книги / Прочность конструкций при малоцикловом нагружении

Глава 8

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНАЯ И ДЛИТЕЛЬНАЯ [ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

§ 1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

Тонкостенные оболочечные конструкции широко используются в различных отраслях техники в качестве сосудов давления, уп­ лотнительных и компенсирующих устройств, планеров самолетов и элементов авиационных двигателей, корпусов судов и других транспортных средств. В процессе эксплуатации многие из них часто подвержены интенсивным силовым и температурным воз­ действиям. Длительное статическое и циклическое деформирова­ ние конструкций в этих условиях ведет к прогрессирующему формоизменению, местной или общей потере устойчивости, на­ коплению повреждений и разрушению их наиболее нагруженных элементов.

Поскольку образованию предельных состояний предшеству­ ют, как правило, накопление и существенное перераспределение упругопластических деформаций и деформаций ползучести, оцен­ ка прочности и несущей способности таких конструкций должна проводиться с учетом как нелинейного поведения материала, за­ висящего от истории нагружения, времени, температуры, частоты нагружения, формы циклов [15, 19, 20], так и возможных боль­ ших смещений, приводящих к геометрической нелинейности, су­ щественно влияющей на кинетику напряженных и деформирован­ ных состояний [1—3].

Тонкие оболочки вращения с различной формой меридиана являются наиболее распространенными элементами конструкций многих отраслей техники. Высокие эксплуатационные требова­ ния, предъявляемые к таким конструкциям, обусловливают раз­ работку уточненных теорий тонких оболочек и методов их расче­ та, ориентированных главным образом на использование ЭВМ [5, 6, 15].

Ниже предлагается общий подход численного исследования предельных состояний непологих тонкостенных оболочек враще­ ния с произвольным меридианом при сложном неизотермическом нагружении и ползучести с большими смещениями. Рассматрива­ ется класс произвольных достаточно тонких оболочек вращения переменной толщины. Предполагается, что оболочка деформиру­ ется симметричным образом при прогибах, соизмеримых с толщи­ ной, под действием осевой нагрузки Р, распределенного гидроста­ тического давления р и температуры t. Существенными при этом

151

Рис. 8.1. Определение гео­ метрии и усилий в оболоч­ ке

ный угол 0 в окружном направлении образуют координаты сре­ динной поверхности (на рис. 8.1 все величины с индексом «нуль» относятся к недеформированному состоянию).

Уравнение деформированной срединной поверхности запишем

Для описания физически и геометрически нелинейного поведе­ ния оболочки используем уравнения Рейсснера [7] с дополнитель­ ными членами в правых частях, моделирующими в общем случае эффект пластичности, ползучести, неизотермичности нагружения [2, 3, 8]. Эти уравнения могут быть записаны через функцию напряжений ц = r0H (Н — радиальная составляющая усилий, приложенных к оболочке) и изменение угла наклона меридиана Р (рис. 8.1) в виде

в работах [7, 8], учитывают большие смещения и представляют собой трансцендентные функции.

152

Правые части gx и g2 в уравнениях (8.3) включают в себя чле­ ны, обусловленные как геометрической, так и физической нели­ нейностью:

clm , . . ., bnm, спт (т = 4), учитывающими эффекты геометриче­ ской нелинейности. Величины с индексом 0 представляют собой дополнительные усилия и моменты, обусловленные нелинейным поведением материала. Введенные обозначения для усилий и мо­ ментов показаны на рис. 8.1, выражения для аг и gu g2приведены в работе [8]. В этих выражениях в отличие от [7] г' не отождеств­ ляется с Гд, что в ряде случаев ведет к уточнению уравнений (8.3). Известны и другие упрощения уравнений (8.3), многие из которых связаны с их линеаризацией, однако при численном решении с ис­ пользованием ЭВМ более точная формулировка не вносит допол­ нительных трудностей.

Система уравнений (8.3) дополняется соответствующими крае­ выми условиями, из которых приведем наиболее часто реализуе­

Для гофрированных оболочек вращения типа сильфонов наи­ более простым и естественным граничным условием является

которое выполняется для любого полугофра, достаточно удален­ ного от краев оболочки [2]. Другим важным условием для подоб­ ного типа оболочек является задание осевого смещения края обо­ лочки

которое может быть сведено к эквивалентной горизонтальной со­ ставляющей реакции Р, входящей в выражения для gx и ^ в (8.4).

Для замкнутых оболочек вращения следует добавить гранич­ ные условия, реализуемые в малой окрестности 8„ особой точки

153

(полюса) s*:

которые уточняют условия, приведенные в работе [9].

Тензор деформации е^-к (еХ1 = 7?феф, е22 = г*ее, е12 = 0) в лю­ бой точке оболочки определяется следующим соотношением:

сjк := е^к jк■ (8-6)

Здесь и в соответствующих выражениях (8.5) ё]К — тензор дефор­ маций на срединной поверхности оболочки, XjK— тензор измене­

ния кривизны вдоль главных направлений, причем хф = Ф0/а0 —

— Ф'/а; Xe = smOo/ro — этФ /г.

Полную деформацию в силу ее малости представим в виде сум­

Здесь и далее модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v полагаются функциями температуры t.

Тогда результирующие усилия и моменты соответственно при­ мут вид

Дополнительные члены, входящие в эти выражения и в пра-

154

вые части уравнений Рейсснера (8.3), определяются как «2

К = $ T ^ r ( & + ve0e)

— ft/2

(8.10)

/t/2

^ 6 = $ - ^ ( e S + v e i j g d S

-h / 2

изависят от выбора соответствующих уравнений состояния для

определения е®.

Дополнительные составляющие тензора полной деформации

где de%, def,-, decjK — составляющие тензора деформаций соответст­ венно температурных,'пластических и ползучести. Для них, как и для любой другой переменной, характеризующей поведение обо­ лочки и зависящей от положения ха и времени т, например q, полагаются справедливыми следующие соотношения: dq — (dx,

причем q (ха, т) = dqldx = dq/dx.

Для неизотермического нагружения оболочки

Здесь второй член в правой части определяет приращение упругих деформаций при изменении механических свойств от температу­ ры; а — коэффициент линейного температурного расширения; б,-к — символ Кронекера.

Приращения пластической деформации определяются в соот­ ветствии с определяющими уравнениями принимаемой модели термопластичности. При сложных силовом и температурном на­ гружениях оболочечных конструкций, когда наряду с активным нагружением возможны чередования разгрузок или необходим учет пластических деформаций противоположного направления, могут быть использованы деформационная теория в приращениях и теория течения с изотропным или анизотропным (в простейшем случае трансляционным) упрочнением [10].

Приращения пластической деформации в случае использова­ ния теории течения с изотропным упрочнением и критерием теку­ чести Мизеса определяются модифицированным уравнением Пранд-

155

тенсивности пластических деформаций, определяемое через ин­ тенсивность полных модифицированных деформаций e'j и геомет­ рию диаграммы деформирования, соответствующую текущему уровню температурного нагружения; — значение интен­ сивности напряжений в конце предыдущего инкремента нагруже­ ния (для первого инкремента принимается равным пределу теку­

чести для данного уровня температуры); ejK = е|к + dejl — тен-

(23 *SjKSзку 2,

a SjK = ^OjK— у bjKan^ — девиатор напряжений.

Аналогичное по форме соотношение (8.13) может быть получе­ но и для случая теории течения с трансляционным упрочнением,

если вместо SjK использовать девиатор SjK активных за вычетом тензора микронапряжений pjK(т. е. SjK = Sjk — pJK) и принять dpjK = CdejK, где С = С (ef,) — функция накопленных; и пласти­ ческих деформаций, определяемая по кривой упрочнения для рас­ сматриваемого уровня температурного нагружения [12].

Реализация этих соотношений в методе последовательных при­ ближений приводит к устойчивой вычислительной схеме, обеспе­ чивая сходимость практически для любых по величине прираще­ ний нагрузки независимо от геометрии диаграмм деформирова­ ния, причем скорость сходимости выше, чем в традиционно ис­ пользуемом подходе [2, И , 12].

Полагая плавное изменение температур и напряжений в про­ цессе нагружения оболочечной конструкции, для определения приращений деформаций ползучести используем закон упрочне­

— накопленная деформация ползучести (параметр упрочнения). Вид функций (8.14) устанавливается по кривым ползучести при аг = ст0 = const, t = const и ef, = ejj, где п0и е^ — соответст­

венно напряжение и деформация при одноосном растяжении. Из условия пропорциональности компонент скорости ползучес­

ти Щк компонентам девиатора напряжений SjKс учетом соотноше­ ний (8.14), (8.15) получаем выражение для определения прираще­ ний деформаций ползучести при сложном нагружении:

156

При таком подходе экспериментальные кривые пластического деформирования и ползучести непосредственно вводятся в ЭВМ с использованием сплайновых аппроксимаций [14].

Рассмотренные выше уравнения состояния могут быть распро­ странены и на малоцикловое деформирование конструкций в ус­ ловиях повышенных температур [10]. В расчетах возможно при­ менение и более сложных моделей трансляционно-изотропного упрочнения или структурных, связанных с повышением трудоем­ кости экспериментального определения соответствующих парамет­ ров в уравнениях состояния и выполнения на их основе численно­ го анализа процессов деформирования.

Иной подход, менее трудоемкий с вычислительной точки зре­ ния и позволяющий учесть реальные форму цикла нагружения, время выдержек и частоту, а также циклические свойства самих конструкционных материалов в условиях длительного малоцикло­ вого нагружения, основывается на представлении о наличии обобщенных диаграмм малоциклового и длительного малоцикло­ вого нагружений [14, 18].

Основное свойство такой диаграммы состоит в том, что цикли­ ческие изохронные кривые (по параметру времени выдержки т) образуют при заданной предыстории нагружения единую зависи­ мость между напряжениями S(k>и деформациями г(к\ отсчиты­ ваемыми от момента перехода через нуль значений напряжений (см. гл. 1, 2, 5). Разгрузка предполагается линейной. При таком подходе поведение материала описывается на основе деформацион­ ной теории малоциклового нагружения с введением зависимостей, аналогичных теории старения [10]. Используя концепцию обоб­ щенного принципа Мазинга и имея в виду более удобное исполь­ зование данной трактовки при решении краевых задач, аналити­ чески диаграмму длительного малоциклового деформирования материала можно представить в следующем виде:

где <Jik^1) — интенсивность напряжений, достигнутая в данной точке конструкции в (к — 1) полуцикле и отсчитываемая от точки, соответствующей началу нагружения; Fx (к) = А/ка — для уп­ рочняющихся материалов, F-L (к) = А ехр [р (к — 1)] — для разупрочняющихся материалов; F2 (t) = (1 -f- с ^ У 1; G — модуль сдвига при данной температуре; b, Ьи с, с1? а, р, т — константы материала.

Как видно из формулы (8.17), данная трактовка уравнений состояния, помимо температурно-временных факторов и предыс­ тории нагружения (через величину с4к-|)), учитывает влияние на

187

напряженно-деформированное состояние циклических свойств ма­ териалов (циклическое упрочнение, разупрочнение и стабилиза­ цию).

§2. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

СУЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ

ИГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

Решение нелинейных краевых задач обычно строится с помощью различных итерационных методов, основанных на известных мето­ дах последовательных приближений. Выбор метода неоднозна­ чен, он зависит и от характера самой краевой задачи, вида входя­ щих в нее дифференциальных уравнений, степени нелинейности, и от возможностей используемой для решения ЭВМ.

Различны и методы решения линейных краевых задач теории ■оболочек [5]. Сложность исходной системы уравнений (8.3) делает в этой связи предпочтительным применение конечно-разностного метода.

Нелинейную краевую задачу (8.3) — (8.5) заменим ее разност­ ным аналогом на основе центральной разностной схемы. При этом все операции дифференцирования по s0 могут быть представлены в виде

где tn = (sQ)n — ($0)n-i — шаг сетки вдоль меридиана оболочечной конструкции; Fn = F l(s0)n] — соответствующие сеточные функ­ ции, в качестве которых выступают Ф0, Ф, Мф, Q, a, s, Р, ц.

Для описания переменной вдоль меридиана толщины стенки оболочки, ее исходной и последующих геометрий в соответствии с (8.1), (8.2) также используется аппроксимация сплайновыми функциями.

Последовательно применяя формулы (8.18) к системе диффе­ ренциальных уравнений (8.3) и исключая из них р, приходим к сле­ дующей системе нелинейных алгебраических уравнений:

158

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8.5), получаем полную систему (N -\- 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (N + 2) неизвестными. При этом по­ рядок аппроксимации дифференциальных операторов разност­ ными понижается с О (t2) на равномерной сетке внутри области до О (t) на ее границах. Однако этого можно'избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы.

Система разностных уравнений (8.19) решается методом после­ довательных приближений совместно с методом матричной факто­ ризации (прогонки) для каждого приближения [2, 3, 8].

Из решения линейной задачи на каждом шаге метода последо­

вательных приближений при известных N& и из предыдущего шага определяются усилия и деформации в соответствии с выра­ жениями

Л/2

атакже текущие значения геометрических параметров оболочки

всоответствии с (8.2), где

Для анализа напряженно-деформированных и предельных состояний оболочечной конструкции, подверженной сложному не­ изотермическому нагружению, история нагружения разбивается на ряд этапов — приращений нагрузки и температуры. На каждом этапе используется метод последовательных приближений с ите­ рированием как по физической нелинейности с использованием со­ отношений (8.12), (8.13), (8.16) или (8.17), так и по геометрической нелинейности с использованием (8.2), (8.20), (8.21) (блок-схема алгоритма приведена в [3]). При этом предполагается, что упруго­ пластическое деформирование осуществляется мгновенно, а во времени изменяется лишь деформация ползучести в соответствии с (8.16).

159

В качестве критерия сходимости метода последовательных при­ ближений используются оценки

( 8 . 22)

где п — номер точки в зоне пластичности; к — номер точки сетки вдоль меридиана оболочки; I — номер итерации.

Второе условие в (8.22) является интегральным критерием схо­ димости по геометрической и физической нелинейностям. Однако в случае достаточно сильно выраженной геометрической нелиней­ ности процесс итерационного приближения в соответствии с этим условием может расходиться. В этой связи предусмотрено допол­ нительное итерирование по геометрической нелинейности [3].

Предложенный подход может быть использован и для решения задач устойчивости оболочек в экстремальных условиях темпера­ турного и силового нагружения. В этом случае критерием потери устойчивости оболочки может служить невозможность выполне­ ния второго условия сходимости (8.22), т. е. неустойчивость по геометрической нелинейности. Дробление приращения силового и температурного нагружения позволяет уточнить верхнее крити­ ческое значение нагрузки [9], или критическое значение времени

ичисла циклов нагружения.

§3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ

ИПРОЧНОСТИ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Приведенные выше соотношения явились основой вычислитель­ ных программ численного решения задач о напряженных, дефор­ мированных и предельных состояниях оболочечных конструкций, подверженных длительным статическим и малоцикловым воздей­ ствиям в условиях повышенных температур [8, 3, 15]. Разработан­ ная в [15] программа исследования прочности сильфонов основана на линеаризованных уравнениях теории оболочек и уравнениях состояния (8.17). Для учета физической нелинейности материала оболочки используется метод переменных параметров упру­ гости [10].

Точность и вычислительная устойчивость программ проверя­ лись на большом числе модельных задач, имеющих решения в замкнутом виде или полученных численно другими методами [2, 3, 8, 15]. Выполненные исследования свидетельствуют о высокой точности получаемых с помощью программ решений, устойчиво­ сти алгоритмов к накоплению ошибок округления и возмущению исходных данных.

Ниже приведены результаты исследования напряженно-дефор­ мированных и предельных состояний тонкостенных оболочечных

160