книги / Прикладная статистика

2. Из большого мешка, содержащего монеты одинакового достоинства, случайным образом отобраны КО монет. Каждая монета была взвешена, и для каждой определен сс возраст:

3 .2 . Г Р А Ф И Ч Е С К О Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е

ДВ У М Е Р Н Ы Х В Ы Б О Р О К —

ДИ А Г Р А М М Ы Р А С С Е Я Н И Я

Графическое представление одномерной выборки — это гис­ тограмма. Двумерные выборки удобно представлять с помощью так называемых диаграмм рассеяния. Каждый элемент двумерной выборки представляется точкой на плоскости с координатами (хр у), /= 1 ,2 ......п. Диаграммы рассеяния, представляющие дву­ мерные выборки из наших примеров, приведены на рис. 3Л -3.3.

На рис. 3.] хорошо видно, что точки на диаграмме рассеяния группируются относительно некоторой прямой, причем чем боль­ ше слов в предложении, тем больше в нем букв. В таком случае говорят, что между числом слов и числом букв в предложении существует положительная линейная корреляция (слово «кор­ реляция» означает связь). Во втором случае (см. рис. 3.2) хоро­ шо заметна отрицательная линейная корреляция между массой монеты и ес возрастом. Точки на третьей диаграмме рассеяния

41

(см. рнс. 3.3) расположены хаотически Следует допустить от­ сутствие связи между числом очков, выпавшим на первом ку­ бике, н числом очков, выпавшим на втором. Другими словами разумно предположить, что случайные величины Х и У— числа очков, выпавшие на нервом и втором кубике соответственно, независимы.

Слова и предложения

У

42

Нетрудно убедиться в следующих свойствах выборочного коэффициента корреляции:

1. И < 1 .

2. | г | = ] тогда и только тогда, когда точки (х, у ) лежат на одной прямой.

3. Если точки {хку) расположены на диаграмме рассеяния ха­ отически* то значение г весьма близко к нулю. Значение г может оказаться близким к нулю и б случае группировки точек относи­ тельно некоторой кривой, например, параболы.

Вычислим значениевыборочногокоэффициента корреляции для нашихтрех случаев. Для удобства будем использовать таблицы.

44

Это знамение весьма близко к единице. Число букв и число слов в предложении почти линейно зависят друг от друга.

Пример с монетами (табл. 3.2)

75,353-27,2x2,787

Г = — -------------- ------= -0,83 15,13x0,036

Такое значение г указывает на достаточно сильную отрица­ тельную линейную зависимость между возрастом монеты к ее

45

2.05x2,1

Такое маленькое значение г указывает на отсутствие связи между результатами бросании кубиков, что соответствует инту­ итивному представлению о независимости бросаний.

через 8^ и назовем его выборочной ковариацией.

3 .4 . М Е Т О Д Н А И М Е Н Ь Ш И Х К В А Д Р А Т О В

Обратимся к примеру с текстом. На рис. 3.1 хорошо видно, что точки (ХрУ) группируются около прямой. Естественным об­ разом возникает задача подбора уравнения этой прямой. Напри­ мер, для того, чтобы предсказать, скольхо примерно букв будет содержать предложение с заданным количеством слов, можно подобрать два уравнения:

у = ах + Ь (независимая переменная — число слов, функция — число букв);

х ^ с у + с1(независимая переменная — число букв, функция — число слов).

Каэдос из таких уравнений называется уравнением регрес­ сии, (Слово «прогресс» означает развитие, движение вперед, слово «регресс» означает упрощение, движение назад). В случае уравнения^ = ах + Ь говорят о регрессии^на х\ в случае уравне­ ния х = су + </говорят о регрессия х на у.

46

В нашем примере каждая из переменных, как г, так и у, мо­ жет быть объявлена независимой. Возможны ситуации, когда независимая переменная определяется однозначно. Например, можно исследовать растворимость некоторого вещества (пере­ менная^) в зависимости от температуры растворителя (перемен­ ная дг). Здесь х — независимая переменная, ее значение можно установить заранее, а у — статистически зависимая переменная. Исследуется только зависимость у от х.

Допустим, мы хотим подобрать коэффициенты уравнения у = ах + Ь так, чтобы это уравнение паилучшим образом соот­ ветствовало экспериментальным данным (хр р); / = 1 , 2 Но ведь понятие «па илучшим образом» нс является строгим. Меж­ ду точками на рис. 3.1 можно провести бесконечно много «хоро­ ших» прямых. Какая же из них «лучшая»?

Общепринятым способом определения неизвестных коэффи­ циентов уравнения регрессии является метод наименьших квад­ ратов, разработанпый А. Лежандром (1806) и К. Гауссом (1821). Идея метода наименьших квадратов такова. Пусть нужно подоб­ рать неизвестные коэффициенты а, а2,.. .%акуравнения регрессии у =Лах,а2,...,ак>х). Рассмотрим экспериментальную точку (.эд) и вычислим отклонение ординаты уточки от теоретического зна- ч е н и я Д о ,,^ ...^ дг,) (рис. 3.4).

<*= У<-Аа \*а2'"*ак' *) » *

47

Неизвестные значения а{>а2Г..}ал подберем из условия мини­ мизации суммы квадратов отклонений </.:

5 = Т/*} = М1 /=]

Необходимое (здесь и достаточное) условие существова­ ния экстремума функции нескольких переменных — равенство

получится система из к уравнений для определения к неизвест­ ных чисел а^а2,.„,ак.

Составим эту систему и решим ее в случае линейного урав­ нения регрессии. Нужно определить два неизвестных коэффи­ циента а к Ь уравнения прямой у = ах + Ь, Имеем:

Разделим второе уравнение системы на ш Уравнение примет вид у = ах + 6, откуда 6 = у-<?х.

Разделим на п первое уравнение системы и подставим в него полученное выражение Ь через а. После несложных преобразо­

Уравнение у = ах + Ь можно переписать в виде:

(У -У ) = ^ - ( х ~ П

Следовательно, наша прямая проходит через точку (У; у).

48

Аналогично определяют коэффициенты с и с1 линейного уравнения регрессии х на у> х = су + с1.

Наилем коэффициенты линейных уравнения регрессия у на * и* иду для примеров с текстом и монетами. Вес необходимые расчеты уже были сделаны при вычислении коэффициентов

Я, = 6593,3 - 27,4 * 146,1 = 2590,3;

а% = 2 5 * У б =5>71. 453,44

49

Эти прямые приведены на рис, 4.1. Прямые почти совпада­ ют — еще одно доказательство сильной линейной зависимости между числом слов и числом букв в предложении.

Пример с монетами:

х = 27,2;у=2,ПТ, — ^ х , у , = 75,353; 5 2= 228,76;

10 н

$ / = 0,00129;

Ь= у - а х =2,787 + 0,002 х 27,2= 2,84. Тогда/ - -0,002* + 2,84.

Коэффициент а отрицателен и очень мал. Несколько значе­

ний/;

Уравнение регрессии * на/: х - -348,84/ + 999,4. Несколько значений х:

50