книги / Прикладная статистика

по биномиальному закону, примет значение, равное к, считается по формуле:

Рик = С кр к Ц - р ) '‘~к ,к-=0,},2,...,п; Щ х) =пр\01х) = »рд.

Если закон распределения генеральной совокупности из­ вестен, а значения параметров, от которых этот закон зависит, неизвестны, возникает задача оценки значений этих параметров по имеющимся значениям хг .... хп извлеченной из генераль­ ной совокупности выборки. Точечные оценки параметров — это оценки с помощью числовых значений подходящих, статистик. При этом можно оценивать нс только параметры, непосредс­ твенно входящие и формулу для закона распрсдслсЕшя, но п чис­ ловые характеристики генеральной совокупности — математи­ ческое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции и т. п. К точечным оцсЕгкам: предъявляют три следующих требования:

Такая оценка называется несмещенной.

3. Значения случайной величины / ( * 1 1*2 >—>*,,) долж­ ны быть достаточно близкими, другими слонами, статистика /(.V) ,Л'2 ) должна иметь маленькую дисперсию.

Оценка, обладающая минимальной дисперсией, называется эффективной.

В качестве примера рассмотрим точечные оценки математичес­ кого ожидают а н дисперсии о* генеральной совокупности — вы­ борочное среднее х, выборочную дисперсию 5 \ исправленную

Ш

-1 "

1=1

вытекает из закона больших чисел.

Ранее мы показали, что Л^(л')—л, поэтому х — несмещенная оценка математического ожидания а Мы показали также, что

Можно доказать, «гго если генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, то х —■эффективная оценка пара­ метра а.

Состоятельность статистики 5* как оценки дисперсии

- X- 2

также вытекает из закона больших чисел. Ыо оценка № — сме­ щеннал оценка3 ведь

Л^(52) = — а 2 .

Н - 1 Несмещенной оценкой дисперсии а 1является иелрлвлешшл

выборочная дисперсия Чтобы оценить некоторый параметр закона распределения

генеральной совокупности^, нужно выразить его через теорети­ ческие моменты (математическое ожидание, дисперсию и т.п.), а затем подставить в полученную формулу значении соответс­ твующих выборочных статистик (выборочного среднего, выбо­ рочной дисперсии и т. д.).

Например, оценками параметров а и о2 нормального рас­ пределения служат статистики _г и $ 2>так как М(х)=а, П(х)=сР. Оценкой параметров А. показательного закона является статис­ тика (Ш ), т.к, М(х)=1/^.Оценкой параметра к закона Пуассона является статистка х %т.к. М (х)=Х.

Такой метод оценки параметров называется методом моментов. Мы фактически пользовались нм в процедуре

132

проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокуп­ ности по критерию Пирсона.

В заключение отмстим, что поправочный множитель и/(н-1), вводимый для статистики при больших и практически равен 1 и его нет смысла использовать.

7.3. О ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК

Рассмотрим здесь только случай оценки математического ожидания а генеральной совокупности значением х , Заменяя не­ известное значение п числом л:, мы совершаем ошибку. Тогда случайная величина .V- а — абсолютное значение ошибки. Если известен закон распределения случайной величины Зг, можно найти вероятность:

/ >( | . у - й |< г ) = р е

Число г. характеризует точность оценки, вероятность Ре — ее надежность. Бели для небольших в вероятность ре достаточно велика, число х можно считать точной и надежной оценкой ма­ тематического ожидания а.

Когда генеральная совокупность имеет нормальное распре­ деление, случайная величина т распределена нормально (сумма независимых нормально распределенных случайных величин). Если закон распределения генеральной совокупности отличен от нормального, но число п достаточно велико, случайную ве­ личину х можно считать приблизительно нормально распреде­ ленной в силу центральной предельной теоремы. Числовые ха­

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, заме­ ним ее на значение исправленной выборочной дисперс1Ш П р и ­ меняя известкую формулу для нормального закона, получим:

133

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 47. Найденное по выборке значение 5 = 2,35. Какова вероятность того, что точность в оценки математического ожи­ дания а генеральной совокупности не больше 0,3?

Решение. Нужно найти вероятность события:

Имеем:

Найденная вероятность достаточно мала. Для того чтобы по­ лучить большую надежность (при тон жсточностм) или большую точность (при той же надежности), нужно увеличить число и.

Пример. Каков должен быть минимальный объем выборки п для того, чтобы с надежностью 0,98 точность оценки матема­ тического ожидания а с помощью выборочного среднего х была 0,2, если среднее квадратичное отклонение в генеральной сово­ купности равно 1,5?

Решение. Число и определяется из условия:

/ >( |* - а |< 0,2) =0,98,

134

Тогда:

^ 0 ^ 7 1= 0 ^ 2 ^ . = 2,34 => и 2 234x15 = 308.

Пример. Как изменится точность математического ожида­ ния а из предыдущего примера, сели объем выборки увеличить до 500, а надежность оставить равной 0,98-?

Решение. Из условия:

я ( |* - л|< е)=0,98

получаем, что

/

0,98=2Ф

иI и

Пример. Оценка вероятности р «успеха».

Пусть проведено п независимых испытаний, в каждом из ко­ торых вероятность события А («успеха») равна р (следователь­ но, вероятность непоявления события А равна ^ - 1 - р). Бели в л независимых испытаниях событие А появилось к раз, то на­ сколько точно число Ш оценивает вероятностьр1

Решение. Б этом случае генеральная совокупность X имеет

Случайная величина X равна единице, если событие А про­ изошло, и равна нулю — в противном: случае:

М(Х)=р, 0(Х)=рд, а(х)=

Если число п достаточно велико, то случайная величина х = = Ш — выборочное среднее — имеет приближенное нормаль­ ное распределение с параметрами:

135

Тогда точность и падеж кость оценки числа р числом к/н оп­ ределяют кэ равенства:

5 = ^ 1 -.г ).

Пример, Из большой партии некоторых изделии отобрано наугад для контроля 500 штук, причем 20 штук оказались бра­ кованными. Найти вероятность того, что, приняв вероятность р изделию быть бракованным, равной 0,04, мы совершаем ошиб­ ку, не превосходящую 0,01. Сколько нужно отобрать изделий, чтобы с вероятностью 0,95 была совершена ошибка, не превос­ ходящая 0,01?

Решение.

1.Здесь:

2. Здесь: дг=0,04; 5 = 032; е = 0,01; Р = 0,95. Требуется най­ ти объем выборхи п.

136

По таблице функции Лапласа, зная ее значение, равное числу 0,475, определяем аргумент:

7.3.1.Еще об определении нужного объема выборки

Пользуясь формулой:

можно поставить три несложные задачи. Примеры решения этик задач уже были подробно разобраны выше. Здесь мы прос­ то подведем итоги.

Задача 1. Зная объем выборки а и точность е оценки матема­ тического ожидания я, найти надежность [1 этой оценки:

р-Н т М ^ )

Вслучае выборки из биноюминально распределенной совокуп­

Р = 2<]4и*(1_д0 ,

Задача 2. Зная объем выборки п и надежность р, оценить точность в оценки математического ожидания я:

КТ /5

е = -

где число I определяется ю таблицы функции Лапласа из условия:

Ф (0 ■ ^ Н

137

В случае выборки из биномиально распределенной генераль­ ной совокупности:

Задача 3. Зная точность е и надежность р оценки математи­ ческого ожидания а\ определить минимальный объем п выбор­ ки, обеспечиваю щии заданные точность и надежность:

В случае выборки из биноьшадъно распределенной генераль­ ной совокупности:

е

Вес эти формулы были выведены в предположении, что

где Хр Ху ...* Хя — независимые и одинаково распределенные (как генеральная совокупность X) случайные величины. Такое предположение не всегда можно принять. На практике генераль­ ная совокупность X — это ^объектов, из которых отбирают для исследования п объектов. Если выборка бесповториая (один раз отобранный объект нс возвращается назад), то дисперсия выбо­ рочного среднего х в общем случае зависит от чисел N и п.

Пусть генеральная совокупность X состоит из N чисел л,, Ху ху Если вероятность выбора каждого числа (при извлечении одного числа) равна \Ш, то математическое ожидание а и дис­ персия о3 случайной величины х — выбранного числа — равны

соответственно:

138

Пусть теперь х — это среднее арифметическое и наудачу отобранных чисел, пригнем отбор бесповоротный. Нетрудно по­

ирассчитывают — в противном случае. Для отыскания необхо­ димого объема выборки, обеспечивающего заданную точность

инадежность, имеем:

Л _ е 2Д' + ^(1-Зс) / 2

Напомним, что пользоваться указанными формулами мож­ но, только если закон распределения выборочного среднего ~х можно хотя бы приближенно считать нормальным. Так почти всегда получается, когда и > 36.

Пример. Фермер хочет оценить среднюю массу своих 5000 индеек с точностью до 0,5 фунта, чтобы как можно точнее определить доход от продажи этих индеек. Отобрав случайным образом 20 индеек, он нашел, что их средняя масса составляет 9,25 фунта, а 5 = 4,39 фунта. Теперь он в состоянии определить минимальный объем выборки л, позволяющий оценить среднюю массу индейки с точностью е = 0,5 и надежностью р = 0,95:

Предварительная малая выборка потребовалась, чтобы оце­ нить о, иначе дальнейшие вычисления невозможны.

139

ОЦ Е Н К А Х П А Р А М Е Т Р О В Г Е Н Е Р А Л Ь Н О Й

СО В О К У П Н О С Т И

Еще один способ оценить известное значение параметра — указать интервал (г,, е2) на числовой оси, про который известно, что он содержит это неизвестное значение с достаточно боль­ шой вероятностью р, Р(е,<а<

Вероятность р называется доверительной вероятностью, а интервал (е,, — доверительным интервалом. Для построения доверительных интервалов используют подходящим образом подобранные выборочные статистики.

7.4.1. Построение доверительного интервала для неизвестного математического ожидания

а нормально распределенной генеральной совокупности, когда дисперсия ^генеральной совокупности известна

Рассмотрим случайную величину * — выборочное среднее:

Так как генеральная совокупность X распределена по нор­ мальному закону, х тоже имеет нормальное распределение, М(х)=а,0(х)=о*/п. График функции плотности вероятности слу­ чайной величины .т симметричен относительно оси х=а.

Рассмотрим интервал [х-д]<е, или о - е < х < а + а + е. Ширину 2е этого интервала определим из условия:

где р — заданная доверительная вероятность.

/<т

Как мы уже знаем, е«■=- где число I находится по таблице

функции Лапласа из условия

140