизвес­ тными нам параметрами гг и с Так как объем выборки п ве­ лик, то вместо неизвестного значения о можно взять значение

= >/5^00245 = 0,0495. Пели |3 = 0,99 = > I = 2,58. Отсюда:

с = 15 2,58x0,0495 = 0,013; 1,717< а <1,743.

тировать следующим образом. Случайный интервал (с,, е2) со случайными границами е(>е2, с вероятностью |3 содержит неслу­ чайное число а,

7.4.2. Построение доверительного интервала для неизвестной вероятности р «успеха»

Пусть в серии из п независимых испытаний «успех» произо­ шел к раз. Требуется построить доверительный интервал, содер­ жащий значения вероятности р появления «успеха» в каждом испытании с данной вероятностью Д

Вэтом случае генеральная совокупность X распределена по

за к о н у : __________________ ___________________

141

М (Х ) =р, О Д =рд.

Выборка, соответствующая к появлениям «успехом в п неза­ висимых испытаниях, имеет вид;

Выборочное среднеех - к/п можно считать приближенно нор­ мально распределенным только в случае большего числа испы­ тании. Но если это условие выполнено, можно воспользоваться таблицей функции Лапласа, подставив в формулу для € вместо неизвестного среднего квадратического отклонения а генераль­ ной совокупности исправленное выборочное среднее квадрати­ ческое отклонение 5;

Причем, если п велико, то подправлять 5 ист смысла. Окончательно с определяется по формуле:

/3 < м ^ )

& '

где число I берется из таблицы функции Лапласа из условия

Ф(0/2.

Пример. В 100 бросаниях монеты герб выпал 64 раза. Построить доверительные интервалы для вероятности р выпа­ дения герба в одном бросании с доверительными вероятностями

Р,=0)9;Рг = 0,9;Р, = 019.

Можно ли считать монету правильной?

Решение. Здесь: л = 100; Аг= 64; г , - 1,64; ^=1,96;

/= 2,58; выборочное срсднесГ=0,б4 выборочная дисперсия

=лг(| - *)= 0,б4х0,3б = 0,2304; выборочное среднее квад­

ко, поправкой для дисперсии можно пренебречь:

142

Границы доверительных интервалов для вероятности р та­ ковы:

0,561 <р < 0,719, если (} = 0,9; 0,546 </> < 0,734, если р = 0,95; 0,516 <р < 0,764, если р = 0,95.

Ни один из этих шггсрвалов нс содержит числа 0,5. Монету следует признать неправильной, вероятность р выпадения герба больше 0,5.

7.4.3. Построение доверительного интервала для неизвестного математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности, когда дисперсия о2 генеральной совокупности неизвестна

Как уже было сказано выше, когда объем выборки п > 30, при построении доверительного интервала дня а можно пользо­ ваться нормальным распределением, подставляя л формулу для ширины интервала с вместо неизвестного значения <х число 5, определяемое по выборке. Рассмотрим случай малых л.

В этой ситуации пользуются случайной величиной Г, опре­ деляемой формулой:

5 а Подчеркнем, что х к 5 — это случайные величины, а п и а —

числа.

Случайная величина ^распределена по закону Стыодента [Сгькъ декг— псевдоним английского статистика В. Госсста (1876-1937), одного из создателей теории проверки статистических гипотез].

График функции плотности вероятности случайной вели­ чины, распределенной по закону Стьюдента, симметричен

143

относительно оси ординат. Функция плотности /{(, г) зависит от одного параметра г, который называется числом степе­ ней свободы.

Случайная величина;

5 я

имеет число степеней свободы г1= п - 7 .

Для распределения Стьюдснта составлены специальные таб­ лицы» по которым, зная число степеней свободы г к вероятность Р события {Т>/^Ь можно кпйти число Таблица распределения Стъюдента приведена в прпл. 2.

Заключим случайную величину Т в интервал, симметричный относ*ггсльно нуля, и обозначим его границы через и у

' ( И < ' * ) - *

Тогда вероятности событии {Г<г^} и {Т>1&} равны:

д г > 9 = я ( г < г р) = 1 ^ .

Зная число степеней свободы г = л - 1 и вероятность (I - РУ2, можно по таблице найти число у Неравенство р | < /р означает, что

Раскрывая знак модуля, получаем, что

Мы построили доверительный интервал, содержащий чис­ ло я о вероятностью р. Если генеральная совокупность конеч­ на, состоит из N единиц, из нее извлекается выборка объема и, причемл>0,05АГ; при вычислении границдоверительных нктерваловдля а следует ввести поправочный коэффициент, равный у/ \ - а Ш (см. §7.4). Таким образом,

144

где число I определяется по таблице функции Лапласа при и >30 и по таблице распределения Стьюдента при и < 30.

Если закон распределения генеральной совокупности долек от нормального, то выборками малого объема лучше не пользо­ ваться, иначе закон распределения выборочного среднего* так­ же будет отличаться от нормального. Во всяком случае лучше брать а не менее 15-20 единиц.

7.4.4. Построение доверительного интервала для неизвестной дисперсии о1 нормально распределенной генеральной совокупности

Для построения такого доверительного интервала пользуют­ ся случайной величиной:

Здесь а и п — числа, 5 2,55 — случайные величины. Случайная величина:

имеет распределение г2 с числом степеней свободы г = л-1.

я (х 2 < х ? ) = ^

По таблице распределения х?> зная число степеней свободы г = п - 1 и вероятности событий:

145

находим числа Хз и В отличие от нормального распределения II распределения Стыодента распределение Хи-квадрат не сим­ метрично: для определения граЕНщ доверительного интервала нужно задать два условия.

Пример. Построить доверительный интервал с доверитель­ ной вероятностью р = 0,96 для неизвестной дисперсии а 2 нор­ мально распределенной генеральной совокупности, седи гг-20, 3=10.

Решение, г = п - 1= 19; —г ^ = 0,02; * * ^ = 0,98. По таблице

Извлекая квадратным корень нз чисел 5,93 и 23,26, получаем границы доверительного интервала для ст: 2,44 < а < 4,82.

7.4.5. Построение доверительного интервал» для разности математических ожиданий нормально

распределенных генеральных совокупностей

В этом случае имеются две нормально распределенные ге­ неральные совокупности Х { и Х2 с параметрами ар о2, и а2, о2 соответственно. Из первой совокупности извлекается выборка объема пр из втором — объема пг Требуется с заданной довери­ тельной вероятностью Р построить доверительный интервал для разности чисел (а2-а Д

Рассмотрим случай, когда числа о{ и о2, известны. Тогда слу­ чайная величинах,— выборочное среднее для генеральной сово­ купности Х1— имеет нормальное распределение с параметрами

146

ЪА(х) -а г 0(л;) * о*/и,. Случайная величина х2— выборочное среднее для генеральной совокупности Х2— имеет нормальное распределение с параметрами М(х^ = аг &(х{) = о*/пг Случайная величина х - тг- 3^ — разность выборочных средних — имеет нормальное распределение (как разность нормально распреде­ ленных случайных величин) с параметрами:

аг(л-)=л/(у1—дга)= - « 2 ;

о ( л ) = л ( ^ ] - л г ) = — + — • «1 «2

Теперь можно заклинит» случайную величину х в интервал |х - Л /(т )|< е

и найти число е, пользуясь таблицей функции Лапласа, из условия

/З(|д-М (л)|<г)=р .

Тогда по таблице функции Лапласа находим число:

,=6. ЕГ73,ф(о=р/2.

V "1 ч "2 интервал для разности (а - д 2) таков:

точно великл (??,, п^> Зб), то также пользуются описанной про­ цедурой, подставляя вместо о{ и а* исправленные выборочные диспсрсии${ и ^оп ределен ны е по выборкам.

147

Пример. Почва двух участков земли была тщательно про­ анализирована и оказалась одшгаковей по составу. На этих учас­ тках была посеяна пшеница одного сорта. На участок А внесено удобрение, а на участок В нет. Через месяц со дня посева пше­ ницы с каждого участка была произведена случайная выборка 50 растений, измерялась их длина. Средние значения и несме­ щенные выборочные дисперсии, вычисленные по выборкам,

тельный интервал для разности средних (я - д2). Оказывает ли удобрение влияние на рост растении?

Решение. Имеется в виду, что случайные величины Х § н Х2 — длины растений на участках А и В соответственно — нор­ мально распределены. Нужно построить доверительный интервал для разности (я,- я2) их математических ожидании. Дисперсии о1, и о2, неизвестны, но ввиду больногх объемов выборок (п= п = 50} можно воспользоваться нормальным распределением, подставив вместо о2, и о22числа?2 и $ 2 соответственно.

Интервал не содержит нуля. Удобрение способствует росту растений.

Бели выборки небольшие, но генеральные совокупности^ и Х 2имеют одиу и ту же дисперсию о2, вместо числа:

1 ° Ц ? , о 1 и ±

148

где?— объединенная несмещенная оценка дисперсии а1. Ранее была выведена формула, позволяющая найти выбороч­

ную дисперсию для объединения двух выборок:

« |+ « г

где 5\ — выборочные дисперсии, определенные по первой и второй выборкам соответственно. Как точечная оценка диспер­ сии о3 статистика ^ смещена. Действительно,

Л| +ГГ2

Несметен ной объединенной оценкой дисперсии о1 является статистика:

плюет распределение Стыодепта с числом степеней свободы

г = «1 + Д2 - 2 .

Эту случайную величину можно заключить в интервал |Г| < из условия:

к и < 'р ) = р .

Число 1р находится по таблице распределения Огыодента.

149

Тогда интервал для разности: (а,- <?,} таков:

Пример. Химик делает шесть измерений концентрации

ки, он делает одиннадцать измерений и получает, что срсдЕмл концентрация х2= 8,86, а 32= 0,21. Найти границы доверительно­ го интервала для разности средних величин концентрации кис­ лоты в двух бутылках при 0=0,99. Были ли наполнены бутылки одной и той же кислотой?

Решение, Предполагается, что показания прибора, измеря­ ющего концентрацию кислоты, можно считать значениями нор­ мально распределенной случайной величины.

Число степеней свободы г-6+1 -2 = 15; (1-р)/2=0,005. Тогда 1=2,95. Объединенная несмещенная оценка дисперсии;

с т и ^ с известным математическим ожиданием а к неизвестной

150