книги / Математическое моделирование газотурбинных мини-электростанций и мини-энергосистем

оценка с требуемой точностью не должна представлять больших трудностей.

Успех в решении второй задачи во многом определяется искусством распознавания, т.е. отнесением ОД по результа­ там оценки к известному классу, характеризуемому опреде­ ленной тенденцией изменения состояния ОД с течением вре­ мени.

Взависимости от используемого математического аппа­ рата различают три вида прогнозирования:

1)аналитическое, основанное на степенных рядах и урав­ нениях регрессии;

2)вероятностное, основанное на теории вероятности;

3)прогнозирование методом статистической классифи­

кации.

Впервом случае используются наиболее распростра­ ненные методы прогнозирования: степенных полиномов, обобщенного параметра, градиентные, моделирования. Во втором - статической экстраполяции, вероятностных нера­ венств, планирование экспериментов, на основе марковских процессов. В третьем - на основе обучения и без обучения.

Решение задачи прогнозирования для конкретного ОД позволяет:

•выявить элементы (блоки) объекта, работоспособ­ ность которых существенно изменится в ближайший отрезок времени, и, следовательно, своевременно подготовить запас­ ные или резервные элементы для замены;

•обосновать количество запасных блоков или элемен­ тов и объем запасных частей на весь период использования объекта;

•определить сроки проведения профилактических работ, направленных на повышение работоспособности объ­ екта.

6.3.2. Аналитическое прогнозирование

Методы экстраполяции, используемые для определения значений прогнозируемой переменной, называются аналити­ ческими или методами аналитического прогнозирования.

При выборе математического аппарата для решения за­ дачи аналитического прогнозирования необходимо предва­ рительно определить диагностические параметры. Оценить параметры каждого элемента, входящего в объект, техниче­ ски сложно из-за их большего количества, поэтому стараются выбрать минимум (в пределе - 1) диагностических парамет­ ров, обеспечивающих требуемую достоверность прогнозиро­ вания изменения состояния объекта.

Выбранные параметры должны быть чувствительными к изменениям, происходящим в элементах, входящих в объ­ ект диагностирования, т.е. любая наметившаяся тенденция изменения состояния составляющих элементов должна отра­ жаться на поведении выбранного диагностического парамет­ ра. В частности, такими параметрами могут быть коэффици­ ент передачи, коэффициент усиления, параметры обратной связи и т.д.

Рассмотрим постановку задачи прогнозирования. Для простоты будем считать, что работоспособность объекта оп­ ределяется одним параметром Ç. В этом случае прогнозиро­ вание работоспособности ОД рассматривается как прогнози­ рование изменения функции £(/), значения которой изменя­ ются дискретно или непрерывно в интервале времени = [/о, /„]. В результате этого имеются значения этой функции Ço, Çi,

..., ..., на интервале Т\ (рис. 6.12).

Необходимо по известным значениям Ç,- определить зна­ чение функции Ç(r): Çn+1, .... Çn+ь ..., Ç„+mв будущие моменты времени /л+ь ..., tn+i, .... /п+т, принадлежащие Т2, или узнать, через какое время значения ^,+, достигнут допустимого уров­ ня 4аопЗадача может быть решена методом экстраполяцион­ ных полиномов и регрессионного анализа.

Si I

So>

^доп

J___ L

случаем решения задачи является адекватное описание изме­ нения функции Щ) каким-либо аналитическим выражением. Ввиду сложности нахождения таких выражений по дискрет­ ным Ç,- точкам целесообразно определить наилучшую струк­ туру аналитического выражения, а при прогнозировании конкретной функции Ç(f) - изменить базовые элементы, вхо­ дящие в это выражение.

В интервале Т\ по известным значениям Ç,- необходимо найти такую функцию F{t), которая с заданной точностью описала бы процесс изменения состояния ОД, т.е. выполнить интерполяцию. В общем случае можно использовать много­

где ai - неизвестные коэффициенты; (p/(t) - известные функ­ ции простейшего вида.

Целесообразно использовать в качестве функций <р/(/) функции, имеющие наиболее простую структуру, например:

К этому виду могут быть сведены многие степенные вы­ ражения, различающиеся способом вычисления а\. Например, в результате измерения параметра Ç в моменты времени k и t\ получены его значения и ^ (рис. 6.13).

Рис. 6.13. Изменение диагностического параметра

стью изменения параметра в интервале [/0, /1]. Описать харак­ тер изменения параметра в этом интервале времени можно с помощью выражения

1= 2 : ^л(0 =

(< o-h)(to-t> r

(6.6)

('a

Ввиду того что коэффициенты экстраполяционных по­ линомов не зависят от значения прогнозируемого параметра, они могут быть заранее рассчитаны и сведены в специальные таблицы, что упрощает процесс прогнозирования.

Широкое применение в прогнозировании находит поли­ ном Ньютона.

Р н (')= 5 ,+ л ^ ,

где A4 - первая разность между измеренными величинами; Д24 - вторая разность (разность между разностями) и т.д.

Экстраполяционный полином первой степени г = 1 вы­

разить через число шагов прогнозирования т =At соответст­ венно ш+1иш).

Поскольку в этом случае коэффициенты при конечных разностях не зависят от прогнозируемой функции, они могут быть рассчитаны заранее и сведены в таблицы. Наличие таб­ лиц коэффициентов экстраполяционных полиномов сущест-

венно упрощает процесс прогнозирования, так как сокраща­ ется объем вычислительных работ и облегчается автоматиза­ ция прогнозирования.

На практике обычно ограничиваются полиномами пер­ вой и второй степеней, поскольку скорость изменения со­ стояния не превышает скорости реагирования полиномов. Реальные процессы протекают медленно.

При этом точность прогнозирования можно повышать, если прогнозировать только на один шаг с последующим включением полученного значения (точка ai) в область из­ вестных значений Т\. При этом каждое прогнозирование (на один шаг) начинается из новой точки a t, получаемой смеще­ нием процесса на один шаг (/о, t\).

Количество измерений и время прогнозирования влияет на точность прогноза: чем больше п, тем точнее прогноз, так как удается более точно описать (интерполировать) процесс изменения параметра в области Т\. Чем больше время, на ко­ торое осуществляется прогнозирование 7пр, тем меньше точ­ ность, так как в области Т2могут быть учтены не все факто­ ры. Минимальное количество требуемых измерений связано со степенью г полинома следующим образом:

w = r+ 1.

На практике для приемлемой точности прогноза п увеличи­ вается в 3-5 раз.

Таким образом, использование экстраполяционных по­ линомов для аналитического (детерминированного) прогно­ зирования предполагает:

1)выбор оптимального выражения F(t) с учетом тен­ денции изменения параметра в области Т\,

2)определение коэффициентов ai для получения точно­ го прогноза;

3)экстраполяцию F{t) на область Т2 и определение зна­ чения параметра в требуемый (прогнозируемый) момент времени;

4) оценивание точности прогноза.

Метод регрессионного анализа. Он основывается на использовании уравнения регрессии (лат. regressio - движе­ ние назад) вида

где у - величина, характер изменения которой необходимо определить; р0 - постоянная величина; Р/ - коэффициенты; х,— параметры. Это линейная зависимость у от х.

Модель изменения диагностического параметра \ во времени на основе регрессионного уравнения имеет вид

где Ço - начальное значение параметра; а - коэффициент рег­ рессии, определяющий наклон прямой.

Очевидно, что время работы ОД до отказа будет оп­ ределяться допустимым значением диагностического пара­ метра:

Однако среди электрооборудования имеются объекты (обмотки электрических машин), для которых это значение задать невозможно. Как быть в этом случае?

Рассмотрим схему замещения обмотки электрической машины (рис. 6.14).

Здесь Rg - сопротивление известной величины. Основ­ ной целью прогнозирования для рассматриваемого случая является определение остаточного ресурса. В качестве диаг­ ностических параметров выступают S = (L, R\, Ci), где L - эквивалентная индуктивность обмотки; R - эквивалентное активное сопротивление обмотки; С| - эквивалентная ем­ кость 1-й обмотки.

В связи с тем что индуктивность меняется скачком при появлении короткозамкнутых витков, этот параметр не при­ годен для задачи прогнозирования.

Диагностические параметры Ri и Ci характеризуют со­ стояние изоляции, которая подвержена старению, и меняются монотонно. Сложность решения задачи заключается в том, что допустимые значения параметров Ri и Ci обмотки элек­ трической машины неизвестны.

Исходной информацией для прогнозирования будут значения диагностических параметров Ri и Ci в общем слу­

чае 4>у Для N машин в моменты времени tj, где i = l,N;

j = l,ni . По измеряемым значениям, используя метод регрес­ сионного анализа, вычисляются значения для каждого объекта.

Для прогнозирования остаточного ресурса обмоток электрических машин необходимо определить допустимое значение диагностических параметров Riao„ и Ciaon, т.е. ^д0П. Для этого вычисляются средние значения для линейной рег­

Используя (6.10), можно осуществить прогнозирование. В некоторых случаях (например, сопротивление изоляции обмоток электрических машин) невозможно задать допусти­ мое значение параметра. Тогда определить его можно сле­ дующим образом. По накопленным статическим данным оп­ ределяем математическое ожидание времени отказа:

откуда находим

Это значение принимается за предельно допустимое ди­ агностического параметра.

Тогда для i-й электрической машины время отказа мож­ но прогнозировать, воспользовавшись формулой

собности. Используя формулу линейной модели изменения диагностических параметров, находим остаточный ресурс тор1 для i-й электрической машины:

V ' =feon“ ^l)a/ =[So + M('<mc)/ a -Z>0i]ai- (6-17)

Для решения этой задачи могут быть взяты уже накоп­ ленные сведения об изменении диагностических параметров электрической машин при использовании. Такие зависимости для R\ и Ci для двух электрических машин приведены на рис. 6.15.