книги / Прикладная статистика

маленькое число. Для белого населения США имеем:

=0,01129 + 0,0001088 + 0,00000177 = 0,01140057 = 0,0114

1 — Р

Теперь можно воспользоваться критерием %3. Нужно опре­ делить» извлечена ли выборка из генеральной совокупности X, имеющем такой закон распределения (табл. 6.14).

Мк/г/д 6.14

Здесь р = 0,0113.

Все вычисления сведем в табл. 6.15. Частоты пГ н7 лг п4 рав­ ны соответственно:

121

Число степеней свободы г равно г = 4 - 1 - I = 2, - = 6,0 < Х2жу Расхождение велико, предложенный закон должен быть отвергнут.

Проделаем тс же вычисления в случае с японцами. у? + **+ ул ж

Тогдар = — '°--70 - « 0,0069?,^= 0,0000486;^=0,00000034; 14* 0 >0070

п, = т 1= 1226106 х (I - V ,- V,) = 1217502; п2 = т , = 8545,96; пл = т>} = 57,99; п = пу4 - 0.

Найдем х ^ А (табл. 6.16).

Х2^ = 3,8 > х 2ухгп= 0,06. В этом случае гипотеза, не отвергается.

в А . З А Д А Ч И

Во всех задачах на проверку гипотезы о законе распреде­ ления генеральной совокупности принять уровень значимости а = 0,05, сслн нс оговорено противное.

1.100 раз подбрасывались 4 монеты. Каждый раз отмечалось число хЛвыпавших цифр:

122

Можно ли считать, что случайная величина X — число вы­ павших цифр при бросании 4-х монет — имеет биномиальное распределение?

2. В библиотеке случайно отобрано 200 выборок по 5 книг в каждой. Регистрировалось число поврежденных книг (подчер­ кивания, помарки, вырванные страницы и т.п.):

0 1 2 3 4 5

1 2 72 77 34 14 Проверить гипотезу о том, что случайная величина^— чис­

ло поврежденных книг в выборке из. 5 книг — имеет биномиаль­ ное распределение.

3. На некотором заводе были обследованы рабочие, полу­ чившие на производстве незначительные увечья. За 52 недели результаты оказались такими:

Можно ли эти данные аппроксимировать законом распреде­ ления Пуассона?

4. Было проверено 500 одинаковых контейнеров со стеклян­ ными изделиями. В каждом контейнере нашли число повреж­ денных изделий:

Можно ли утверждать, что случайная величина X — число

поврежденных изделий в контейнере — имеет распределение Пуассона?

123

5. Ниже приводятся ставшие классическими данные Бортке­ вича о числе лиц, убитых ударом копыта в 10 прусских армейс­ ких корпусах за 20 лет (1875-1894):

Проверить гипотезу о том, что число смертен в одном корпу­ се за год подчиняется закону Пуассона.

6. По данным шведской статистики, в Швеции в 1935 г. ро­ дилось 88273 ребенка, причем распределение рождении по ме­ сяцам таково:

Совместимы ли эти данные с гипотезой о том, что день рож­ дения наудачу выбранного человека е равной вероятностью приходится на любой из 365 дней года?

7. Ниже приводятся результаты опыта с подбрасыванием костей. Количество гранен с б очками при 4096 подбрасываниях

Проверить гипотезу о правильности костей.

В задачах 8-16 проверить по критерию Пирсона одну из трех гипотез о законе распределения генеральной совокупности: рав­ номерном, нормальном или показательном законе.

124

8. Регистрировалось время прихода 800 посетителей выстав­ ки (начало отсчета — момент открытия выставки). Результаты указаны в таблице; в первой строке — интервалы времени, во второй — количество посетителей, пришедших в течение данкого интервала времени:___________________________________

10. Результаты испытаний прочности партии стальной про­ волоки диаметром 1,4 мм:

12. При изготовлении стального листа для автомобильных корпусов некоторые места, подверженные ржавчине и коррозии,

125

следует гальванизировать, т.с. обычный стальной лист целиком покрыть тонким ровным слоем цинка. Заказчику необходимо найти металлургический завод, который имеет возможность провести гальванизацию таким образом, чтобы плотность слоя покрытия была нс меньше 91,5 г/м2. На одном заводе собраны следующие данные о цинковом покрытии стальных листов:

ков числа п появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз

126

Глава VII

ПОНЯТИЕОТОЧЕЧНЫХ И ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ

СОВОКУПНОСТИ

Многолемрахишиш! я м д жмиъю земной, Непонятного нет для меня под лупой.

Мне твестыо. чтомне ничего не известно} — Вот последняя правда, открытая м«ой.

О. Хсп'еяи (перевод Г Плисецкого)

7 .1 . В Ы Б О Р О Ч Н Ы Е С Т А Т И С Т И К И

Выборочкой статистнкой называется произвольная чис­ ловая функция/(х г ху .... х) . вычисляемая для значений ху

,,,, хл, образующих выборку. Если вместо чисел лгг хг .... лп мы рассмотрим случайные величины Х г Ху Хя>независимые и одинаково распределенные, как генеральная совокупность ЛГ, то подучим случайную величину/(Х г Ху ...»X ^ которая также называется выборочной статистикой или просто статистикой. В математической статистике случайные величины и их значения часто обозначаются одними и темн же маленькими буквами,

Рассмотрим два примера, Пример 1. Выборочное среднее х.

Случайную величину х — выборочное среднее — определя­

128

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины х. Обозначим математическое ожидание и дисперсию генеральной совокупности^через и и а2соответственно. Таким образом, М(Х) = а, О(Х) = о2.

С(.г) = - Г .

т/«

Дисперсия выборочного среднего в л раз меньше дисперсии генеральной совокупности. При вычислении математического ожидания и дисперсии мы воспользовались известными свойс­ твами этих числовых характеристик.

Пример 2. Выборочная дисперсия >5*, Случайная величина ^ задастся формулой:

- М { Х 2 ) - М ( х 2) Ца* -аг) = С(ДГ) - 0 (л ) = о 2 - — = — о 2 . п и

Математическое ожидание случайной величины 5* нс рав­ но дисперсии генеральной совокупности X. Чтобы получить ра­ венство, рассматривают другую случайную величину. Она обоз­ начается я 3, называется исправленной выборочной дисперсией и связана с выборочной дисперсией 53 формулой:

129

7.2г. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Допустим, что нам известен закон распределения гене­ ральной совокупности. Но каждый закон распределения зависит от нескольких параметров. Например, плотность вероятности нормального закона зависит от параметров а и а.

I -К*-"?

'а = Л/(.т),о2 = 0(л-),-о о < л <

Вформулу для показательного закона входит параметр X:

Равномерный закон распределения зависит от параметров а н Ь:

- ^ — , а & х й Ь \ М ( х ) = ^ - , й { х ) = ( Ь - о ) 2 № = Ъ - а * 12

Вероятности значений, которые принимают дискретные слу­ чайные величины, также зависят от параметров. Например, ве­ роятности значений случайной величины, распределенной по закону Пуассона, зависят от параметра Л:

Р(Х= к) = к е ' \ к = 0,1,2,..., Щ х ) = X.

Вероятность «успеха» р и число независимых экспериментов п — параметры биномиального закона распределения.

Вероятность Рытого, что случайная величина, распределенная

130